Ensemble des nombres, calculs dans Q et R

er
Master 1 : 1 semestre : EC 4A : éléments de mathématiques – 5h cours et TP - TD - JA
Exercices : ch 1/ Ensemble des nombres, calculs dans Q et R
I. Ensemble de nombres.
1. Indiquer à quels ensembles N, Z, D, Q, R les nombres suivants appartiennent-ils :
0; 3 , 5 ; 4 , 0 ; - 7 ;
7
;
3
12 1
;
;
3
2
-
230
;
5
3,14;
22
;
7
π;
2;
1 0 0;
1 0 0 0;
Faire un tableau
2. Pour chacun des nombres suivants, indiquer le plus petit ensemble de nombres N, Z, D, Q, R auquel il
appartient et sa nature (on indiquera les simplifications).

84
;
14
π
;
3
- 25
100
;
3,333;
-60 2
8
;
4 , 1 x1 03 ;
1 , 3 3 3 3 3 .; . . 1 , 9 9 9 9 (9
. . . t e n dve rsl 'i n f i n)
i
3. Donner si possible :
a) un entier qui ne soit pas naturel
b) un rationnel qui ne soit pas décimal
c) un décimal qui ne soit pas rationnel
d) un réel qui ne soit pas décimal
e) un irrationnel
f) un décimal compris entre 3/2 et 5/3
g) un rationnel qui diffère de 3 de moins de 0,01
h) un irrationnel compris entre -2 et -1
i) un décimal strictement positif et inférieur à : 0, 000 000 000 1
j) un entier inférieur à l’inverse de π - 1 0
4. Placer sur une droite numérique les nombres suivants :
II. Calculs numériques
1. On donne :
106  6  10-3
2 3 21
A= – 
;B=
7 7
9
15  104
;
3 1
2
C =  –  : 1 + 
5
4

  3
1°) Calculer chacun de ces nombres en donnant les étapes intermédiaires et exprimer chaque
résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
2°) Préciser, en justifiant dans chaque cas, si le résultat obtenu est un nombre décimal ou non.
5 5
9
2. On pose : D = - + 
7 21 25
25 15 11
; E= : –
17 24 3
;
F=
12  10  (103)2
24  102
.
1°) Exprimer D et E sous forme de fractions irréductibles (détailler les calculs).
2°) Donner l’écriture scientifique de F.
1
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3. Effectuer et donner le résultat en écriture scientifique :
a ) 0 , 0 5x 1 2 0 0x 1 0- 3;
b)
1 , 5 x 1 03 x 2 , 2 x 1 0- 4
c ) 0 , 0 0 2 4x 1 04 x 1 , 2 5x 1 0-3 ;
d)
3 x 1 05 x 5 x 1 07 x 2 x 1 0-3
e ) 4 x 1 03 x(5 x 1 02 ) 2 ;
2 x 1 0-6 x 1 03 x 3
f)
6 x 1 02 x 5 x 1 0- 9
4. Soit x = 1, 723982. Quelle est sa nature ?
Donner :
a) ses troncatures d’ordre 0, d’ordre 3.
b) ses arrondis d’ordre 0, d’ordre 3.
c) les valeurs approchées de x à 1 04 près par défaut, par excès.
5. Soit un nombre a 3 chiffres cdu, autres que 0.
cdu signifie 100c + 10d + u.
a) On permute les chiffres des unités et des centaines
Montrer que cdu – udc = 99 (c – u)
b) Démontrer que si d = c + u, ce nombre cdu est divisible par 11
c) Démontrer que si c+d+u = 9 alors cdu est divisible par 9
6. Montrer que le carré d’un nombre pair est un nombre pair et celui d’un nombre impair est impair.
7. Calculer et mettre le résultat sous forme de fraction irréductible
A
F
2 3 21
 x
;
7 7 9
3
B
1 06 x 6 x 1 03
4
1 5x 1 0
;
C  7-7:
7
;
2
D
1 0- 8 x 1,1x 1 012
3
33 x10
;
2
3 1 
E     :  1  ;
3
5 4 
4
5 5
:
;
3 32
8. Montrer que ces trois expressions sont égales
2
(x-3)(2-x) ;
5
1

;
x  
2
4


-x(x-5)-6 ;
9. Encadrements :
Un nombre x vérifie : 2  x  3
3
4
Trouver des encadrements pour les nombres :
a) x -1 ;
b) x+2 ;
c) 3x ;
d) -4x
Et pour s’entraîner au concours :
1) Faites le point sur vos connaissances concernant les différents ensembles de nombres. Pour chaque
question, indiquez toutes les réponses correctes (0, 1 ou plusieurs).
Les entiers du test sont des entiers relatifs appelés communément entiers, l'appellation : entiers naturels
étant réservée à l'ensemble N.
2
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2) a) 8,3 est la troncature au dixième d'un nombre x. Traduire cette information par un encadrement
d'amplitude 0,1 de x.
b) 8,3 est l'arrondi au dixième d'un nombre y. Traduire cette information par un encadrement d'amplitude
0,1 de y.
c) 8,76 est l'arrondi au centième d'un nombre z. Donner cinq valeurs possibles pour z
d) 17,5 est la troncature au dixième d'un nombre u. Donner un encadrement de u d'amplitude la plus petite
possible.
3) Les nombres 2 882 et 19 591 sont des palindromes (cela signifie qu'en les lisant de gauche à droite ou de
droite à gauche on a le même nombre). Trouver tous les palindromes ayant 4 chiffres et divisibles par 9.
4) Des cinq chiffres composant le prix de 36 bidules, on ne peut lire que le chiffre des centaines (un 4) et
celui des dizaines (un 3). De plus, on sait qu'un bidule coûte entre 1100 euros et 1450 euros.
a. Donner les prix possibles de 36 bidules (il y a trois solutions).
b. On sait que le prix d'un bidule est un nombre premier. Donner le prix des 36 bidules. Vérifier que le prix
d'un bidule est un nombre premier.
3
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Correction : Ensemble des nombres, calculs dans Q et R
I. Ensemble de nombres.
1.
0;
N
X
Z
X
X
X
D
X
X
X
X
Q
X
X
X
X
X
R
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
3,5;
4 , 0 4
-7;
7
;
3
12
 4;
3
1
 0,5;
2
230
 4 6;
5
3,14;
X
22
;
7
π;
X
2;
X
1 0 0  1 0;
X
X
X
X
X
X
1 0 0 0 1 0 1 0;
84
 6  Z
14
π
R
3
- 25
25

 2,5  D
10
100

2.
3 , 3 3 3  D c' e st d i f f é re n d
t e 1 , 3 3 3 . .. Q
-60 2
8
 6 0
2
1
1
 6 0
 6 0x  3 0  Z
8
4
2
4 , 1 x1 03  4 1 0 0  N
1 , 3 3 3 3 3 .. . Q
1 , 9 9 9 9 (9
. . . t e n dve rsl 'i n f i n )
i e st co n si d é réco m m e2  N
3.
a) un entier qui ne soit pas naturel
b) un rationnel qui ne soit pas décimal
c) un décimal qui ne soit pas rationnel
d) un réel qui ne soit pas décimal
e) un irrationnel
f) un décimal compris entre 3/2 et 5/3
g) un rationnel qui diffère de 3 de moins de 0,01
-3
2 /3
pas de réponse
2
π
1,6
1,723
4
er
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 2
h) un irrationnel compris entre -2 et -1
i) un décimal strictement positif et inférieur à : 0, 000 000 000 1=10-10
j) un entier inférieur à l’inverse de π - 1 0 =
donc 9 x 10-11
1
donc -49
π - 10
4. Droite numérique :
-3
-2 =
-1
0
1
2
3
1,999…
3,14 3,333….
II. Calculs numériques
1
2 3 21
A= – 
7 7
9
2 337
A= –
7 733
2 7
A= –
7 7
5
A = - (irréductible)
7
A = - 0,714 285 714 285 …
La partie décimale de A est
infinie ; A n’est pas un nombre
décimal.
B=
106  6  10-3
15  104
6
-3
2  3 10  10

35
104
2
B =  106 – 3 – 4
5
2
B =  10-1
5
2 1
B= 
5 10
21
B=
525
1
B = (irréductible)
25
B = 0,04 (écriture décimale)
B=
3 1
2
C =  –  : 1 + 
5
4

  3
12 5
C =  –  :
20 20
7 5
C= :
20 3
7 3
C= 
20 5
21
C=
(irréductible)
100
C = 0,21 (écriture décimale)
La partie décimale de C est finie ;
C est un nombre décimal.
La partie décimale de B est finie ;
B est un nombre décimal.
2.
5 5
9
D=- + 
7 21 25
5
533
D=- +
7 3755
5 3
D=- +
7 35
25 3
D=- +
35 35
22
D = - (irréductible)
35
25 15 11
: –
17 24 3
25 24 11
E=  –
17 15 3
5  5  3  8 11
E=
–
17  3  5
3
40 11
E= –
17 3
120 187
E=
–
51 51
67
E = - (irréductible)
51
E=
F=
F=
12  10  (103)2
24  102
12
 101 + 3  2 – 2
24
F = 0,5  105
F = 50 000 (écriture décimale)
F = 5  104 (écriture scientifique)
5
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3.
a) 0,05 x 1200 x 10 -3  5 x10 2 x12 x10² x10 3  60 x10 3  6 x10 2 ;
b) 1,5 x 10 3 x 2,2 x 10 -4  3,3x10 1
c) 0,0024 x 10 4 x 1,25 x 10 -3  24x 10  4 x 10 4 x 1,25x 10 3  30 x 10 3  3x 10  2 ;
d) 3 x 10 5 x 5 x 10 7 x 2 x 10 -3  30 x10123  30 x 10 9  3x1010
e) 4 x 10 3 x (5 x 10 2 ) 2  4 x 10 3 x 25x 10 4  100 x10 7  1x10 9 ;
f)
2 x 10 -6 x 10 3 x 3
2
6 x 10 x 5 x 10
4.
-9
6 x10 3

6 x5 x10
7

1
x10 3 x10 7  0,2 x10 4  2 x10 3
5
a) ses troncatures d’ordre 0 : 1
d’ordre 3 : 1,723
b) ses arrondis d’ordre 0 : 2
d’ordre 3 : 1,724
4
c) les valeurs approchées de x à 1 0 près
par défaut : 1,7239
par excès : 1,7240
5 a) cdu – udc = (100c + 10d + u) – (100u + 10d +c) = 99 c – 99 u = 99 (c-u)
b) d = c+u
cdu = 1OO c + 10 d + u = 100c + 10 (c+u) + u = 110c + 11u = 11 (10c + u)
donc divisible par 11
c) c+d+u =9 => u = 9 – c – d
cdu = 100c + 10d + u = 100c +10 d + 9 – c – d = 99c + 9d + 9 = 9 (11c + d + 1)
donc divisible par 9
6. Soit 2n + 1 ce nombre impair, n entier naturel
(2n + 1) ²= 4 n² + 4n + 1
= 4(n²+4) +1
= 2 N + 1 avec N = 2 ( n²+1) soit un entier naturel
Donc c’est un nombre impair
Soit 2n ce nombre pair, n entier naturel
(2n)² = 4n² = 2 (2n²) = 2 N’ avec N’ = 2n² soit un entier naturel
Donc c’est un nombre pair
7
A
B
2 3 21 2
2 7
5
 x
 1    ;
7 7 9
7
7 7
7
1 06 x 6 x 1 0 3
4

2 x3 x1 03
4

1 5x 1 0
3 x 5 x1 0
7
2
C  7 - 7 :  7  7 x  7  2  5;
2
7
D
1 0- 8 x 1,1x 1 012
3
33 x10

2
1

;
5 x1 0 2 5
1 1x1 01 x1 04
3
3 x1 1x1 0

1
;
3
6
er
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2   1 2 5   3  2  7 5
7 3
21
3 1 
E     : 1   
: 
x 
;
:

5
4
3
2
0
3
2
0
3
2
0
5
1
00

 
 
 

F
8.
53 5 4 53 3 2 3
:

x
 ;
3 32
3 54 5
(x-3)(2-x) = 2x –x² - 6 + «3x = -x² + 5x -6
- x(x-5)-6 = - x² + 5 x – 6
2
5
1
25
5  1
25 1
24


  x      x ² 
 2x x     x²  5 x 
   x²  5 x 
  x²  5 x  6
2
4
4
2
4
4
4
4




Les trois expressions sont donc égales.
9.
2
3
 x
3
4
2
3
1 x 1
3
4
1
1
 x 1
3
4
2
3
 x
3
4
2
3
2 x2 2
3
4
8
11
 x2
3
4
2
3
 x
3
4
2
3
x3  3 x  x3
3
4
9
2  3x 
4
 4 x e st n é g a ti f
2
3
x ( 4 )  4 x  ( 4 ) x
3
4
8
 4 x  3
3
Et pour s’entraîner au concours :
1)
2)
7
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3) Soit un palindrome à 4 chiffres, si d et u sont respectivement le chiffre des dizaines et le chiffre des
unités, u doit être aussi son chiffre des unités de mille et d celui des centaines. Il s’écrit donc uddu avec
0<u≤9 et 0≤d≤9.
4) 1. Le prix de 36 bidules est de la forme mc43u (1 ≤ m ≤ 9; 0 ≤ c ≤ 9; 0 ≤ u ≤ 9). C'est un multiple de 36,
donc de 9 et de 4.
Connaissant un encadrement du prix d'un bidule, on peut faire un encadrement du prix total :
1100 < prix d'un bidule < 1450
39 6oo < prix de 36 bidules < 52 200.
Un nombre est multiple de 4 si, et seulement si, les deux derniers chiffres qui composent l'écriture du
nombre est un multiple de 4. Comme le chiffre des dizaines est 3, il reste deux possibilités : 32 ou 36.
Il faut donc chercher [es nombres compris entre 39 6oo et 52 2oo de la forme mc432 Ou mc436 qui, de
plus, doivent être multiples de 9.
8
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Un nombre est multiple de 9 si, et seulement si, la somme des chiffres qui le composent est multiple de 9,
soit m + c + 4 + 3 + 2 = m + c + 9 multiple de 9 et
m + c + 4 + 3 + 6 = m + c + 13 multiple de 9.
On obtient trois solutions : 41436; 45 432 et 50436.
À chacun de ces trois nombres correspond le prix d'un bidule : 1151 euros, 1262 euros et 1401 euros.
2. 1262 n'est pas un nombre premier puisqu'il n'a pas pour seuls diviseurs 1 et lui-même : 2 est aussi un
diviseur de ce nombre.
De même, 1401 n'est pas un nombre premier: 3 divise ce nombre puisque la somme de ses chiffres est 6.
1151 n'est divisible par aucun nombre premier compris entre 2 et 41 (41 x 41 = 1681 et 1681 > 1 551), ce
qui suffit à montrer que ce nombre est premier.
Un bidule coûte donc 1151 euros et 36 bidules coûtent 41436 euros.
9