Ensemble des nombres, calculs dans Q et R

Master 1 : 1er semestre : EC 4A : éléments de mathématiques – 5h cours et TP - TD - JA
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Exercices : ch 1/ Ensemble des nombres, calculs dans Q et R
I. Ensemble de nombres.
1. Indiquer à quels ensembles N, Z, D, Q, R les nombres suivants appartiennent-ils :
;;;;;;;;; 1000 100 2 ;
7
22
3,14;
5
230
-
2
1
3
12
3
7
7;- 4,0; 3,5; 0π
Faire un tableau
2. Pour chacun des nombres suivants, indiquer le plus petit ensemble de nombres N, Z, D, Q, R auquel il
appartient et sa nature (on indiquera les simplifications).
) i nfi n il' vers tend (9 1 , 9 9 9 9 .. . ;1,33333... 4,1x1 0
8
260-
3,333;
100
25 -
3
π
14
84 3;;;;;
3. Donner si possible :
a) un entier qui ne soit pas naturel
b) un rationnel qui ne soit pas décimal
c) un décimal qui ne soit pas rationnel
d) un réel qui ne soit pas décimal
e) un irrationnel
f) un décimal compris entre 3/2 et 5/3
g) un rationnel qui diffère de
3
de moins de 0,01
h) un irrationnel compris entre -2 et -1
i) un décimal strictement positif et inférieur à : 0, 000 000 000 1
j) un entier inférieur à l’inverse de
10-π
4. Placer sur une droite numérique les nombres suivants :
II. Calculs numériques
1. On donne : A = 2
7 – 3 7  21 9 ; B = 106
 6  10-3
15  104
; C = 
3
5 – 1 4 : 
1 + 2
3
1°) Calculer chacun de ces nombres en donnant les étapes intermédiaires et exprimer chaque
résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
2°) Préciser, en justifiant dans chaque cas, si le résultat obtenu est un nombre décimal ou non.
2. On pose : D = - 5
7 + 5 21  9 25 ; E = 25 17 :15 24 – 11 3 ; F = 12  10  (103
)2
24  102
.
1°) Exprimer D et E sous forme de fractions irréductibles (détailler les calculs).
2°) Donner l’écriture scientifique de F.

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3. Effectuer et donner le résultat en écriture scientifique :
9-2
36-
223
3-753-4
-43-3
10 x5 x10 x6
3 x10 x10 x2
f) 10 x(5 x10 x4
10 x2 x10 x5 x10 x3 d) 10 x1,25 x10 x0,0024
10 x2 , 2 x10 x1 ,5 b) 10 x1200 x0 , 0 5
;))
;)
;)
e
c
a
4. Soit x = 1, 723982. Quelle est sa nature ?
Donner :
a) ses troncatures d’ordre 0, d’ordre 3.
b) ses arrondis d’ordre 0, d’ordre 3.
c) les valeurs approchées de x à
4
10
près par défaut, par excès.
5. Soit un nombre a 3 chiffres cdu, autres que 0.
cdu signifie 100c + 10d + u.
a) On permute les chiffres des unités et des centaines
Montrer que cdu – udc = 99 (c – u)
b) Démontrer que si d = c + u, ce nombre cdu est divisible par 11
c) Démontrer que si c+d+u = 9 alors cdu est divisible par 9
6. Montrer que le carré d’un nombre pair est un nombre pair et celui d’un nombre impair est impair.
7. Calculer et mettre le résultat sous forme de fraction irréductible
;:
;:;
,
;;;
2
43
3
12-8
4
36
3
5
3
5
3
2
1
4
1
5
3
E
10 x33
10 x11 x10
D
2
7
:7-7C
10 x15
10 x6 x10
B
9
21
x
7
3
7
2
F
A
8. Montrer que ces trois expressions sont égales
(x-3)(2-x) ; -x(x-5)-6 ;
4
1
2
52
 x
;
9. Encadrements :
Un nombre x vérifie :
4
3
3
2 x
Trouver des encadrements pour les nombres :
a) x -1 ; b) x+2 ; c) 3x ; d) -4x
Et pour s’entraîner au concours :
1) Faites le point sur vos connaissances concernant les différents ensembles de nombres. Pour chaque
question, indiquez toutes les réponses correctes (0, 1 ou plusieurs).
Les entiers du test sont des entiers relatifs appelés communément entiers, l'appellation : entiers naturels
étant réservée à l'ensemble N.

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2) a) 8,3 est la troncature au dixième d'un nombre x. Traduire cette information par un encadrement
d'amplitude 0,1 de x.
b) 8,3 est l'arrondi au dixième d'un nombre y. Traduire cette information par un encadrement d'amplitude
0,1 de y.
c) 8,76 est l'arrondi au centième d'un nombre z. Donner cinq valeurs possibles pour z
d) 17,5 est la troncature au dixième d'un nombre u. Donner un encadrement de u d'amplitude la plus petite
possible.
3) Les nombres 2 882 et 19 591 sont des palindromes (cela signifie qu'en les lisant de gauche à droite ou de
droite à gauche on a le même nombre). Trouver tous les palindromes ayant 4 chiffres et divisibles par 9.
4) Des cinq chiffres composant le prix de 36 bidules, on ne peut lire que le chiffre des centaines (un 4) et
celui des dizaines (un 3). De plus, on sait qu'un bidule coûte entre 1100 euros et 1450 euros.
a. Donner les prix possibles de 36 bidules (il y a trois solutions).
b. On sait que le prix d'un bidule est un nombre premier. Donner le prix des 36 bidules. Vérifier que le prix
d'un bidule est un nombre premier.

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Correction : Ensemble des nombres, calculs dans Q et R
I. Ensemble de nombres.
1.
N
Z
D
Q
R
;
;
;
;
;
;,
;
;
;
10101000
10100
2
;
7
22
3,14;
46
5
230
-
50
2
1
4
3
12
3
7
7;-
44 , 0
3 , 5 ;
0
π
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
2.
N 2 co m m e co n si d é rée st ) i n fi n il' ve rs te n d (9 1,9 9 9 9 ...
Q 1,33333...
N 41004 , 1 x1 0
Z 30
2
1
60
4
1
60
8
2
60
8
260-
Q 1 ,3 3 3 ... de di f f é re n t e st c' D 3 , 3 3 3
D 52
10
25
100
25 -
R
3
π
Z 6
14
84
3
x
,
3.
a) un entier qui ne soit pas naturel -3
b) un rationnel qui ne soit pas décimal 2 /3
c) un décimal qui ne soit pas rationnel pas de réponse
d) un réel qui ne soit pas décimal
2
e) un irrationnel
π
f) un décimal compris entre 3/2 et 5/3 1,6
g) un rationnel qui diffère de
3
de moins de 0,01 1,723

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h) un irrationnel compris entre -2 et -1
2
i) un décimal strictement positif et inférieur à : 0, 000 000 000 1=10-10 donc 9 x 10-11
j) un entier inférieur à l’inverse de
10-π
=
10 -π
1
donc -49
4. Droite numérique :
- 3 -2 =
 -1 0 1 2 3
 1,999… 3,14 3,333….
II. Calculs numériques
1
A = 2
7 – 3 7  21 9
A = 2
7 – 3  3  7 7  3  3
A =2
7 – 7 7
A = - 5
7 (irréductible)
A = - 0,714 285 714 285 …
La partie décimale de A est
infinie ; A n’est pas un nombre
décimal.
B = 106
 6  10-3
15  104
B = 2  3
3  5  106
 10-3
104
B = 2
5  106 – 3 – 4
B = 2
5  10-1
B = 2
5  1 10
B = 2  1
5  2  5
B = 1
25 (irréductible)
B = 0,04 (écriture décimale)
La partie décimale de B est finie ;
B est un nombre décimal.
C = 
3
5 – 1 4 : 
1 + 2
3
C = 
12
20 – 5 20 :
C= 7
20 : 5 3
C = 7
20  3 5
C = 21
100 (irréductible)
C = 0,21 (écriture décimale)
La partie décimale de C est finie ;
C est un nombre décimal.
2.
D = - 5
7 + 5 21  9 25
D = - 5
7 + 5  3  3 3  7  5  5
D = - 5
7 + 3 35
D = - 25
35 + 3 35
D = - 22
35 (irréductible)
E = 25
17 :15 24 – 11 3
E = 25
17  24 15 – 11 3
E = 5  5  3  8
17  3  5 – 11 3
E = 40
17 – 11 3
E = 120
51 – 187 51
E = - 67
51 (irréductible)
F = 12  10  (103
)2
24  102
F = 12
24  101 + 3  2 – 2
F = 0,5  105
F = 50 000 (écriture décimale)
F = 5  104 (écriture scientifique)