23 Cours - Espaces vectoriels de dimension finie.nb

Espaces vectoriels de dimension finie
ev de dimension finie, dimension d’un ev, dim
H
E
L
, formule de Grassmann,
rang d’une famille de vecteurs (d’une application linéaire), rg
I
x
1
, ..., x
p
M
, rg
H
u
L
, suite récurrente linéaire d’ordre 2
I) Dimension d’un espace vectoriel II) Sous espaces vectoriels en dimension finie
III) Applications linéaires en dimension finie IV) Suites récurrentes linéaires d’ordre 2
I) Dimension d’un espace vectoriel
1) Espace vectoriel de dimension finie
Un K-espace vectoriel E est de dimension finie lorsqu’il admet une famille génératrice finie, c’est à dire:
$nœ
*
,$e
1
,e
2
, ..., e
n
œE
ê
Vect
H
e
1
,e
2
, ..., e
n
L
=E
2
est de dimension finie car il a pour base (et donc famille génératrice) B=
1
0,
0
1 qui contient deux vecteurs.
n
@
X
D
est de dimension finie car il a pour base B=
I
1, X,X
2
, ..., X
n
M
qui contient n+1 vecteurs.
2) Lemme (Ce résultat permet d’en déduire tous les théorèmes suivants)
Soit E un ev ayant une famille génératrice de
n
vecteurs. Alors les familles libres de E contiennent au maximum
n
vecteurs.
On en déduit que en dimension finie, les bases contiennent un nombre fini de vecteurs, car une base est une famille libre.
Notons V=
H
g
1
, ..., gn
L
une famille génératrice de
E
. On raisonne par l’absurde et on suppose donc disposer d’une famille A'=
I
a
1
, ..., ap
M
libre avec
p
>
n
. Alors
A=
H
a
1
, ..., an
L
est libre (car A' est libre). On va montrer que A est une famille génératrice de
E
. Alors A sera une base de
E
, et c’est impossible, car la famille A'
qui contient strictement la base A doit être liée d’après le théorème “Toute famille contenant strictement une base est liée et génératrice.” vu dans le chapitre
précédent.
Vect G=E, donc a
1
peut s'écrire a1= S
i=
1
n
ligi . Au moins l'un des li est non nul, sinon a
1
=0, ce qui est exclu car A est libre. Alors par exemple l
1
∫0, et on
peut écrire: g1=1
l
1
a1- S
i=2
n
ligi.
Donc g
1
œVect
H
a
1
,g
2
, ..., gn
L
. Comme g
2
, .., gnœVect
H
a
1
,g
2
, ..., gn
L
, on en déduit g
1
,g
2
, .., gnœVect
H
a
1
,g
2
, ..., gn
L
, donc
E=Vect
H
g
1
, ..., gn
L
ÕVect
H
a
1
,g
2
, ..., gn
L
ÕE . Donc Vect
H
a
1
,g
2
, ..., gn
L
=E et la famille
H
a
1
,g
2
, ..., gn
L
est une famille génératrice de
E
.
Alors a
2
peut s'écrire a2= m1a1+S
i=
2
n
ligi . Au moins l'un des li est non nul, sinon a
2
= m
1
a
1
, ce qui est exclu car A est libre. Alors par exemple l
2
∫0, et on
peut écrire: g2=1
l
2
a2- m1a1- S
i=3
n
ligi.
Donc g
2
œVect
H
a
1
,a
2
,g
3
, ..., gn
L
. Comme a
1
,g
3
, .., gnœVect
H
a
1
,a
2
,g
3
, ..., gn
L
, on en déduit a
1
,g
2
, .., gnœVect
H
a
1
,a
2
,g
3
, ..., gn
L
, donc
E=Vect
H
a
1
,g
2
, ..., gn
L
ÕVect
H
a
1
,a
2
,g
3
, ..., gn
L
.
On en déduit que Vect
H
a
1
,a
2
,g
3
, ..., gn
L
=E , c'est à dire que la famille
H
a
1
,a
2
,g
3
, ..., gn
L
est une famille génératrice de E.
On recommence et de proche en proche on arrive finalement à
H
a
1
, ..., an
L
st une famille génératrice de
E
. C’est impossible: CQFD
3) Dimension d’un espace vectoriel
(1) Dans un espace vectoriel de dimension finie E∫
8
0
E
<
, toutes les bases comportent le même nombre de vecteurs.
(2) La dimension d’un espace vectoriel E de dimension finie notée dim(E), est le nombre de vecteurs qu’il y a dans une base
QUELCONQUE de E. On a donc dim
H
E
L
=card
H
B
L
avec
B
base quelconque de E.
(3) On pose dim
H
8
0
E
<
L
= 0. Lorsque E n’est pas de dimension finie, on pose dim
H
E
L
= +¶.
23 Cours - Espaces vectoriels de dimension finie.nb 1/6

4) Dimensions des espaces vectoriels usuels
(1) dim
H
n
L
=n car B=
1
0
ª
0
,
0
1
ª
0
, ...
0
0
ª
1
est une base de 
n
.
(2) dim
H
n
@
X
D
L
=n+1 car B=
I
1, X,X
2
, ..., X
n
M
est une base de 
n
@
X
D
.
(3) dim
H
@
X
D
L
= +¶ car B=
I
1, X,X
2
, ...
M
est une base de 
@
X
D
.
(4) dim
H
F
H
,
L
= +¶ car
H
xöx
n
L
nœ
est une famille libre infinie de
H
F
H
,
L
.
(5) dim
I
M
n
,
p
H
K
L
M
=näp car une base est constituée de la famille des matrices dont tous les termes sont nuls sauf un qui vaut 1
5) Théorème de la base incomplète
Soit E un espace vectoriel de dimension finie, avec E∫
8
0
E
<
, et soit
A
une famille libre de E.
Alorson peut compléter la famille
A
en une base
B
de E, c’est à dire: il existe une base
B
de E telle que AÕB.
Ce résultat prouve l’existence de bases en dimension finie et la démonstration donne un moyen “concret” de construire une
base; on peut toujours compléter une famille libre en une base en “piochant” dans les vecteurs d’une autre base connue.
6) Extraction d’une base dans une famille génératrice
Soit E un espace vectoriel de dimension finie, avec E∫
8
0
E
<
, et soit G une famille génératrice de E.
Alors on peut extraire de la famille G une base
B
de E, c’est à dire: il existe une base
B
de E telle que BÕG.
7) Une condition pour qu’une famille soit une base (très important en pratique)
Soit E un espace vectoriel de dimension n . Alors:
une famille de n vecteurs est une base de E si et seulement si elle est libre OU génératrice de E.
(Et si cette famille ne comporte pas n vecteurs, ce n’est pas une base)
Il est souvent plus facile de montrer qu’une famille est libre plutôt que de montrer qu’elle est génératrice.
8) Exercices
a) Soit A=
I
x
1
,x
2
, ..., x
p
M
une famille de p vecteurs dans un espace vectoriel de dimension n.
Compléter le tableau suivant avec “oui” , “non” ou “?”. Lorsqu’il y a un “?” dans une colonne, expliquer pourquoi une seule
réponse à un “?” donne toutes les autres.
p<n p =n p >n
A est libre
A est liée
A est une famille génératrice
A est une base
b) On pose a=
H
1, 2, 1
L
, b=
H
1, 1, 2
L
, c=
H
3, 2, 1
L
. Est-ce que B=
H
a,b,c
L
est une base de 
3
? Si oui, calculer les
coordonnées d’un vecteur u=
H
x,y,z
L
de 
3
dans B.
c) Trouver dim Vect
I
xö1, xöcos
H
x
L
,xöcos
H
2x
L
,xösin
2
H
x
L
,xöcos
2
H
x
M
M
, dans
F
H
,
L
.
23 Cours - Espaces vectoriels de dimension finie.nb 2/6

d) Soient a,bœ. Prouver que les trois fonctions
f
:xØcos x;g:xØsin
H
x+a
L
;h:xØcos
H
x+b
L
sont liées dans
F
H
,
L
.
e) Soit B=
H
P
0
,P
1
, ..., P
n
L
une famille de polynômes de 
@
X
D
avec deg P
k
=k pour tout entier k.
Montrer que B=
H
P
0
,P
1
, ..., P
n
L
est une base de 
n
@
X
D
.
II) Sous espaces vectoriels en dimension finie
1) Dimension d’un sous espace vectoriel
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F un sous espace vectoriel de E. Alors:
(1) F est de dimension finie et dim Fbdim E.
(2) E=Fñdim F=dim E.
(1) Une base B de F est une famille libre de
E
, donc dim F = card B b dim
E
(2) (fi) est clair. pour (›): Une base B de F est une famille libre de
E
avec dim F=dim E vecteurs, donc est une base de
E
. On en déduit que E=vect B=F car
B génère E et F.
Si F et G sont deux sous espaces vectoriels de E de dimension finie, il est FAUX que dim F=dim GñF=G.
Par contre, il est VRAI que
dim
F
=
dim
G
FÕG ñ
F
=
G
.
2) Rang d’une famille de vecteurs
Soit
I
x
1
, ..., x
p
M
une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E. Alors:
Le rang de la famille
I
x
1
, ..., x
p
M
, noté rg
I
x
1
, ..., x
p
M
, est rg
I
x
1
, ..., x
p
M
=dim
I
Vect
I
x
1
, ..., x
p
M
M
.
Soit
I
x
1
, ..., x
p
M
une famille de vecteurs d'un espace vectoriel E de dimension
n
. Alors:
(1) rg
I
x
1
, ..., x
p
M
bp et rg
I
x
1
, ..., x
p
M
bn
(2) rg
I
x
1
, ..., x
p
M
=p ñ
I
x
1
, ..., x
p
M
est une famille libre de E
(3) rg
I
x
1
, ..., x
p
M
=n ñ
I
x
1
, ..., x
p
M
est une famille génératrice de E.
3) Supplémentaire d’un sous espace vectoriel
(1) Soit F un sous espace vectoriel d’un espace vectoriel E de dimension finie. Alors:
il existe un sous espace vectoriel G de E tel que F∆G=E.
(2) Si
I
f
1
,f
2
, ..., f
p
M
est une base de F que l’on complète en
B
=
I
f
1
,f
2
, ..., f
p
,g
1
,g
2
, ..., g
q
M
une base de E, alors:
G=Vect
I
g
1
,g
2
, ..., g
q
) est un supplémentaire de F dans E.
Trouver des bases des sous espaces vectoriels F et d’un supplémentaire G de F dans l’espace vectoriel E lorsque:
a) E=
4
et
F
=
8
H
x
,
y
,
z
,
t
L
ê
x
+
y
+
z
=
x
-
z
+
t
=
0
<
b) E=
3
@
X
D
et
F
=
8
P
œ
E
ê
P
H
1
L
=
P
'
H
1
L
=
0
<
4) Dimension d’une somme de sous espaces vectoriels
a) Formule de Grassmann
Hermann Günther Grassmann (1809 - 1877), mathématicien allemand.
23 Cours - Espaces vectoriels de dimension finie.nb 3/6

Soient F et G deux sous espaces vectoriels de E de dimension finie. Alors dim
H
F+G
L
=dim F+dim G-dim
H
F
›
G
L
.
Dans le cas particulier où F et G sont en somme directe, dim
H
F∆G
L
=dim F+dim G .
b) Cas des sous espaces vectoriels supplémentaires
(1) F∆G=E ñ
;
dim
F
+
dim
G
=
dim
E
F
›
G=
8
0
E
<
(2) Tous les sous espaces vectoriels supplémentaires d’un même sous espace vectoriel ont la même dimension.
c) Exercice
Dans 
4
soient a=
1
2
1
1
, b=
1
2
3
-
1
, c=
1
2
-1
3
, d=
1
0
0
1
, e=
0
1
-1
2
. On pose E=vect
H
a,b,c
L
et
F
=
vect
H
d
,
e
L
.
Calculer
dim
E
,
dim
F
, dim
H
E+F
L
, dim
H
E
›
F
L
.
III) Applications linéaires en dimension finie
1) Détermination d’une application linéaire
a) Détermination par les images des vecteurs d’une base
Une application linéaire est parfaitement déterminée par les images des vecteurs d’une base.
En effet, un vecteur donné x de E s’écrit de façon unique x= l
1
e
1
+... + l
n
e
n
. Alors u
H
x
L
=u
H
l
1
e
1
+... + l
n
e
n
L
=
l
1
u
H
e
1
L
+... + l
n
u
H
e
n
L
peut être calculé si l’on connait u
H
e
1
L
,u
H
e
2
L
, ..., u
H
e
n
L
.
b) Exercice
Soit
f
œL
I
2
M
telle que
f
1
2
=
3
4
et
f
1
1
=
1
-
1
. Calculer
f
x
y pour
x
yœ
2
.
c) Détermination par ses restrictions à des supplémentaires
Une application linéaire définie sur E=F∆G est parfaitement déterminée par ses restrictions à F et à G.
xœE s’écrit de façon unique x=xF+xG avec
H
xF,xG
L
œFäG. Alors u
H
x
L
=u
H
xF+xG
L
=u
H
xF
L
+u
H
xG
L
est calculable car u
H
xF
L
et u
H
xG
L
sont connus.
Avec E=
2
,F=vect
H
a=
H
1, 1
L
L
et G=vect
H
b=
H
1, -1
L
L
, calculer
f
H
H
x,y
L
L
sachant que les restrictions de
f
à F et G sont
les homothéties de rapports 2 et 3.
2) Détermination de Im(u)
Soit
u
œ
L
H
E
,
F
L
, avec E de dimension
n
et B=
H
e
1
,e
2
, ..., e
n
L
une base de E. Alors Im u=vect
H
u
H
e
1
L
,u
H
e
2
L
, ..., u
H
e
n
L
L
.
Im u=
8
u
H
x
L
ê
xœE
<
=
8
u
H
l
1
e
1
+... + lnen
L
ê
liœK
<
=
8
l
1
u
H
e
1
L
+... + lnu
H
en
L
ê
liœK
<
= vect
H
u
H
e
1
L
,u
H
e
2
L
, ..., u
H
en
L
L
.
3) Espaces vectoriels isomorphes
Les espaces vectoriels E et F sont isomorphes si et seulement si il existe une application linéaire bijective de E dans F.
23 Cours - Espaces vectoriels de dimension finie.nb 4/6

Deux espaces vectoriels de dimension finie sont isomorphes si et seulement si ils ont même dimension.
(fi) Si u:EöF est un isomorphisme et B=
H
e
1
, ..., en
L
une base de
E
, vérifier que C=
H
u
H
e
1
L
, ..., u
H
en
L
L
est une base de F. Alors
dim F=card C=n=card B=dim E.
(‹) Si
dim
E
=
dim
F
, soient
B
=
H
e
1
, ..., en
L
et C=
H
f
1
, ..., fn
L
deux bases de
E
et F. On définit uœL
H
E,F
L
par: "kœ
8
1, ..., n
<
,u
H
ek
L
=fk et on vérifie que u est
bijectif.
4) Théorème du rang
a) Rang d’une application linéaire
Soit
u
œ
L
H
E
,
F
L
, avec E de dimension finie. Le rang de
u
est
rg
u
=
dim
H
Im
u
L
.
b) Lien avec le rang d’une famille de vecteurs
Soit
u
œ
L
H
E
,
F
L
, avec B=
I
e
1
,e
2
, ..., e
p
M
une base de E. Alors rg u=rg
I
u
H
e
1
L
, ..., u
I
e
p
M
M
.
Car rg u=dim
H
Im u
L
=dim vect
I
u
H
e
1
L
, ..., u
I
ep
M
M
=rg
I
u
H
e
1
L
, ..., u
I
ep
M
M
c) Théorème du rang
Soit
u
œ
L
H
E
,
F
L
, avec E de dimension finie. Alors dim
H
Ker u
L
+dim
H
Im u
L
=dim E, ou encore
dim
H
Ker u
L
+rg u=dim E.
d) Rang d’une composée
Soient
u
œ
L
H
E
,
F
L
et vœL
H
F,G
L
avec E,F,G de dimension finie. Alors:
(1) rg
H
vëu
L
bmin
H
rg
H
u
L
, rg
H
v
L
L
.
(2) Si v est un isomorphisme, rg
H
vëu
L
=rg
H
u
L
.
(3) Si
u
est un isomorphisme,
rg
H
v
ë
u
L
=
rg
H
v
L
.
Remarquons déjà que si uœL
H
E,F
L
et si A est un sev de
E
alors d’après le théorème du rang appliqué à u
A
, dim u
H
A
L
bdim A
(1) Im
H
vëu
L
ÕIm
H
v
L
donc rg
H
vëu
L
brg
H
v
L
et rg
H
vëu
L
=dim v
H
u
H
E
L
L
bdim u
H
E
L
=rg
H
u
L
d’après la remarque
(2) Car v est un isomorphisme de Im
H
u
L
dans Im
H
vëu
L
donc rg
H
vëu
L
=rg
H
u
L
avec le th 3).
(3) Car v
H
u
H
E
L
L
=v
H
F
L
donc rg
H
vëu
L
=rg
H
v
L
.
e) Invariance du rang d’une famille de vecteurs par isomorphisme
Soit
I
x
1
, ..., x
p
M
une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E et
u
œ
L
H
E
,
F
L
un isomorphisme.
Alors rg
I
u
H
x
1
L
, ..., u
I
x
p
M
M
=rg
I
x
1
, ..., x
p
M
.
rg
I
u
H
x
1
L
, ..., u
I
xp
M
M
=dim
I
Vect
I
u
H
x
1
L
, ..., u
I
xp
M
M
=dim
I
Vect
I
x
1
, ..., xp
M
=rg
I
x
1
, ..., xp
M
car u isomorphisme de Vect
I
x
1
, ..., xp
M
dans Vect
I
u
H
x
1
L
, ..., u
I
xp
M
.
5) Conséquence du théorème du rang
Soit
u
œ
L
H
E
L
, avec E de dimension finie. Alors:
u
est injective ñ
u
est surjective ñ
u
est bijective ñ Ker u=
8
0
E
} ñ rg u=dim E
6) Exercices
a) Vrai ou Faux ? Soit
u
œ
L
H
E
L
, avec E de dimension finie. Alors: Ker u∆Im u=E .
b) Soit
f
œL
I
3
) tel que
f
∫0 et
f
ëf=0. Comparer Ker f et Im f et en déduire que rg f=1. Donner un exemple de
f
.
c) Soit
f
l’endomorphisme de 
n
@
X
D
défini par
f
H
P
L
=P
H
X+1
L
-P
H
X
L
. Déterminer Ker f et en déduire Im f.
23 Cours - Espaces vectoriels de dimension finie.nb 5/6