Corrigé 6

Cours d’Alg` ebre I Bachelor Semestre 3
Prof. E. Bayer Fluckiger 31 Octobre 2011
Corrig´e 6
Exercice 1 (Les sous-groupes des groupes quotients).
Soit f:G1−→ G2un homomorphisme de groupes. On rappelle les faits
suivants :
(A) l’image r´eciproque d’un sous-groupe de G2par fest un sous-groupe de G1;
(B) l’image r´eciproque d’un sous-groupe normal de G2par fest un sous-groupe
normal de G1;
(C) l’image d’un sous-groupe de G1par fest un sous-groupe de G2;
(D) si fest surjectif, alors l’image d’un sous-groupe normal de G1par fest un
sous-groupe normal de G2.
(1) Donner un contre-exemple `a la derni`ere assertion lorsque fn’est plus
suppos´e surjectif.
(2) Soit Nun sous-groupe normal d’un groupe G.
(a) Montrer que la surjection canonique π:G−→ G/N induit une
bijection fentre l’ensemble des sous-groupes de Gcontenant Net
l’ensemble des sous-groupes de G/N.
(b) Montrer que finduit par restriction une bijection entre l’ensemble
des sous-groupes normaux de Gcontenant Net l’ensemble des sous-
groupes normaux de G/N.
Solution.
(1) Comme
0 1
1 0  1 0 0b 0 1 1 0 −1
=b0
0 1 ,
le sous-groupe  1 0
0b:b∈R\ {0}de GL2(R) n’est pas normal
dans GL2(R). En particulier l’image de l’homomorphisme de groupe
R∗−→ GL2(R)
b7−→ 1 0
0b
n’est pas un sous-groupe normal de GL2(R) bien que R∗soit un sous-
groupe normal de R∗

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(2) (a) La surjection canonique π:G−→ G/N est un homomorphisme de
groupe sujectif. D’apr`es l’assertion (C), on a une application fde
l’ensemble des sous-groupes de Gcontenant Nvers l’ensemble des
sous-groupes de G/N qui associe `a un sous-groupe Hde Gle sous-
groupe f(H) := π(H). Comme πest surjective, pour tout sous-groupe
Ede G/N, on a E=f(π−1(E)). D’apr`es l’assertion (A), l’ensemble
π−1(E) est un sous-groupe de G. On en d´eduit que fest surjective
puisque N= ker(π)⊂π−1(E).
L’injectivit´e de fs’obtient en montrant que H=π−1(f(H)) pour
tout sous-groupe Hde Gcontenant N. On a toujours H⊂π−1(f(H))
mais on n’a pas ´egalit´e en g´en´eral si on ne suppose pas que Hcontient
N. Soit Hun sous-groupe de Gcontenant N. Soit g∈π−1(f(H)).
alors π(g) est dans f(H) = π(H). En particulier, il existe h∈Htel
que π(g) = π(h). Par d´efinition de π, il existe donc n∈Ntel que
g=hn. Or N⊂Hdonc g=hn appartient `a H. Ainsi, on a bien
π−1(f(H)) ⊂Het donc π−1(f(H)) = H.
(b) Il suffit de remplacer respectivement, dans la r´eponse `a la question
6(a), l’utilisation de l’assertion (A) et de l’assertion (C) par une ap-
plication de l’assertion (B) et de l’assertion (D).
Exercice 2 (Les espace vectoriels quotients).
Soient Kun corps et Fun sous-espace vectoriel d’un K-espace vectoriel E.
Montrer que le groupe quotient (E/F, +) est isomorphe en tant que groupe `a un
sous-espace vectoriel de E.
Solution.
Soit Gun suppl´ementaire de Fdans E. Alors (G, +) est un sous-groupe de
(E, +). Soit pla projection sur Gparall`element `a F. Vous avez vu en premi`ere
ann´ee que l’application p: (E, +) −→ (G, +) est un homomorphisme de groupe
(et mˆeme une application lin´eaire) dont le noyau est F. D’apr`es le premier
th´eor`eme d’isomorphisme, (G, +) est isomorphe au quotient (E/F, +). 
Exercice 3 (Le cercle unit´e).
(1) Montrer que le cercle Cde centre 0 et de rayon 1 est un sous-groupe de C∗.
(2) Montrer que (Z,+) est normal dans (R,+).
(3) Montrer que le groupe quotient (R/Z,+) est isomorphe `a (C,×).
Solution.
(1) Le cercle Cde centre 0 et de rayon 1 est est l’ensemble des nombres
complexes de module 1. Il est non vide (il contient 1). Pour tout a, b ∈C
on a |a.b|=|a|.|b|. Si a6= 0, on a aussi |a−1|=|a|−1|.Le cercle Cest donc
bien un sous-groupe de C∗.
(2) Le groupe (R,+) est commutatif donc (Z,+) est normal dans (R,+).

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(3) On consid`ere l’application f:R−→ C, θ 7−→ exp(2πiθ). La fonction
exp : (C,+) −→ C∗est un homomorphisme de groupe. Des propri´et´es des
fonctions cos et sin vues en cours d’analyse nous d´eduisons que :
•l’application fest surjective ;
•l’application fest 1-p´eriodique ; en particulier son noyau contient Z;
•la restriction de l’application f`a [0,2π] est injective ; en particulier
le noyau de fest contenu dans Z.
D’apr`es le premier th´eor`eme d’isomorphisme, le groupe quotient (R/Z,+)
est isomorphe `a (C,×).
Exercice 4 (Quelques quotients de Q/Z).
(1) Montrer que pour tout n∈N∗, le groupe quotient Q/Zcontient exacte-
ment un sous-groupe cyclique d’ordre n.
(2) Quels sont les homomorphismes de Z/nZdans Q/Z?
(3) Quels sont les homomorphismes de Q/Zdans Z?
Solution.
(1) Soit x∈Q/Zun g´en´erateur d’un groupe cyclique de cardinal n. Alors nx
est dans Z, c’est-`a-dire que xest la classe de congruence de m/n modulo Z
pour un certain m∈Z.
Si dest un facteur commun de met n, alors xest d’ordre au plus n/d.
Par cons´equent, net msont premiers entre eux. Soit (µ, ν)∈Z2\ {(0,0)}
tel que µm +νn = 1. Alors µ(m/n) = (1/n)−νet 1/n ont la mˆeme
classe de congruence modulo Z. Ainsi le groupe engendr´e par xest aussi
le groupe engendr´e par la classe de 1/n modulo Z. Le groupe Q/Za donc
exactement un sous-groupe de cardinal n.
(2) Soit π:Z−→ Z/nZla surjection canonique. Soit f:Z/nZ−→ Q/Z
un homomorphisme de groupe. Le morphisme f◦π:Z−→ Q/Zest
enti`erement d´etermin´e par la donn´ee de f(π(1)).
Le noyau de f◦πcontient nZ. Par cons´equent ker(f◦π) = mZpour
un certain diviseur mde Z. D’apr`es le premier th´eor`eme d’isomorphisme,
l’image de f◦πest un sous-groupe cyclique d’ordre mde Q/Z. La r´eponse `a
la question pr´ec´edente montre f(π(1)) est la classe de congruence modulo
Zde a/m pour un certain entier a∈Zpremier `a m. Ainsi, pour tout
entier k∈Z, on a
f(kmod n) = (ka/m)Z
o`u kmod nd´esigne la classe de congruence de kmodulo n.
Inversement si mest un diviseur de net a∈Zest premier `a m, alors
l’application
f:Z/nZ−→ Q/Z
kmod n7−→ (ka/m)Z
est bien d´efinie. C’est mˆeme un homomorphisme de groupe.

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(3) Un homomorphisme de groupe de Q/Zdans Zs’obtient par passage au
quotient d’un homomorphisme de groupe de Qdans Z. On a un seul
homomorphisme de groupe f:Q−→ Z. L’homomorphisme trivial est
donc le seul homomorphisme de groupe de Q/Zdans Z.
Exercice 5 (Les quotients de groupes cycliques).
Soit n≥2 un entier.
(1) Quels sont les sous-groupes normaux de Z/nZ?
(2) D´eterminer `a isomorphisme pr`es quels groupes sont isomorphes `a un quo-
tient de Z/nZpar un de ses sous-groupes normaux.
(3) Quels sont les groupes Gpour lesquels il existe un homomorphisme de
groupes surjectif f:Z/nZ−→ G?
Solution.
(1) Le groupe Z/nZest un groupe ab´elien. Tous ses sous-groupes sont donc
normaux. Les sous groupes de Z/nZsont les sous-groupes de la forme
dZ/nZo`u dest un diviseur de ni.e. les groupes cycliques engendr´es par
la classe de congurence modulo nd’un diviseur dde n.
(2) Soit Hun sous-groupe de Z/nZ. Il existe un diviseur dde ntel que
H=dZ/nZ. On consid`ere les deux inclusions
nZ⊂dZ⊂Z
de sous-groupes normaux de Z. D’apr`es le troisi`eme th´eor`eme d’isomor-
phisme, le quotient (Z/nZ)/(dZ/nZ) est isomorphe `a Z/dZ. Les groupes
isomorphes `a un quotient de Z/nZpar un de ses sous-groupes sont donc
les groupes isomorphes `a Z/dZpour un certain diviseur dde n, c’est-`a-dire
les groupes cycliques d’ordre un diviseur dde n.
(3) D’apr`es le premier th´eor`eme d’isomorphisme les groupes Gpour lesquels
il existe un homomorphisme de groupe surjectif f:Z/nZ−→ Gsont
exactement les groupes isomorphes `a un quotient de Z/nZpar un de
ses sous-groupes normaux, c’est-`a-dire les groupes cycliques d’ordre un
diviseur dde n(c.f. la question pr´ec´edente).
Exercice 6 (Quelques quotients des groupes di´edraux).
Soit n≥2 un entier impair. On rappelle que D2nest engendr´e par un ´el´ement r
d’ordre exactement net un ´el´ement sd’ordre exactement 2 tels que srs−1=r−1.
(1) Montrer que, pour tout diviseur mde n, le groupe D2ncontient exactement
un sous-groupe Cmisomorphe `a Z/mZ. Le groupe Cmest il le noyau d’un
homomorphisme de groupes ?
(2) Le sous-groupe Hengendr´e par sest il le noyau d’un homomorphisme de
groupes ?
Solution.

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(1) Comme rs =sr−1, tout ´el´ement dans le groupe D2nest de la forme sirj
avec i∈ {0,1}et 0 ≤j < n. Tout sous-groupe cyclique de D2nest donc le
groupe engendr´e par sirjpour un certain i∈ {0,1}et un certain entier j
tel que 0 ≤j < n. Comme srjest d’ordre 2 et rjest d’ordre n/pgcd(j, n),
et comme mest impair, le groupe D2ncontient un seul sous-groupe Cm
isomorphe `a Z/mZ, `a savoir le sous-groupe Cmengendr´e par rn/m. Comme
srjs−1=r−j, le groupe Cmest normal. Par cons´equent, Cmest le noyau
de la surjection canonique D2n−→ D2n/Cm.
(2) D’apr`es l’exercice 1, si H´etait le noyau d’un homomorphisme de groupe,
alors Hserait normal. Ce n’est pas le cas puisque rsr−1/∈ {1D2n, s}.
Exercice 7 (Sous-groupes d’indice premier). (*)
Soit Hun sous-groupe d’un groupe fini G. On consid`ere l’application
f:G−→ S(G/H)
g7−→ (xH 7→ gxH)
On note p:= [G:H].
(1) Montrer que fest un homomorphisme de groupes et que ker(f)⊂H.
(2) Montrer que, si le cardinal de Gne divise pas p!, alors ker(f) est un
sous-groupe normal non trivial de G.
(3) On suppose que p= [G:H] est ´egal au plus petit facteur premier de G.
En vous inspirant de la r´eponse `a la question pr´ec´edente, montrer que H
est normal dans G.
Indication : bien que ce ne soit pas demand´e, on peut montrer qu’en
g´en´eral ker(f) est le plus grand sous-groupe de Hnormal dans G.
Solution.
(1) Le fait que fsoit un homomorphisme est imm´ediat. Soit g∈ker(f).
Alors pour tout x∈gon a gxH =xH. En particulier, pour x= 1G, on a
gH =H, c’est-`a-dire que g∈H. Ainsi on a bien ker(f)⊂H.
(2) Le sous-groupe ker(f) est normal (c’est le noyau d’un homomorphisme de
groupe). Si ker(f) = 1 alors le premier th´eor`eme d’isomorphisme montre
que Gest isomorphe `a Im(f). Dans ce cas, le th´eor`eme de Lagrange montre
que le cardinal de Gdivise le cardinal de S(G/H), c’est-`a-dire que le
cardinal de Gdivise p!.
(3) D’apr`es le premier th´eor`eme d’isomorphisme, finduit un isomorphisme
entre G/ ker(f) et un sous-groupe de S(G/H). En particulier, d’apr`es le
th´eor`eme de Lagrange, le cardinal de G/ ker(f) divise p!.
Le cardinal de G/ ker(f) divise le cardinal de G, donc, si fn’est pas
triviale, le plus petit facteur premier du cardinal de G/ ker(f) est p.
Ces deux remarques montrent que le cardinal de G/ ker(f) est 1 ou p.
Par cons´equent, le th´eor`eme de Lagrange montre que H/ ker(f) est soit
{1}soit G/ ker(f). D’apr`es l’exercice 1, le sous-groupe Hest donc ´egal
soit `a ker(f) soit `a G. Ainsi Hest normal dans G.