Algèbre Relations d`équivalence

Algèbre
Relations d’équivalence
Denis Vekemans ∗
Exercice 1 Soit Eun ensemble et Rune relation de Edans E.
Dans chacun des exemples ci-dessous, donner les propriétés (réflexivité, symétrie, transitivité) vérifiées
par R.
1. Eest l’ensemble des droites du plan. Rest définie par DRD′⇐⇒ D⊥D′.
2. Eest l’ensemble des cercles du plan. Rest définie par ΓRΓ′⇐⇒ Γet Γ′se coupent en exatcement
deux points.
3. Eest l’ensemble des fonctions continues de [0,1] dans R:E=C[0,1].Rest définie par fRg⇐⇒
∀x∈[0,1], f(x)≤g(x).
4. Eest l’ensemble des fonctions de définies sur Ret à valeurs dans R.Rest définie par fRg⇐⇒ f−g
est une fonction paire.
5. E=R.Rest définie par xRy⇐⇒ xey=yex.
6. E=Z∗.Rest définie par xRy⇐⇒ xdivise y.
7. E=P(X), où Xest un ensemble. Rest définie par ARB⇐⇒ A⊂B.
Exercice 2 Dans Z×Z∗, démontrer que la relation Rdéfinie par
(x, y)R(x′, y′)⇐⇒ xy′=x′y
est une relation d’équivalence.
Exercice 3 Soit Eun ensemble. Soit Rune relation réflexive et transitive de Evers Eet Sla relation de
Evers Edéfinie par
xSy⇐⇒ (xRy)∧(yRx).
Montrer que Sest une relation d’équivalence.
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais
cedex ; France
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Exercice 4 On dit qu’une relation Rde Xdans Xest circulaire si
(xRy)∧(yRz) =⇒zRx.
Montrer qu’une relation est réflexive et circulaire si et seulement si elle est une relation d’équivalence.
Exercice 5 Trouver l’erreur dans le raisonnement suivant :
Soit Rune relation binaire de Xdans X, symétrique et transitive.
Donc, xRyimplique que yRx, par symétrie, et comme (xRy)∧(yRx), cela induit que
xRx, par transitivité.
Donc, Rest réflexive et est, par conséquent, une relation d’équivalence.
Donner un exemple Rde relation binaire de Xdans X, symétrique et transitive, mais non réflexive.
Exercice 6 Soit Eun ensemble. Soit Rla relation de Evers Edéfinie par
xRy⇐⇒ x=y.
1. Montrer que Rest une relation d’équivalence.
2. Pour tout x∈E, déterminer la classe d’équivalence de x.
3. Déterminer l’ensemble quotient de Epar R.
Exercice 7 On définit sur R2la relation Rpar
(x, y)R(x′, y′)⇐⇒ x−5y′=x′−5y.
1. Montrer que Rest une relation d’équivalence.
2. Vérifier que la classe d’équivalence de (0,0), que l’on notera R(0,0), est une droite Dà préciser.
3. Vérifier que toute classe d’équivalence R(x, y)est une droite parallèle à D.
4. Soit f:R2−→ Rl’application définie par f(x, y) = x+ 5y.
Montrer que
∀(x, y)∈R2, f(R(x, y)) = x+ 5y.
Montrer que fest bijective de R2/Rdans R.
Exercice 8 Soit n∈N∗. Soit Rnla relation définie dans Zpar
xRny⇐⇒ ndivise x−y.
1. Montrer que Rnest une relation d’équivalence.
Elle est appelée congruence modulo n et on note x≡ymod (n)au lieu de xRny.
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2. Pour tout x∈Z, déterminer la classe de xmodulo n.
3. On note Z/nZl’ensemble quotient de Zpar Rn. Quel est son cardinal ?
Exercice 9 Soit fune application de Evers Fet soit Rla relation de Evers Edéfinie par
xRy⇐⇒ f(x) = f(y).
1. Montrer que Rest une relation d’équivalence.
2. Pour tout x∈E, on note xla classe d’équivalence de x.
Montrer que l’application Φde E/Rvers fdéfinie par Φ(x) = f(x)est une bijection.
Exercice 10 Soit Rla relation sur N∗définie par
xRy⇐⇒ xdivise y.
Montrer que (N∗,R)est un ensemble partiellement ordonné.
Références
[1] M. Gran, fiches de TD (L1), Université du Littoral Côte d’Opale.
[2] M. Serfati, Exercices de mathématiques. 1. Algèbre, Belin, Collection DIA, 1987.
[3] D. Duverney, S. Heumez, G. Huvent, Toutes les mathématiques – Cours, exercices corrigés – MPSI,
PCSI, PTSI, TSI, Ellipses, 2004.
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