Cours

D.E.A de math´ematiques et d’informatique de
Bamako
Ann´ee 2007
Cours de Codes Correcteurs d’Erreurs (et
fonctions bool´ennes)
Claude Carlet

Table des mati`eres
1 Introduction 4
1.1 Introduction au domaine des applications . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 La Protection de la m´emoire des ordinateurs . . . . . . 5
1.1.2 Les photos de la Plan`ete MARS transmises par le vais-
seau spatial MARINER 9 en 1972 . . . . . . . . . . . . 6
2 Les codes en blocs 7
2.1 Trois exemples historiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Le test de parit´e: Un exemple de code d´etecteur. . . . . 7
2.1.2 Le code `a r´ep´etition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.3 Le premier code du math´ematicien R.W. Hamming . 8
2.2 G´en´eralit´es ............................ 8
3 Codes lin´eaires 11
3.1 Matrice g´en´eratrice et matrice de contrˆole . . . . . . . . . . . 13
3.1.1 Matrice g´en´eratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.2 Code dual et matrice de contrˆole . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Les codes ”Maximum Distance Separable” (MDS) . . . . . . 19
3.3 Polynˆomes des poids des codes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 D´ecodage des codes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4.1 D´ecodage par d´ecision majoritaire . . . . . . . . . . . . 24
3.4.2 D´ecodage par permutations . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Les codes de Reed-Muller 27
5 Les sch´emas de chiffrement par flot 31
5.1 Sch´emasparflot ......................... 33
5.2 Fonctions bool´eennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1

5.2.1 Rappel........................... 38
5.2.2 Forme alg´ebrique normale et transform´ee de M¨obius . . 39
5.2.3 Crit`eres cryptographiques sur les fonctions bool´eennes . 40
6 Les sch´emas de chiffrement par blocs 50
6.1 Fonctions bool´eennes vectorielles pour les sch´emas par blocs . 58
7 Codes Cycliques 62
7.1 Introduction: une pr´esentation ´el´ementaire des codes BCH 2-
correcteurs............................. 62
7.2 Codes cycliques: g´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.3 Dimension et matrice g´en´eratrice d’un code cyclique . . . . . . 69
7.4 Dual d’un code cyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.5 Encodage ............................. 71
7.6 Construction des codes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.7 Z´erosdudual ........................... 75
8 Principaux codes cycliques 77
8.1 Les codes de Bose-Chaudury-Hocquenghem (codes BCH) 77
8.1.1 LaborneBCH ...................... 77
8.1.2 D´efinition des codes BCH . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.2 Codes de Reed-Solomon (codes RS) . . . . . . . . . . . . . . 82
8.3 Les codes de Reed-Solomon et le disque compact . . . . . . . . 85
8.3.1 Le CD et le CD-ROM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9 Codes non-lin´eaires; codes Z4-lin´eaires 87
9.1 Les codes de Kerdock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.2 Codes Z4-lin´eaires......................... 95
9.2.1 Polynˆomes ´enum´erateurs des poids des codes quater-
naires ........................... 96
9.2.2 Le”Graymap” ...................... 97
9.2.3 La Z4-lin´earit´e des codes de Kerdock . . . . . . . . . . 98
9.2.4 La repr´esentation du code de Kerdock par la fonction
trace de l’anneau de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2

Bibliographie
[1] Alg`ebre discr`ete et codes correcteurs, O. Papini et J. Wolfmann,
Math´ematiques et Applications, Collection de la SMAI, Springer-Verlag
(1995).
[2] Exercices sur les Codes Correcteurs, A. Poli, Collection logique
math´ematique et informatique, Masson.
[3] The Theory of Error Correcting Codes, F.J. Macwilliams, N.J.A. Sloane,
North-Holland 1986 (derni`ere ´edition).
[4] Cours de cryptographie, Gilles Zemor, Editions Cassini
[5] Introduction aux m´ethodes de la cryptographie, Brassart, Beckett
[6] Boolean Functions for Cryptography and Error Correcting Codes.
C. Carlet. Chapter of the monography Boolean Methods and
Models, Y. Crama and P. Hammer eds, Cambridge University
Press, to appear. Preliminary version available at http://www-
rocq.inria.fr/codes/Claude.Carlet/pubs.html
[7] Vectorial (multi-output) Boolean Functions for Cryptography. C. Car-
let. Chapter of the monography Boolean Methods and Models,
Y. Crama and P. Hammer eds, Cambridge University Press,
to appear soon. Preliminary version available at http://www-
rocq.inria.fr/codes/Claude.Carlet/pubs.html
[8] Handbook of applied cryptography, Menesez, Van Oorschott. Disponible
sur le web `a l’URL http://www.cacr.math.uwaterloo.ca/hac
[9] Cryptographie th´eorie et pratique Douglas Stinson. International Thom-
son Publishing France (1996)
[10] The codebreakers, David Kahn
3

Chapitre 1
Introduction
Le codage correcteur d’erreurs, dont l’origine remonte `a la fin des ann´ees
40, permet de transmettre de fa¸con fiable de l’information, cod´ee au moyen de
mots binaires d’une longueur donn´ee, sur des lignes plus ou moins bruit´ees.
La transmission de l’information binaire sur des lignes bruit´ees pr´esentant
un risque d’erreurs variable selon les cas, il s’agit de trouver un moyen de les
corriger `a la r´eception de l’information, au prix d’une certaine redondance,
tout en minimisant dans chaque situation le temps d’occupation de la ligne.
Les premiers travaux sur le sujet ont ´et´e men´es par Golay, Hamming et Shan-
non1.
Les codes correcteurs d’erreurs sont pr´esents aujourd’hui dans tous les
r´eseaux, `a des niveaux techniques plus ou moins complexes. La g´en´eralisation
de l’usage des satellites de t´el´ecommunication dans les r´eseaux mondiaux
augmentant le niveau de bruit, le niveau technique de la correction d’erreurs
dans ces r´eseaux a tendance `a augmenter sensiblement.
On trouve aussi de la correction d’erreurs `a un niveau sophistiqu´e dans les
sondes spatiales, les syst`emes de guidage, les lecteurs de disques num´eriques
et de disques compacts.
Voyons sch´ematiquement le probl`eme pos´e par la transmission sur un
canal bruit´e.
Source −→ (u1, . . . ,uk)→Encodeur →(x1, . . . ,xn)
1. voir son texte fondateur de le th´eorie de l’information: A mathematical theory of
communication
4