Annexes : exercices et corrigés

Économétrie
5e édition
Annexes : exercices et corrigés
William Greene
New York University
Édition française dirigée par Didier Schlacther,
IEP Paris, université Paris II
Traduction :
Stéphanie Monjon, université Paris I Panthéon-Sorbonne

Le présent texte est la traduction de Solutions Manual to Econometric Analysis, 5th
edition, de William Greene, publié par Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey,
États-Unis. Copyright © 2003 Pearson Education Inc.
Authorized translation from the English language edition, entitled Solutions Manual to
Econometric Analysis, 5th edition published by Pearson Education Inc., publishing as
Prentice Hall PTR, Copyright © 2003 by Pearson Education Inc., Upper Saddle
River, New Jersey, 07458. All rights reserved. No part of this book maybe reproduced
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Annexe A
Exercice 1
Pour les matrices A = 133
241
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦ et B =
24
15
62
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
, calculer AB, A′B′, et BA.
AB = 23 25
14 30
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦, BA =
10 22 10
11 23 8
10 26 20
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
A′B′ = (BA)′ =
10 11 10
22 23 26
10 8 20
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
.
Exercice 2
Prouver que tr(AB) = tr(BA) avec A et B deux matrices quelconques, non
nécessairement carrées, pouvant être multipliées.
Le i-ième élément de la diagonale de AB est ∑ab
jij ji . En sommant sur i, on obtient
tr(AB) = ∑∑ab
ii
ij ji . Le j-ième élément de la diagonale de BA est ∑ba
jji ij . En
sommant sur i, on obtient tr(BA) = ∑∑ ba
ij
ji ij .
Exercice 3
Prouver que tr(A′A) = 2
∑∑ a
ij
ij .
Le j-ième élément de la diagonale de A′A est le produit de la j-ième colonne de A,
2.
∑a
iij En sommant sur j, on obtient tr(A′A) = 22
=
∑∑ ∑∑
aa
j
iij
ij ij .

4 Économétrie
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Exercice 4
Développer le produit de la matrice X = {[AB + (CD)′][(EF)–1 + GH]}′. On suppose que
toutes les matrices sont carrées et que E et F sont non singulières.
On développe d’abord (CD)′ = D′C′ et (EF)–1 = F–1E–1. Le produit est alors :
{[AB + (CD)′][(EF)–1 + GH]}′ = (ABF–1E–1 + ABGH + D′C′F–1E–1 + D′C′GH)′
= (E–1)′(F–1)′B′A′ + H′G′B′A′ + (E–1)′(F–1)′CD + H′G′CD
Exercice 5
Prouver que, pour des vecteurs colonnes K × 1, xi i = 1, ..., n, et un vecteur non nul, a,
()()
()()
1''
n
iii n
=−−= +−−
∑0
xaxa XMX xaxa'
On écrit xi – a comme [( i
x – x) + ( x – a)]. La somme est alors :
1=
∑n
i[(xi – x) + ( x – a)] [(xi – x) + ( x – a)]′ = 1=
∑n
i(xi – x)(xi – x)′ + 1=
∑n
i
(x – a) ( x – a)′ +1=
∑n
i(xi – x)( x – a)′ + 1=
∑n
i(x – a) (xi – x)′
Puisque ( x – a) est un vecteur de constantes, il peut être extrait des sommes. Ainsi, le
quatrième terme est ( x – a) 1=
∑n
i (xi – x)′ = 0. Le troisième terme est similaire. Le
premier terme est X′M0X par définition alors que le deuxième est n(x – a) ( x – a)′.
Exercice 6
On note A une matrice carrée dont les colonnes sont [a1, a2, ..., aM] et B tout
réarrangement des colonnes de la matrice identité M × M. Quelle opération est exécutée
par la multiplication AB ? Que dire de BA ?
B est appelée une matrice de permutation. Chaque colonne de B, notée bi, est une
colonne d’une matrice identité. La j-ième colonne du produit des matrices AB est A bi
qui est la j-ième colonne de A. Par conséquent, la multiplication de A par B réarrange
simplement (permute) les colonnes de A (d’où le nom). Chaque ligne du produit BA
est l’une des lignes de A, de sorte que BA est un réarrangement des lignes de A. Bien
sûr, A n’a pas besoin d’être carrée pour permuter ses lignes ou ses colonnes. Sinon, la
matrice de permutation applicable est d’ordre différent pour les lignes et les colonnes.

Annexe A 5
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Exercice 7
On considère le cas 3 × 3 de la matrice B de l’exercice 6. Par exemple, B =
001
010
100
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
On calcule B2 et B3. On répète cela pour une matrice 4 × 4. Peut-on généraliser le résultat
trouvé ?
B2 =
001
100
010
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
B3 =
100
010
001
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
Comme chaque puissance de B est un réarrangement de I, certaines puissances de B sont
égales à I. Si n est cette puissance, on trouve donc Bn–1 = B–1. Ce résultat est valable de
façon générale.
Exercice 8
Calculer |A|, tr(A) et A–1 pour A =
147
325
528
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
|A| = 1(2)(8) + 4(5)(5) + 3(2)(7) – 5(2)(7) – 1(5)(2) – 3(4)(8) = –18
tr(A) = 1 + 2 + 8 = 11
A–1 =
25 47 47
det
28 28 25
35 17 17
1 det det
58 58 35
18
32 14 14
det det
52 52 32
det det
det
det
−
−−−
−
⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
⎢⎥
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
⎢⎥
⎢⎥
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
⎢⎥
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
⎢⎥
⎢⎥
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
⎢⎥
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦
=
6/18 18/18 6/18
1/18 27 /18 16 /18
4/18 18/18 10/18
−−
−−
−
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦