DS 7 - Bac Blanc TS Obligatoire_AC, QCM, complexes, probabilités

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SESSION 2010
MATHÉMATIQUES
SÉRIE : S
DURÉE DE L’ÉPREUVE : 4 heures – COEFFICIENT : 7
Ce sujet comporte 5 pages
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
L'usage des formulaires de mathématiques n'est pas autorisé.
BACCALAUR
É
AT G
É
N
É
RAL
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements
entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

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Exercice 1
(4 points)
Pour chaque question une seule des réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est
demandée. Chaque bonne réponse rapporte 1 points, chaque erreur enlève 0,5 points, l’absence
de réponse vaut 0 point. Si le total des points de l’exercice est négatif, la note est ramenée à 0.
Vous répondrez sur votre copie en indiquant le numéro de la question et la lettre correspondant
à votre réponse.
1. L’équation
2
e 3e 4 0
x x
− − =
admet dans
R
:
a. 0 solution b. 1 solution c. 2 solutions d. plus de 2 solutions
2. L’expression
e
x
−
−
a. n’est jamais
négative
b. est toujours
négative
c. n’est négative que
si x est positif
d. n’est négative que
si x est négatif
3.
2e 1
lim
e 2
x
x
x→+∞
−
=
+
a.
1
2
−
b. 1
c. 2 d.
+∞
4. L’équation différentielle
2 1
y y
′
= −
a pour ensemble de solutions :
a.
2
e 1
x
x k
−
֏
avec
k
∈
R
b.
1
2
e 1
x
x k
+
֏
avec
k
∈
R
c.
1
2
e 1
x
x k
−
֏
avec
k
∈
R
d.
2
1
e
2
x
x k
+
֏ avec
k
∈
R

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Exercice 2
(5 points)
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct
(
)
; ,
O u v
.
On prendra 2 cm pour unité graphique.
Soit A le point d’affixe i et B le point d’affixe 2.
1. (a) Déterminer l’affixe du point
1
B
image de B par l’homothétie de centre A et de rapport
2
.
(b) Déterminer l’affixe du point
B
′
image de
1
B
par la rotation de centre A et d’angle
4
π
.
Placer les points A, B et
B
′
.
2. On appelle f la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z,
associe le point
M
′
d’affixe
z
′
tel que :
(
)
1 i 1
z z
′
= + +
(a) Montrer que B a pour image
B
′
par f.
(b) Montrer que A est le seul point invariant par f.
(c) Etablir que pour tout nombre complexe z distinct de i,
i
i
z z
z
′
−
= −
−
.
Interpréter ce résultat en termes de distances puis en termes d’angles.
En déduire une méthode de construction de
M
′
à partir de M, pour M distinct de A.
3. (a) Donner la nature et préciser les éléments caractéristiques de l’ensemble
1
Σ
des points
M du plan dont l’affixe z vérifie
2 2
z
− =
.
(b) Démontrer que
(
)
(
)
3 2i 1 i 2
z z
′
− − = + −
.
En déduire que si le point M appartient à
1
Σ
, alors son image
M
′
par f appartient à
un cercle
2
Σ
, dont on précisera le centre et le rayon.
(c) Tracer
1
Σ
et
2
Σ
sur la même figure que A, B et
B
′
.

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Exercice 3
(5 points)
Une enquête a montré que :
 Avant de passer l’épreuve théorique du permis de conduire (c’est-à-dire le code), 75 % des
candidats ont travaillé très sérieusement cette épreuve,
 Lorsqu’un candidat a travaillé très sérieusement, il obtient le code dans 80 % des cas.
 Lorsqu’un candidat n’a pas beaucoup travaillé, il n’obtient pas le code dans 70 % des cas.
On interroge au hasard un candidat qui vient de passer l’épreuve théorique.
On note : T l’événement « le candidat a travaillé très sérieusement »
S l’événement « le candidat a réussi le code ».
Les probabilités seront données sous forme décimale, arrondies éventuellement au millième.
1. Traduire les données à l’aide d’un arbre pondéré.
2. Calculer la probabilité de l’événement « le candidat a travaillé très sérieusement et il a
obtenu son code »
3. Montrer que la probabilité
(
)
P R
qu’un candidat réussisse à l’épreuve théorique est égale à
0,675.
4. Le candidat interrogé vient d’échouer. Quelle est la probabilité qu’il ait travaillé très
sérieusement ?
5. A la sortie de l’épreuve, on interroge au hasard et de façon indépendante 3 candidats (on
suppose que ce choix peut être assimilé à un tirage successif avec remise).
Calculer la probabilité
3
p
d’interroger au moins une personne ayant échoué à l’épreuve.
6. On interroge désormais au hasard et de façon indépendante n candidats.
Quelle est la probabilité
n
p
d’interroger au moins une personne ayant échoué à l’épreuve ?
A partir de combien de candidats a-t-on
0,999
n
p
?

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Exercice 4
(6 points)
1. Résoudre l’équation différentielle :
2 0
y y
′
+ =
(
)
E
,
dont l’inconnue est une fonction définie et dérivable sur
R
.
2. On considère l’équation différentielle :
( )
2
2 e 1
x
y y x
−
′
+ = +
(
)
E
′
(a) Déterminer deux réels m et p tels que la fonction f définie sur
R
par :
(
)
2
2
( ) e
x
f x mx px
−
= + soit solution de
(
)
E
′
.
(b) Soit g une fonction définie et dérivable sur
R
.
Montrer que g est solution de l’équation
(
)
E
′
si et seulement si
g f
−
est solution de
l’équation
(
)
E
.
Résoudre l’équation
(
)
E
′
.
3. Étudier les variations de la fonction h définie sur
R
par :
( )
2
2
1
( ) e 2
4
x
h x x x
−
= + .
4. Déterminer les limites en
−∞
et en
+∞
de la fonction h.
5. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé
(
)
; ,
O i j
, on note
c
la courbe
représentative de h et
Γ
celle de la fonction :
2
e
x
x
−
֏
(a) Étudier les positions relatives de
c
et
Γ
.
(b) Tracer ces deux courbes sur un même graphique.