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MPSI/PCSI/ESC
Intégration SUP/ESC
1. Méthodes d’intégration
1-1 : Intégrale immédiate
1-2 : Somme ou différence de fonctions
1-3 : Composée de fonction
1-4 : Décomposition en fractions rationnelles
1-5 : Par substitution (changement de variable)
1-6 : Réductions à des formes particulières
1-7 : Intégration par parties
1-8 : Décomposition en série
2. Intégration numérique
2-1 : Méthode des rectangles
2-2 : Méthode des trapèzes
2-3 : Méthode de Simpson
3. Diverses questions
3-1 : Introduction à la loi normale
3-2 : Extension de la notion d'intégrale.
3-3 : Suites définies par une intégrale.
3-4 : Comparaison série et intégrale
3-5 : Sommes de Riemann
4. Ecole Supérieure de commerce de Lyon
4-1 : escl 88
4-2 : escl 89
4-3 : escl 90
4-4 : escl 91
4-5 : escl 92
4-6 : escl 93
4-7 : escl 94
4-8 : escl 95
4-9 : escl 96
4-10 : escl 98
4-11 : escl 98 bis (sujet de secours)
1
1
2
2
2
3
6
7
8
8
8
9
9
9
9
10
10
11
12
13
13
14
14
14
15
15
15
16
16
16
17
4-12 : escl 2000
4-13 : escl 2001, extrait
4-14 : escl 2002
4-15 : escl 2004, extrait
5. Annales E.S.C.
5-1 : esc 97
5-2 : esc 98
5-3 : esc 2001, extrait
5-4 : esc 2002
5-5 : esc 2004
6. Annales EDHEC
6-1 : edhec 96, exercice 1
6-2 : edhec 96
6-3 : edhec 98, extrait du problème
6-4 : edhec 2002
6-5 : edhec 2003
6-6 : edhec 2004
7. Annales ECRICOME
7-1 : ecricome 91
7-2 : Ecricome 93
7-3 : D'après ecricome OG 93
7-4 : ecricome 98 (extrait)
7-5 : ecricome 99 (extrait)
7-6 : ecricome 2002
7-7 : ecricome 2004
8. Annales ISC-ESLSCA
8-1 : eslsca 93
8-2 : eslsca 95
8-3 : eslsca 96
8-4 : eslsca 98
8-5 : eslsca 99
17
18
18
19
19
19
20
20
20
21
22
22
22
22
23
23
23
24
24
24
25
25
26
26
27
28
28
28
29
29
29
1. Méthodes d’intégration
Nous reprenons les principales méthodes classiques d’intégration. Chaque cas est illustré par un ou
plusieurs exemples. Certains exemples sont volontairement assez compliqués, dans le sens qu’ils font
intervenir plusieurs méthodes. En effet, il est important de comprendre que toutes ces méthodes forment
un ensemble, et qu’il faut savoir utiliser toutes les armes disponibles.
Notons enfin que souvent plusieurs méthodes sont possibles et qu’il n’y a pas de recette magique qui
fonctionne à tous les coups. On doit donc simplement s’en servir comme outils et aide-mémoire.
1-1 : Intégrale immédiate
Il s’agit de l’application simple et immédiate des formules que l’on peut trouver dans n’importe quel
formulaire.
xmdx 
xm1
C
m1
x
x

Exemple 2 : cos x dx  sin x  C

Exemple 3 : e dx  e  C .

Exemple 1 :
Prépa HEC
Problèmes intégration
1
F. Laroche
http://laroche.lycee.free.fr
1-2 : Somme ou différence de fonctions
Soit à intégrer la fraction rationnelle : f(x)/g(x) où f(x) est un polynôme de degré m et g(x) un polynôme de
degré n avec m > n, on effectue la division euclidienne de f(x) par g(x). Puis on intègre.
Exemple 4 :
Exemple 5 :

x3  2x  1
dx 
x 1

x5
dx 
x 1

3
2
 x2  x  3  2  dx  x  x  3x  2ln x  1  C .


x 1 
3 2


5
4
3
2
 x4  x3  x2  x  1  1  dx  x  x  x  x  x  ln x  1  C




x 1 
5 4 3 2

1-3 : Composée de fonction
Si on peut arriver à identifier un facteur comme étant la dérivée de l’autre, la solution est presque
immédiate :
 h'  g  x   g '  x  dx  h g  x    C .
Exemple 6 :
  2x  1   x  x  1 
2
x2  x  1 

dx 
3
3
4
 g '  x   2x  1  g  x   x3  x  1

.
 C car 
x4
 h '  x   x3  h  x  

4
On pouvait également procéder comme suit :
  2x  1   x  x  1 
 x2  x  1 

 x  x 1  d  x  x 1 
u'
e
Exemple 7 :
 e  1 dx  ln  e  1   C car de la forme  u dx .
x
Exemple 8 : I 
 x  x  1 dx : on remarque que  x  x  1  '  2x  1 d’où
3
2
x
dx 
3
4
C .
2
2

2
x
x
I
3
2
1
1
 2x  1  
2
2 dx  1
2
x2  x  1


d x2  x  1
2
x  x 1
1


dx
1
3
2 3
1
 ln x2  x  1 
arctan
 x C.
2 x2  x  1 2
3
3 
2

(voir plus bas pour la dernière intégrale).

2x
Exemple 9 : I  ecos
sin2x dx 
1 cos2 x
1 cos2 x  2 
1 2
e
sin x cos x dx  
e
d cos x   ecos x  C .
2
4
4


tan x
1
dx   tan x  'tan xdx  tan 2 x  C .
2
2
x
1-4 : Décomposition en fractions rationnelles
Exemple 10 :
 cos
Pour toute forme

f  x
où f et g sont des polynômes en x (si le degré de f est supérieur à celui de g on
g x 
effectuera d’abord la division euclidienne).
Exemple 11 : I 
x
3
1
dx . On décompose :
 x  4x  4
2
 a  b  c  x2   3a  b  x  2a  2b  4c
1
1
a
b
c





d’où
 x  2  x  2  x  1 
x3  x2  4x  4  x  2  x  2  x  1  x  2 x  2 x  1
 a b  c  0
1
1 1
1 1
1 1
1
1
1




le système  3a  b  0
.
 a  , b  , c   et 3 2
12
4
3
x  x  4x  4 12 x  2 4 x  2 3 x  1
 2a  2b  4c  1

1
dx 1 dx 1 dx


 ln
Enfin I 
12 x  2 4 x  2 3 x  1

Prépa HEC
Problèmes intégration


1
1
 x  2 12  x  2  4
 x 1 
2
1
3
C.
F. Laroche
http://laroche.lycee.free.fr
Exemple 12 : I 
I
x

8x2  3
ax  b
c
dx  2
dx 
dx . On cherche et on trouve a, b, c :
2
x

2
x  x 1
x  x 1  x  2 
3x  1
5
dx 
dx 
x2
 x 1

2



x
2x  1
x
5
dx  2
dx 
dx . Il reste à intégrer :
x2
 x 1
x  x 1
 12  x2  x  1  
Exemple 13 : I 
x2  x  2
  1 x 
3

2


3
2 3
1
arctan
 x    5ln x  2
3
2 
2
I  ln x2  x  1 
I  ln

x2  x  1

3
2
3
2 3
1
 x  2 5  arctan
 x C .
3
2 
2
dx :
a1
a1
ax2   2a  b  x  a  b  c 
a
b
c





    2a  b   1   b  1.
 1  x 3 1  x  1  x 2  1  x 3
 1  x 3
 a b  c  2

c  2

dx
dx
dx
1
1
x
I

2
  ln x  1 

  ln x  1 
 C.
2
3
2
1 x
x

1
1 x 
1 x 
 x 1
 x  1 2
x2  x  2



1-5 : Par substitution (changement de variable)
C’est une des méthodes les plus efficaces et donc la plus utilisée ; elle est basée sur la dérivation des
fonctions composées :
 f  x  dx   f  g t   g'  t  dt.

Exemple 14 : I  x  1  x  dx : posons t  1  x  x  t 1  g  t   g '  t   1 . On en tire
I

5
7
6
7
6
t t
 t  1  t5 dt  t6 dt  t5 dt    C 


 1  x 7  1  x 6

7
C 
 6 x  1  1  x 6
6
dx
dy dy
Exemple 15 : I  x
: posons y  ex  ex dx  dy  dx  x 
. On a alors
y
e 1
e
42
C .

I

1
dy
y

y 1

1
dy
y2

y 1
y

y 1
y
y 1
ex  1
 ln
 ln
 ln ex  1  x  C .
y 1
y
ex
y
d
Les substitutions à opérer ne sont pas toujours évidentes. Cependant certaines sont assez classiques.
Les substitutions trigonométriques
Pour les formes en Re mplacer x par Donc dx 
1
sin
x2  a2
a
a 2 d
cos
cos 


x2  a2
atan
a tan2   1 d 
a2  x2
asin
acos d
a
d
cos2 
2
Exemple 16 : I 

Prépa HEC
Problèmes intégration
2
4  9x
dx 3
x2

 2   x2
 
2
2
3
. On pose x  sin  dx  cos d , soit
2
3
3
x
3
F. Laroche
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2
1  sin2 
2
 2 cos  d  3 cos  d  3  1  1  d  3 cot  
3
I 3

,




2
sin2 
3

 sin2 

2
 
3
1
4  9 x2
3
4  9 x2
3
3
9 2
2
or sin   x  cos  1  x donc I  3
 3 arcsin x  
 3 arcsin x  C .
3
2
x
2
2
4
x
2


Exemple 17 : I 


x2  2
dx ; x  2 tan   dx  2 tan2   1 d ;
x2


2 tan2   1
tan2   1
d
d
cos
d
2
2
tan


1
d


d 


d 
.
2
2
2
2
cos
cos
2tan 
cos .tan 
cos .tan 
sin 
On a deux intégrales à calculer :
I


I1 
I2 
I2 





d sin
1
x2  2
x 



car sin  sin  arctan

2
sin

x
sin 
2



cos
d 
sin2 

d

2
1  t2
: posons t  tan  d 
;
dt
,
cos


cos 
2
1  t2
1  t2

tan  1
1  t2 2
2dt
dt
dt
t 1
1  cos  sin
2
.
dt




ln

ln
 ln
2
2
2

1

t
1

t
t

1
1  cos  sin
1 t 1 t
1 t
tan  1
2
car tan



2x
2
x
2
1
2

x
2
x 2
.


 1  cos 
x 
2



et comme cos   cos  arctan
, on a donc

2
2
sin 
2

x 2
x2  2  2  x
I2  ln
x2  2  2  x
 ln



2  x 

2x
x2  2  2  x
x2  2  2  x
x2  2 
x2  2 
 ln
x  x2  2
 2
 ln x  x2  2  C.
Et enfin I  I1  I2  
x2  2
 ln x  x2  2  C .
x
Les substitutions algébriques
* Pour les formes du type
Exemple 18 : I 
I

xdx
  3  4x 
1
4
1
 a  bx  n , on pose
y n  a  bx .
; y4  3  4x  4y3 dy  4dx d’où
y4  3 3
y dy
7
3
1 2 4
1 y7 3 y3
1
1
4

y y  3 dy 

 C   3  4x  4   3  4x  4  C .
y
4
47 4 3
28
4
 


Exemple 19 : I  x2 3 x  1 dx ; on pose x  1  t3  dx  3t2 dt et
I
  t  1  .t.3t .dt  10 t
3
2
2
Prépa HEC
Problèmes intégration
3
10
10
7
4
6
3
3
6
3
 t7  t4   x  1  3   x  1  3   x  1  3  C .
7
4
10
7
4
4
F. Laroche
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* Pour les formes en
Exemple 20 : I 
n
ax  b
ax  b
, on pose tn 
.
cx  d
cx  d
x 1
1
2t
x 1
x 2
 dx  
dx ; on pose t2 
x
x
t 1
t2  1


soit après décomposition en éléments simples :
I
1
2
t
  t 1 
dt 
2
1
2
2t2
 t2  1 
2

at  b
 t 1 
2

ct  b
 t1 
2

2
dt  I 
2t2
  t 1 
2
2
dx
1
1
, a  , b  0, c   , d  0 ,
2
2
1  2t  2  2
2t  2  2 
dt  
dt 
dt 
2
4   t  1 
 t  1 2 
t
  t 1 

2

2
2
d t 1 
d  t 1 
d  t 1  
1  d t 1 
 

2

2

2
2
2
4   t  1 
 t 1 
 t 1 
 t  1 2 




2
1   t 1 
2
2  1
t 1
t
  ln


 2
  ln
2
4   t  1  t  1 t  1  2
t 1
t 1
1
 ln
2
x 1
x 1
1
1
x 1
x 1
x
x

 ln 2x  1  2x
x
 C.
2
x
x
x 1
x 1
1
1
x
x
Les fonctions trigonométriques
Fonctions rationnelles en cos x,sin x et tan x, on utilise les substitutions suivantes :
x
2
1  t2
2t
2t
.
x  2arctan x  t  tan , dx 
dt

cos
x

, sin x 
, tan x 
2
2
2
2
1 t
1 t
1 t
1  t2
Exemple 21 : I 
t 1
 t 1  t 1 
2
sin x  cos x
tan x 1
t 1
 sin x  cos x dx   tan x 1 dx    t  1   t  1  dt

or
2
ttan x
1
1

donc
t  1 t2  1


1
I  ln t2  1  ln t  1
2
 ln
ttan x
t2  1
t 1
 ln
ttan x
tan2 x  1
  ln sin x  cos x .
tan x  1
* Cas particulier : Produit de facteurs cos ax et sin ax
1
sin ax cos bx   sin  a  b  x  sin  a  b  x 
2
1
Utiliser les formules de Simpson inverses : sin ax sin bx   cos  a  b  x  cos  a  b  x 
2
1
cos ax cos bx   cos  a  b  x  cos  a  b  x 
2
Exemple 22 :

I  sin3x sin7 x dx 
1
2
1 1
1
 1
1
  cos4x  cos10x  dx  2  4 sin4x  10 sin10x   8 sin4x  20 sin10x .
* Cas particulier : Puissances de cos et sin
Linéariser, c’est à dire utiliser les formules d’Euler et le binôme de Newton pour passer de termes de la
forme cosnx à cos(mx) ou sin(mx).
Prépa HEC
Problèmes intégration
5
F. Laroche
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Exemple 23 :
3
 eix  eix 
1 3ix
1 3ix 3ix
cos3 xdx  
e  3e2ix eix  3eix e2ix  e3ix dx 
e  e  3 eix  eix dx ,
 dx 
2
8
8


1
1
3
2cos3 x  6 cos xdx   sin3 x  sin x  C .
soit
8
12
4







1-6 : Réductions à des formes particulières
On peut souvent arriver à revenir à une forme particulière. Plusieurs exemples seront donnés ci-après. De
façon générale, on utilisera les tables de primitives qui donnent les solutions pour une série de formes
particulières.
Les fonctions hyperboliques
Fonction hyperbolique Dérivée
ex  e x
2
x
e  e x
cosh x 
2
x
e  e x
tanh x  x  x
e e
 sinh x  '  cosh x
sinh x 
 cosh x  '  sinh x
 tanh x  '  1  tanh2 x 
1
cosh2 x
et leurs réciproques, les fonctions arguments hyperboliques sont souvent utiles.
Fonction argument hyperbolique
argsinh x   sinh x 
1
arg cosh x   cosh x 

x 1 
 argsinh x  ' 
 ln x  x2  1
1
argtanh x   tanh x 

 ln  x 
Dérivée
1
 arg cosh x  ' 
2
1
x2  1
1
x2  1
1
 argtanh x  ' 
1  x2
1
1 x
 ln
2
1 x
Un petit résumé :
Fonction
1
2
2
x a
Primitive

ln x  x2  a2
1
2
arcsin
2
a x
1
a  x2
* Formes en
Problèmes intégration
1
2
2
x a
1
a  x2
x
a
2
x 2 2 a2
x  a  ln x  x x2  a2
2
2

ln x  x2  a2

1
x a
ln
2
xa
a2  x2
x 2 2 a2
x
a  x  arcsin
2
2
a
1
x2  px  q
− Si p2  4q  0 , transformer en
Prépa HEC

Primitive
1
x
arctan
a
a
2
x2  a2
Fonction
1
.
1  u2
6
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Exemple 24 : I 
1
1
2
2


u
4
dx
 x  x  1 dx    x  1   1  1 dx  3  

2
2
2 
1
 x    1

2
 3
4
; on pose :
2 
1
2
3
dx  dx 
du d’où
 x    du 
2
2
3
3

4
I
3

3
du
2 3
du
2 3
2 3
2 3
1
2


arctan u 
arctan
 x C .
2
2
3 1 u
3
3
3 
2
u 1

En utilisant les remarques précédentes on pouvait écrire :
I
1
1
 x  x  1 dx    x  1 
2
2


3
 
2 4
dx 
1
1 
1 2 3
2 3
1
arctan
arctan
 x  
 x C .
2
3
3 
2
3
3
4
4
− Si p2  4q  0 , décomposer en fractions rationnelles (le dénominateur peut se factoriser)
1
x
4
4
4 dx 4 dx
4
2
Exemple 25 : I 
dx 


 ln
2
1
1
7
7
x

3
7
x

3
2x  5 x  3
x
2  x    x  3 
2
2




C.
Ax  B
ax2  bx  c ou en
* Formes en

ax2  bx  c
On fait les transformations nécessaires pour revenir à une forme connue.
Exemple 26 : I 

x2  x  1dx 
1
2

On pose u  x   dx  du  I 
I

1 1
x2  x    1dx 
4 4
u2 

2
 x  1   3 dx .


2 4

3
du ; avec les formules :
4
u 2 3 3
2x  1 2
3
1
1
u   ln u  u u2  a 
x  x  1  ln x   x   x2  x  1 .
2
4 8
4
8
2
2
Exemple 27 : I 

7
 2x  2x2 dx 
2

2
1
4  2  x   dx  2
2


2
1
1
2   x   dx ; u  x   du  dx ;
2
2

 2x  1 7
2
u 
2
1 
u
I  2
2  u2  arcsin
 2
 2x  2x2  arcsin
 x  .

2
2
2 
2 
2
2
 4
Exemple 28 :
I

2x  3
2
x  x 1
dx 

2x  1  2
2
x  x 1
dx 


d x2  x  1
2
x  x 1
 2

dx
2
x  x 1

 2 x2  x  1  2
dx
2
 x 1   5


2 4

et
1
I  2 x2  x  1  2ln x   x2  x  1  C .
2
1-7 : Intégration par parties
C’est une méthode très puissante et donc très souvent utilisée.
 f  x .g '  x  dx  f  x .g  x    f '  x .g  x  dx
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
Exemple 29 : I  sin  ln x  dx : y  ln x  dy 
par parties :
u  sin y u '  cos y
v '  ey
v  ey
par parties de nouveau :

v '  ey
v  ey
I  x arcsin x 


 I  ey sin y  ey cos y  sin y ey dy  ey sin y  ey cos y  I ,
x
 sin  ln x   cos  ln x   .
2
d’où enfin 2I  ey  sin y  cos y   I 


 I  ey sin y  ey cos y dy ;
u  cos y u'   sin y
Exemple 30 : I  arcsin x dx :
dx
 dx  x dy  ey dy  I  sin y ey dy ;
x
1
f  x   arcsin x  f '  x  
g' x   1
 g x   x
x
 1
dx  x arcsin x    
 2
1 x
2

1  x2 d’où
2x
2
1 x
dx  x arcsin x  1  x2  C .
Vous avez de très nombreux exemples dans les exercices.
1-8 : Décomposition en série

2
2
Exemple 31 : I  e x dx ; comme e x  1  x2 
 
I  dx  x2 dx 

x4 x6
  ...... l’intégration terme à terme donne
2! 3!
x4
x6
x3 x5
x7
dx 
dx  .....  x  

 ...  C .
2!
3!
3 5.2! 7.3!

2. Intégration numérique
f(xk)
x0=a
xk
xn=b
Comme très souvent on ne sait pas calculer les intégrales, on recourt à des méthodes de calcul approchées
et/ou numériques : on en utilise trois principalement suivant le degré de précision souhaité.
2-1 : Méthode des rectangles
On divise l’intervalle d’intégration [a ; b] en n intervalles de longueur identique
b a
 h , et on considère la
n
somme des aires des rectangles au-dessus et la somme en dessous ; on obtient alors les encadrements
suivants :
n1

k0
hf ( xk ) 

b
a
n
f ( x)dx 
hf (x )
k
k1
b a
M
2h
où M  max f '(x) . Le lien avec les séries est évidemment très fort et on remplacera fréquemment une
avec xk  a  hk lorsque la fonction est monotone croissante. L’erreur commise est de l’ordre de
x[ a, b]
question d’intégrale par une question de série et réciproquement.
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2-2 : Méthode des trapèzes
Beaucoup plus rentable ; on joint chaque point ( xk , f ( xk )) et on regarde l’aire sous chaque trapèze dont les
bases sont f ( xk ) et f ( xk1 ) , la hauteur h. On fait donc la somme
n1
n1
 f (a)  f (b)
1
h
h(f ( xk )  f ( xk1 ))   f (a)  2 f ( xk )  f (b)  
 h f ( xk )
2
2 
2
k0
k1

k1
n1

qui donne

b
a

f ( x)dx avec une erreur inférieure à

(b  a)3
M ; M  max f ''( x) .
x[ a, b]
12n2
Cette méthode est très facile à appliquer en informatique, et la précision est en général très bonne. Une
variante consiste à utiliser la dérivée f’ et la tangente au milieu de deux valeurs xk , xk1 .
2-3 : Méthode de Simpson
On prend des arcs de paraboles au lieu de segments de droite entre deux points successifs (en fait on peut
même travailler avec le développement de la fonction à l’ordre 2 au voisinage de chaque point) ; il faut
b a
alors diviser [a ; b] en 2n intervalles et la formule obtenue est avec h 
:
2n

n1
n

h
(b  a)4 (3)
f ( x)dx   f (a)  f (b)  2 f ( x2k )  4 f ( x2k1 )  et la précision est en h4 :
f (b)  f (3)(a) .
4
3 
a
2880
n

k1
k1


b

En fait avec l’informatique la plupart du temps on peut se contenter de calculer la somme des valeurs de f
sur l’intervalle choisi en multipliant par la différence des abscisses ; si cette différence est constante, il
suffit de le faire à la fin.
3. Diverses questions
3-1 : Introduction à la loi normale


1. Etudier f : x  exp  x2 . Déterminer les points d'inflexion de Cf. Tracer Cf.
2. Montrer que f est de classe C sur  et que pour tout entier naturel n il existe Pn polynôme de degré n
2
n
tel que x  , f    x   Pn  x  e x . Ces polynômes s’appellent polynômes d’Hermite.
3. Soit F  x  

x
1
exp(t2 )dt . Montrer que F est croissante sur  . Montrer que pour tout t  1 , on a
   exp  t  . En déduire que F est majorée sur  .
2
exp t
Montrer que les intégrales

4. On admet que
Calculer




0


0
exp(t2 )dt ,
exp(t2 )dt 

2



exp(t2 )dt sont convergentes.
. Calculer



exp(t2 )dt .
exp(t2 /2)dt (changement de variable y 
t
) puis
2


0
 (t  m)2
exp  
2 2


 dt (changement de

variable linéaire).
5. Soit G x  

x
0
t exp(t2 ) dt . Calculer G(x). En déduire que l'intégrale
Montrer que l'intégrale
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Problèmes intégration





0
t exp(t2 ) dt est convergente.
t exp(t2 ) dt est convergente et vaut 0.
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6. Montrer que l'intégrale



t2 exp(t2 ) dt est convergente et calculer sa valeur à l'aide d'une intégration
par parties.
Le résultat du 4.,



 t2
exp 
 2

 dt  2 est à connaître.

3-2 : Extension de la notion d'intégrale.
Exercice 1
Justifier l'existence de I 


0

1
0
x2 ln( x) dx et calculer sa valeur. Mêmes questions pour

1
0
ln( x) dx ,
x
dx .
( x  1)2
2
Exercice 2
Rappel : une fonction f majorée sur [a ; b[ et croissante sur [a ; b[ admet une limite finie en b (b étant un
nombre réel > a ou  ). Faites un dessin pour vous en convaincre.
Démontrer : pour tout t de [1 ;  [,
1
1
 2.
2
1 t
t
En déduire que la fonction  :  1;      , définie par x 

puis que l'intégrale I 

0

x
1
1
dt admet une limite finie en  ,
1  t2
1
dt est convergente.
1  t2
Exercice 3
Soit n un entier naturel. Etablir successivement
1
* Pour tout y différent de 1 :

1 y
* x 
*
*
1

1  x2
n


4
(1)k

2k  1
k0

n

4

n
n

k0
2 n1
(x )  (1x x)
2 k
2
k0

1 ( x2 )n1
0
2
1 x
yk 
yn1
;
1 y
;
dx (on admet que

dt

 );
2
4
0 1 t
1
k
 2(k1) 1  2n1 3 .
k0
Déduire de ce dernier résultat la belle formule :

1 1 1
 1     ... et un algorithme rédigé en turbo4
3 5 7
pascal destiné à calculer une valeur approchée de  à une précision donnée près.
3-3 : Suites définies par une intégrale.
Exercice 1
Soit In 

1
(x2  1)n dx .
1
1. Démontrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 1 :  2n  1  In  2nIn1 .
2. En déduire l'expression de In en fonction de n.
Exercice 2
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p et q étant deux nombres entiers positifs ou nuls, on pose : B p, q  

1
0
tp(1  t)q dt .
1. Comparer B(p, q) et B(q, p).
2. Etablir la relation : B( p, q) 
p
B( p  1, q  1) ( p  1 ).
q 1
3. Calculer B(0, n) pour tout n appartenant à  ; en déduire B(p, q).
Exercice 3
Pour n entier naturel, on pose : In 

1
0
xn 1  x2 dx .
1. Quelle est la signification géométrique de I0 ? En déduire la valeur de I0.
2. Calculer I1.
3. Montrer que pour tout n  2 , on a : In 
n 1
In2 . En déduire la valeur de In en fonction de n (on
n 2
distinguera suivant la parité de n).
4. Montrer que (In) est une suite positive et décroissante et que cette suite converge vers 0.
5. Montrer que n(n + 1)(n + 2)In In−1 est indépendant de n et calculer sa valeur ; en déduire un équivalent
simple de In lorsque n tend vers  .
Exercice 4
On note, pour tout nombre réel a positif et pour tout entier naturel n : un  a  

1
0
xn exp(a(1 x)) dx .
1. Calculer u0(a).
2. Convergence de la suite (un(a)). Soit a > 0 donné.
a. Montrer que pour tout n dans  : 0  un  a  
ea
.
n 1
b. Montrer que la suite (un(a)) est décroissante.
c. Déterminer la limite de un(a) quand n tend vers  .
3. Forme explicite de un(a).
a. A l'aide d'une intégration par parties, trouver une relation de récurrence entre un  a  et un1  a  .
b. Montrer par récurrence sur n que pour tout n dans  : un  a  
n
n! 
ak 
exp(
a
)


.
n1
k
!
a 

k0

3-4 : Comparaison série et intégrale
Exercice 1
1
est divergente : démonstration par comparaison avec une intégrale
n
La série de terme général
généralisée. Démontrer successivement :
n * t  n ; n  1 
1
1
1
puis
 
n1
t
n
enfin pour tout N  2 :
N

n2
1

n

N
1
1

n1
dt

t

n1
n
dt 1

.
t
n
N1
 1n .
n1
En déduire le résultat annoncé. Illustration graphique.
Exercice 2 Série de Bertrand.
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1. Montrer que l'intégrale


2
1
dt est convergente et calculer sa valeur.
t(ln t )2
1
2. En vous inspirant de l'exercice précédent, montrer que la série de terme général
n ln n 
2
, n  2 , est
convergente.
Exercice 3
Pour n entier naturel non nul on définit la suite (Sn) par : Sn  1 
1. Justifier pour k entier naturel non nul l'encadrement :
2. En déduire l'encadrement :

n1
1
dx
 Sn 
x1/3

n
1
1
1/3
2
1

(k  1)1/3


1
1/3
3
k1
k

1
.
1/3
n
dx
1
 1/3 .
1/3
x
k
dx
1 .
x1/3
3. Que peut-on dire de la suite (Sn) ?
4. A l'aide d'encadrements analogues, montrer que la suite (Tn) définie par : Tn  1 
1
4/3
2

1
4/3
3

1
4/3
n
est convergente.
3-5 : Sommes de Riemann
Exercice 1
n
Calculer les limites quand n tend vers  des sommes suivantes :

1
0
dt

dt  ) .
4
1  t2
n
k4
1
; n
(rappel :
5
2
n
k

n2
k1
k1


Exercice 2
(esg 94 2e épreuve)
Soit k un entier naturel non nul et soit la suite  Un n* définie par : n * Un 
n

i 1
k
1 i 

 .
n  n1 
1. Déterminer la limite de cette suite pour k = 1, k = 2 puis k = 3.
2. Pour k quelconque > 0 déterminer la limite de la suite (Un).
Exercice 3
Soit n un entier  2 et un 
1. k 1, ..., n 1 ,
2. un 

n

1
 k
ln   . Démontrer :
n k1  n 
1 k
ln 
n n

( k1)/ n
k/ n
1 k 1
ln xdx  ln
.
n
n
1
1 1
ln xdx  un  ln .
n n
1/ n
1
1
1 1
 1  un   1  ln .
n
n
n n
4. lim un  1 .
3.
n
5. lim
n
n
n! 1
 .
nn e
Exercice 4
Prépa HEC
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n
Pour n on note un 

1
n k
2 .
n k1
1. Montrer que pour tout k  0, ..., n  1 :
1n k
2 
n

( k1)/ n
k/ n
2t dt 
1 n k1
2 .
n
2. En déduire un encadrement de un et la limite de un quand n tend vers  .
3. Retrouver cette limite en calculant un en fonction de n.
Exercice 5
Soit f la fonction définie pour tout x strictement positif par : f ( x) 
x2
1
 ln x  .
2
2
1. Etudier les variations de f. Montrer que c'est une fonction convexe. Donner sa représentation graphique.
2. Déterminer une primitive de la fonction f sur l'intervalle ]0 ;  [. En déduire que l'intégrale

1
0
f ( x)dx est convergente et calculer sa valeur.
3. Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On pose : Sn 
1
n
n
f  n  .
j
j 1
1  j 1 

a. Etablir, pour tout entier j vérifiant 1  j  n , les inégalités : f 
n  n 
b. en déduire l'encadrement :

1
1 1
f ( x)dx  Sn  f   
1
n  n
n
1 1
c. Montrer les inégalités : 0  f   
n  n

1
n
0

1
1
n

j 1
n
f ( x)dx 
j
n
1  j
f
.
n  n 
f ( x)dx .
f ( x)dx .
d. Montrer que la suite (Sn) est convergente et déterminer sa limite.
n
4. On rappelle que pour tout entier naturel non nul n, on a l'égalité :
k
k1
n
pour tout entier naturel non nul n, la somme
f  n 
j
2

n(n  1)(2n  1)
. Exprimer,
6
en fonction de n. En déduire la limite :
j 1
1  nn 
ln 
.
n n  n! 


lim
4. Ecole Supérieure de commerce de Lyon
4-1 : escl 88
1. Vérifier que x  0 ;   0  ln  1  x   x .
En déduire la limite quand l'entier n tend vers  de
2. Soit u la suite réelle définie par un 


1
0
ln(1  xn )dx .
xn
dx .
n
0 1 x
1
un 
Montrer que pour tout entier naturel n non nul
ln2 1

n n

1
0
ln(1  xn )dx ; on pourra utiliser une
intégration par parties. En déduire la limite de un et celle de nun quand n tend vers  .
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Problèmes intégration
13
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4-2 : escl 89
Soit I la suite de terme général In 

1
0
xne x dx .
1. a. Calculer I0 et I1.
b. Montrer que pour tout entier naturel n, In 
1
. Etudier la convergence de la suite I.
n1
2. Calcul d'une valeur approchée de I15.
p

1
e
n!
1
n!

In p .
e k1 (n  k)! (n  p)!
a. Montrer que n , In1   n  1  In  , et In 
p
b. En déduire que pour tout n dans  0  In 

n!
1
n!
1


.
e k1 (n  k)! (n  p  1)! (n  1)p1
p
c. Comment peut-on choisir p pour que 0  I15 

15!
1
 106 ?
e k1 (15  k)!
En déduire, à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée de I15 à 106 près.
p

15!
1
c*. Ecrire en turbo-pascal un programme qui affiche une valeur de
. p est fourni par
e k1 (15  k)!
l'utilisateur. On veillera à minimiser les calculs.
4-3 : escl 90
Pour tout n dans  , on pose In 

1
0
xn
1  x2
dx et Jn 

1
xn2
0
(1  x2 ) 1  x2
dx .

1. Quelle est la dérivée de la fonction f :    définie par f  x   ln x  1  x2
 ? Calculer I .
0
2. Calculer I1.
1
. En déduire la limite de In quand n tend vers  .
n1
Montrer que Jn tend vers 0 quand n tend vers  .
1
1
4. Etablir à l'aide d'une intégration par parties que In 

Jn .
n
1
(n  1) 2
3. Montrer que pour tout n dans  , 0  In 
Quelle est la limite de nIn quand n tend vers  ?
4-4 : escl 91
Pour tout entier n supérieur ou égal à 1 on pose In 
1. Etude de la suite

1
0
xn ln(1  x2 )dx et Jn 

xn
dx .
2
0 1 x
1
 Jn n1 .
a. Calculer J1.
b. Montrer que pour tout n supérieur ou égal à 1, 0  Jn 
c. Etudier la convergence de la suite
2. Etude de la suite
1
.
n1
 Jn n1 .
 In n1 .
a. A l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout n supérieur ou égal à 1,
In 
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Problèmes intégration
ln(2) 2

Jn2 .
n1 n1
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b. Etudier la convergence de la suite
 In n1 .
c. Déterminer un équivalent de In quand n tend vers  .
4-5 : escl 92
1
.
x ln( x)
Soit f :  1;     l'application définie par f  x  
1. Etudier les variations de f et tracer sa courbe représentative.
2. Montrer que pour tout entier k tel que k  3 : f  k  
Pour tout n entier tel que n  2 , on note Sn 

k
k1
f ( x) dx  f  k  1  .
n
f (k).
k2
3. a. Montrer que pour tout n tel que n  2 : Sn 
1

2ln(2)

n
f ( x) dx  Sn 
2
1
.
nln(n)
b. En déduire que pour tout n tel que n  2 : ln  ln n   ln  ln2   Sn  ln  ln n   ln  ln2  
1
.
2ln2
c. Etablir que Sn  ln  ln n  .
Pour tout n entier tel que n  2 , on note un = Sn  ln(ln(n+1)) et vn = Sn  ln(ln n).
4. En utilisant le résultat de la question 2. montrer que les suites
 un n2
et
 vn n2
sont adjacentes. On
note l leur limite commune.
5. a. Montrer que pour tout n tel que n  2 : 0  vn  l 
1
.
n ln n
b. En déduire une valeur approchée de l à 102 prés.
b*. Ecrire un programme en turbo-pascal qui utilise le résultat du a. pour calculer et afficher une valeur
approchée de l à moins de e près, e étant un nombre réel positif fourni par l'utilisateur.
4-6 : escl 93
Pour tout entier naturel n on pose : In 

1
0

(1  x)n exp( x2 )dx et Jn 

1
0
x(1  x)n exp(x2 )dx .

1. a. Former le tableau de variations de f :  0 ;1   , x  x exp  x2 .
b. En déduire, pour tout n de  : 0  Jn 
c. Etudier la convergence de la suite
1
.
(n  1) 2e
 Jn n .
2. A l'aide d'une intégration par parties, établir, pour tout n de  : In 
1
2

Jn1 .
n1 n1
En déduire la limite de In et celle de nIn quand n tend vers  .
4-7 : escl 94
On pose pour tout entier naturel non nul n : In = In 
e
 (ln x ) dx et I = e  1.
n
1
0
1. a. Etablir, pour tout entier naturel n : In+1 = e  (n+1)In.
b. Montrer, pour tout entier naturel n : In  0 .
c. Déduire des questions a. et b. que, pour tout entier naturel n :
d. Quelle est la limite de la suite
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 In n
e
.
n 1
?
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e. Montrer : In  
e
.
n
 u0  a
.
 n  , un1  e  (n  1)un
2. Soit a un réel différent de I0 ; on note  un n la suite réelle définie par : 
Montrer : lim un   . (On pourra considérer la suite (Dn) définie par Dn  un  In )
n
4-8 : escl 95
On définit la fonction f :  2 ;     , f  x  
1
2
x 1
1. Démontrer que pour tout réel x supérieur ou égal à 2 :
.
1
1
.
 f ( x) 
x
x 1
2. Pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on définit l'intégrale : In 

n
2
f ( x)dx .
a. Démontrer que : lim In   .
n


b. On définit la fonction F :  2 ;    , F  x   ln x  x2  1 . Calculer la dérivée de F et en déduire
une expression de In en fonction de n.
c. Déterminer la limite de In  ln n quand n tend vers  .
n
3. On définit, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 : Sn 

k2
a. Montrer que : In1  Sn  In 
1
2
k 1
.
1
.
3
b. Trouver un équivalent simple de Sn quand n tend vers  .
4-9 : escl 96
Pour tout entier naturel n on pose : In 

1
0
xne x dx .
1. a. Montrer que, pour tout entier naturel n : 0  In 
b. En déduire que la suite
 In n
1
.
n1
converge et donner sa limite.
2. A l'aide d'une intégration par parties, établir, pour tout entier naturel n : In 
3. a. En déduire pour tout entier naturel n : 0  In 
I
1
 n1 .
e(n  1) n  1
1
1
.

e(n  1) (n  1)(n  2)
b. Trouver un équivalent simple de In quand n tend vers  .
4-10 : escl 98
1. Soit 1  x  1 .
n
a. Montrer, pour tout n de  et tout t de [1 ; 1[ :
1
tn1
.

tk 
1  t k0
1 t

n
b. En déduire, pour tout n de  et tout t de [1 ; x] :
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
n1
t
1

tk 
.
1  t k0
1 x
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n
c. Etablir, pour tout n de  :  ln(1  x) 

k0
n
 xn
d. En déduire que la série
xk1
1

.
k  1 (n  2)(1  x)
[sic] converge et a pour somme ln(1  x).
n1

En particulier, montrer
 n12
n1
n
= ln(2).
2. Un joueur lance une pièce de monnaie équilibrée jusqu'à l'obtention du premier pile.
S'il lui a fallu n lancers (n entier non nul) pour obtenir ce pile, on lui fait alors tirer au hasard un billet de
loterie parmi n billets dont un seul est gagnant. Quelle est la probabilité que ce joueur gagne ?
4-11 : escl 98 bis (sujet de secours)
1
.
x 1
1. Vérifier que f est paire et étudier les variations de f.
Soit f la fonction réelle définie sur  par f  x  
2. Montrer que, pour tout réel x, l'intégrale

2x
x
4
1
dt existe.
t 1
4
On définit la fonction réelle F sur  par F  x  

2x
1
dt .
t 1
4
x
3. a. Etudier le signe de F.
b. Etudier la parité de F.
x
x
 F x   4
.
4
16 x  1
x 1
4. a. Montrer, pour tout réel x strictement positif
b. En déduire les limites de F en  et  .


5. a. Vérifier, pour tout réel x : 1  14x4 F '  x   0 .
b. Dresser le tableau des variations de F sur [0 ;  [. On admettra qu'une valeur approchée de 14 1/4 est
0,52 et qu'une valeur approchée du maximum de F sur [0 ;  [ est 0,37.
c. Tracer la courbe représentative de F dans un repère orthonormé (unité 5 cm).
6. a. Montrer, pour tout réel x strictement positif :
b. En déduire que F(x) est équivalent à
x

16 x (16 x4  1)
4

2x
x
dt
x
 F x   4 4
.
t4
x ( x  1)
7
au voisinage de  .
24x3
n
7. a. Montrer : n t  0 ,

1

(1)k t4k  t4n4 .
1  t4 k0

1
b. En déduire que, pour tout réel x de  0 ;  , la série
 2
 1
c. Montrer, pour tout réel x de  0 ;  : F  x  
 2



(1)n
n0
(1)n
n0
24n1  1 4n1
x
converge.
4n  1
24n1  1 4n1
.
x
4n  1
4-12 : escl 2000
On considère la fonction f : ]1 ;  [   définie, pour tout x de ]1 ;  [, par :
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si x  0
1

f ( x)   ln(1  x)
.
si x ]  1 ; 0[]0 ;  [

x
1. a. Montrer que f est continue sur ]1 ;  [.
b. Montrer que f est de classe C1 sur ]–1 ; 0[ et sur ]0 ;  [. Pour tout réel x de]–1 ; 0[ et ]0 ;  [, calculer
f'(x).
c. Montrer que f '(x) tend vers 
1
lorsque x tend vers 0.
2
d. En déduire que f est de classe C1 sur ]  1 ;  [ .
2. Montrer : x  1 ,
x
 ln(1  x)  0 .
x 1
En déduire les variations de f. On précisera les limites de f en 1 et en  .
3. Montrer que , pour tout x de l'intervalle ] 1/2 ;  [, l'intégrale

2x
x
f (t)dt existe.
4. On considère la fonction F définie, pour tout x de ]1/2 ;  [, par : F( x) 

2x
x
f (t)dt .
a. Montrer que F est dérivable sur ]1/2 ;  [et que F est croissante .
b. Montrer : x ]0 ;  [, F( x)  xf (2x) .
c. En déduire que F(x) tend vers  quand x tend vers  .
d. Montrer que l'intégrale


1
2
1
f (t)dt est convergente .
1
En déduire que la fonction F admet une limite finie en  . On ne cherchera pas à calculer cette limite.
2
4-13 : escl 2001, extrait
 ettn

Pour tout entier naturel n, on considère la fonction fn :    définie par fn  t    n!
0

a. Montrer que lim t2 fn  t   0 . En déduire que l'intégrale
t
b. Montrer que : n *, X  0 ;   ,
c. En déduire


0

x
0
fn(t) dt  


0
e x xn

n!
si t  0
.
si t  0
fn(t) dt est convergente.

x
0
fn1(t) dt .
fn(t) dt  1 .
4-14 : escl 2002
On considère, pour tout n* , la fonction polynomiale Pn : [0 ;  [   définie, pour tout x
2n
appartenant à [0 ;  [, par : Pn( x) 
(1)k xk
x2
x2n1 x2n
.
  x   

k
2
2n  1 2n
k1

I. Etude des fonctions polynomiales Pn
1. Montrer, pour tout n* et tout x de [0 ;  [ : P 'n( x) 
x2n  1
, où P 'n désigne la dérivée de Pn.
x 1
2. Etudier, pour n* , les variations de Pn sur [0 ;  [ et dresser le tableau de variations de Pn.
3. Montrer, pour tout n* : Pn(1) < 0.
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1
x 

.
 2n  1 2n  2 

4. a. Vérifier, pour tout n* et tout x  [0 ;  [ : Pn1( x)  Pn( x)  x2n1  
b. En déduire, pour tout n* : Pn  2   0 .
5. Montrer que, pour tout n* , l'équation Pn(x) = 0, d'inconnue x  [1 ;  [, admet une solution et
une seule, notée xn, et que 1 < xn  2.
6. Ecrire un programme en langage Pascal qui calcule et affiche une valeur approchée décimale de x2 à 10−3
près.
II. Limite de la suite
 xn n*
1. Etablir, pour tout n* et tout x  [0 ;  [ : Pn( x) 
2. En déduire, pour tout n* :

xn t2n
1
1
dt 
t 1

1 1  t2n
t 1
0

x t2n
0
1
dt .
t 1
dt .


3. Démontrer, pour tout n* et tout t  [1 ;  [ : t2n  1  n t2  1 .
4. En déduire, pour tout n* :

xn t2n
1
1
n
2ln2
dt  ( xn  1)2 , puis : 0  xn  1 
.
t 1
2
n
5. Conclure quant à la convergence et à la limite de la suite
 xn n* .
4-15 : escl 2004, extrait
On considère l’application f :    définie, pour tout t par : f (t) 
G :    définie, pour tout x   par : G( x) 

x
x
2et
1  t2
, et l’application
f (t)dt .
a. Montrer que G est impaire.
b. Montrer que G est de classe C1 sur  et calculer G'(x) pour tout x réel.
c. Quelle est la limite de G(x) lorsque x tend vers  ?
d. Etudier le sens de variation de G et dresser le tableau de variation de G sur  comprenant les limites de
G en  et en  .
5. Annales E.S.C.
5-1 : esc 97
Soit n un entier naturel non nul. On pose : In = In 

e
1
x2(ln x)n dx .
1. Calculer I1.
2. a. Etudier le sens de variation de la suite
b. Montrer que la suite
 In n1
 In n1 .
est convergente.
c. Montrer que, pour tout x  1; e  : ln x 
x
.
e
d. En déduire lim In .
n
3. a. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul : In1 
e3 n  1

In .
3
3
b. En déduire lim nIn .
n
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5-2 : esc 98
Soit In 
1
 x ln(1 x)dx , n .
n
0
1. Calculer I0.
2. a. Montrer que In  0 pour tout n .
b. Etablir que la suite
 In n
c. En déduire que la suite
est décroissante.
 In n
est convergente.
3. a. Justifier l'inégalité : xn ln  1  x   xn pour tout x de [0, 1].
b. En déduire que pour tout n : In 
1
.
n1
c. Calculer lim In .
n
4. a. En utilisant une intégration par parties, montrer que In = In 
b. Montrer que 0  0 

1 xn1
0
1 x
ln(2) 1

n1 n1

1 xn1
0
1 x
dx .
1
et en déduire un encadrement de In.
n 2
dx 
c. En déduire : lim nIn .
n
5-3 : esc 2001, extrait
1. On pose pour tout entier naturel n non nul l'intégrale : In 
a. Calculer pour A  1 l'intégrale

A ln t
1
t

 ln t
1
tn
dt .
dt et en déduire que I1 est divergente.
b. Montrer grâce à une intégration par parties que pour tout entier naturel n  2 , l'intégrale In converge et
vaut
1
.
(n 1)2
c. Etudier les variations de la fonction f définie sur [2 ;  [ par f (t) 
donne
ln t
et donner sa limite en  . (On
t2
e  1,65 )

d. En déduire grâce à I2 que
 lnk k converge (on ne cherchera pas à calculer cette série).
k2
2
5-4 : esc 2002
On considère, pour n entier naturel non nul, la fonction fn définie sur * par : fn (x) = fn  x  
n ln x
n  1  nx2
pour tout réel x strictement positif.
On définit également sur * la fonction h par : h  x  
ln x
pour tout x strictement positif.
1  x2
1. Montrer que les fonctions fn et h sont continues sur * et étudier leur signe.
2. a. Montrer que l’intégrale impropre
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
 ln x
1
x2
dx est convergente et déterminer sa valeur.
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
b. Montrer que l’intégrale impropre
alors K l’intégrale impropre : K 


1

1
h( x)dx est convergente. Dans toute la suite de l’exercice on note
h( x)dx .
3. a. Montrer, grâce au changement de variable u 
b. En déduire que l’intégrale impropre


0
1
que K  
x


0

0
0
h(u)du .
h( x)dx converge et vaut 0.
4. a. Montrer que pour tout réel x strictement positif,

1
h( x) dx converge et est égale à 2K.
c. En déduire également que l’intégrale impropre
l’intégrale

fn  x   h x  . En déduire la convergence de
fn( x)dx .
b. Montrer que pour tout réel x strictement positif, h(x) – fn (x) = h  x   fn  x 
c. En déduire successivement : 0 
d. Montrer que lim
n


0


1
(h( x)  fn( x))dx 
K
K
puis 

n1
n 1
h( x)
.
n  1  nx2
1
 (h(x)  f (x))dx  0 .
0
n
fn( x)dx  0 .
5-5 : esc 2004
On considère pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 la fonction fn définie sur   par :
fn(t) 
et
.
1  tn
1. a. Justifier la dérivabilité de la fonction fn sur   .
b. Etudier les variations de la fonction fn , préciser sa limite en  et sa valeur en 0.
2. Etude d'une suite d'intégrales impropres.
On pose pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 : In 


0
fn(t)dt (Il est démontré dans le a. que
chacune de ces intégrales est convergente).
a. Montrer que pour tout réel t strictement positif , fn(t) 


1
1
. En déduire la convergence de l'intégrale
tn
fn(t)dt , puis de l'intégrale In .
b. Montrer que lim


n 1
fn(t)dt  0 .
c. Montrer que pour tout réel t positif , 0  et  fn(t)  tn .
d. En déduire lim

1
n 0
1
fn(t)dt  1  .
e
e. Déterminer lim In .
n
3. Etude d'une fonction définie par des limites.
a. Pour tout réel t positif, déterminer lim fn(t) . (On distinguera t  1 , t  1 , t  1 ).
n
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b. Dès lors, on définit sur   une fonction h par h(t)  lim fn(t) .
n
Donner la courbe représentative de h dans un repère orthonormé ( e1  0,37 ). h est-elle continue ?
c. Etudier l'intégrale


0
h(t)dt . A-t-on ici


0
lim fn(t)dt  lim
n


n 0
fn(t)dt ?
6. Annales EDHEC
6-1 : edhec 96, exercice 1
On considère la suite (dn) définie par d0 = 1, d1 = 0 et n * dn1  n dn  dn1  .
1. a. Calculer d2, d3, d4, d5.
n1
b. Montrer que : n dn1   n  1  dn   1 
.
2. On considère, pour tout entier naturel n, l'intégrale In 
1
n!

1
0
tnet dt .
a. Calculer I0, puis exprimer, pour tout entier naturel n, In+1 en fonction de In.
b. En déduire que : n , edn  n! 1   1  nIn  .
c. Montrer alors que : n , dn 
n!
1
.

e
n1
d. Vérifier que cette dernière inégalité détermine parfaitement dn pour n  2 , puis retrouver la valeur de d5
obtenue à la deuxième question et calculer d10. On donne
5!
10!
 44,15 et
 1334960,92 à 5.10−3 près.
e
e
6-2 : edhec 96
1. Montrer que pour tout t > 0 : ln  1  t  
t
.
1 t


2. Soit f la fonction définie pour tout réel x par : f  x   e x ln 1  ex .
a. Pour tout réel x, calculer f   x  et en déduire les variations de f.
b. Calculer lim f  x  et lim f  x  .
x
x
3. a. Pour tout réel x, vérifier que f  x   1  f   x  
f sur  .
b. Montrer que l'intégrale



ex
. En déduire, en fonction de f, une primitive F de
1  ex
f  x  dx est convergente et donner sa valeur.
4. Soit a un réel et g la fonction définie par g  x   0 si x < 0 et g  x   af  x  si x  0 . Déterminer a
pour que g puisse être considérée comme densité d'une variable aléatoire X.
6-3 : edhec 98, extrait du problème
On considère la fonction définie pour tout x  0 par f  x   1  e x .
1. a. Dresser le tableau de variation de f.
b. Montrer que : x  , f  x   x , l'égalité ayant lieu seulement pour x = 0.
x
2. a. Montrer que, pour tout entier naturel n et pour tout réel x : e
n

(1)k xk
 (1)n1
k!
k0


x ( x  t)n
0
n!
et dt .
b. En écrivant l'égalité précédente pour n = 2, puis pour n = 3, montrer que :
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x   ,
x2 x3
x2
.
  x  f ( x) 
2 6
2
6-4 : edhec 2002
 x ln x

 x  0, f ( x) 
On note f la fonction définie sur   par : 
1  x2 .
 f (0)  0
1. a. Vérifier que f est continue sur   .
b. Etudier le signe de f(x).
2. Montrer que l'on définit bien une fonction F sur   en posant : x    , F( x) 

x
0
f (t)dt .
3. Pour tout x de   , on pose : g(x) = F(x)  x.
a. Montrer que g est dérivable sur   et que, pour x > 0, on peut écrire g'(x) sous la forme g '( x) 
x h( x)
.
1  x2
5 1
 0,48 ).
2
b. Etudier les variations de h, puis en déduire son signe (on donne ln
c. En déduire le signe de g(x).
4. On définit la suite (un) par la donnée de son premier terme u0 = 1 et la relation de récurrence, valable
pour tout n de  : un1  F  un  .
a. Etablir par récurrence que : n , un1  0 ;1  .
b. Montrer, en utilisant le résultat de la troisième question, que (un) est décroissante.
c. En déduire que la suite (un) converge et donner lim un .
n
6-5 : edhec 2003
1
ex
On note f la fonction définie, pour tout réel x strictement positif, par : f  x   2 .
x
1. a. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, montrer que l’intégrale In 


n
f ( x) dx est
convergente et exprimer In en fonction de n.
b. En déduire que In ~

1
.
n
2. Montrer que la série de terme général un  f  n  est convergente.
3. a. Établir que : k * , f  k  1  

k1
k
f ( x) dx  f  k  .

b. En sommant soigneusement cette dernière inégalité, montrer que :

kn1

4. Déduire des questions précédentes un équivalent simple de

kn1

uk  In 

kn1
uk 
e1/ n
.
n2
1
ek
.
k2
6-6 : edhec 2004
Le but de cet exercice est de calculer lim 
n
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

0
1
dt .
1  t  tn
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Pour tout n de  , on pose un 

1
1
dt et on a, en particulier, u0 
n
0 1 t  t

1
0
1
dt .
2 t
1. Pour tout n de  , justifier l’existence de un.
2. Calculer u0 et u1.
3. a. Montrer que la suite (un) est croissante.
b. Montrer que : n , un  ln 2 .
c. En déduire que la suite (un) est convergente.
4. a. Pour tout n de  , écrire ln 2 – un sous la forme d’une intégrale.
b. En déduire que : n , ln2  un 
1
.
n1
c. Donner la limite de la suite (un).
5. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on pose vn 


1
1
dt .
1  t  tn
a. Justifier la convergence de l’intégrale définissant vn.
b. Montrer que : n  2 , 0  vn 
1
.
n 1
c. En déduire lim vn puis donner la valeur de
n
lim
n


0
1
dt .
1  t  tn
7. Annales ECRICOME
7-1 : ecricome 91
Pour n appartenant à  on pose : un 

1
3
0
1  xn dx .
1. Calculer u1.
2. Montrer que la suite  un n est croissante et convergente.
1
3
3. Montrer que pour tout X appartenant à [0 ; 1], on a : 1  X  1  X  3 1  X  1  X . Interpréter
graphiquement.
4. En déduire un encadrement de un et la limite de un quand n tend vers  .
7-2 : Ecricome 93
Soit x un réel strictement positif. On pose pour tout entier naturel n :
Sn  x  
n
n
(1) k  1x  1  x 1 1  x 1 2  n(1)x  1 .
k
k0
On se propose d'étudier la limite S(x) de la somme Sn(x) lorsque n tend vers  .
 tx p
si 0  t  1

1. Pour tout entier naturel p on pose : f p  t    1  t
0
si t  0

, et Ip  x  

1
0
fp (t)dt . Montrer que,
pour tout entier naturel p, l'intégrale Ip(x) existe.
2. Montrer que pour tout réel t  [0 ; 1] , on a :
3. Déduire de ce qui précède que l'on a
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
1
1

1 t
x
n

k0
(1)k tk 
(1)n1 tn1
.
1 t
t
dt  Sn( x)  Rn( x) où Rn( x)  (1)n1
0 1 t
24

1 tn x1
0
1 t
dt .
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4. Démontrer que l'on a pour tout entier naturel n : 0  0 
5. Conclure que l'on a : S  x  


1 tn x1
1 t
0
dt 
1
.
n 2
x
1
t
dt .
0 1 t
6. Etude du cas particulier où x 
1
.
2
a. En utilisant le changement de variable u  t1/2 , calculer S(1/2) (indications : u2 = 1 + u2  1 et on admet
que

dt

dt  ).
2
4
0 1 t
1
n
b. En déduire que l'on a : lim
n
(1) 2k1 1  4 .
k
k0
7-3 : D'après ecricome OG 93
1. Soit f la fonction définie sur ]0 ; 1] par f  x  
 ln x
.
x
Montrer que f est continue, décroissante, positive ou nulle sur ]0 ; 1]. f est-elle prolongeable par continuité
en 0 ?
n

1
 k
2. Pour n entier naturel supérieur ou égal à 2, on pose : Sn 
f  .
n k1  n 
a. Pour k  2, ..., n , montrer que
1  k
f

n  n 
b. Pour k 1, ..., n  1 , montrer que
c. Déduire du a. et du b. que

1
1/ n


( k1)/ n
k/n
k/n
( k1)/ n
f ( x)dx .
1  k
f ( x)dx  f   .
n  n
f ( x)dx  Sn 

1
1 1
f ( x)dx  f   .
n  n
1/ n
3. a. Soit a > 0. A l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégrale
l'intégrale

1
0

1
a
f ( x)dx . En déduire que
f ( x)dx est convergente et calculer sa valeur.
b. Quelle est la limite quand n tend vers  de
1 1
f  ?
n  n
c. Déduire alors du 2. c. la limite de Sn quand n tend vers  .
4. Ecrire en turbo-pascal un programme qui :
- déclare la fonction f ;
- utilise cette fonction pour calculer et afficher la valeur de Sn, n étant un entier naturel supérieur ou égal à
2 fourni par l'utilisateur.
n
5. Déduire du 3. c. la limite de Pn = Pn 

1/ kn
 n
 
 k
k1
quand n tend vers  .
7-4 : ecricome 98 (extrait)
 x   ln(1  x) .

x
 x 1 
1. Soit g l'application de ]0 ;  [ dans  définie par : x  g  x   ln 
a. Montrer que g est dérivable sur ]0 ;  [ et expliciter sa dérivée.
b. Dresser le tableau de variation de g avec ses éventuelles limites aux bornes.
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 
variable, montrer que pour tout réel x positif, on a
 0 f (t)dt  g  ex   2ln2 .
2. Soit f l'application de  dans  définie par x  f  x   e x ln 1  ex . A l'aide d'un changement de
x
7-5 : ecricome 99 (extrait)
On rappelle que l’intégrale généralisée


0
2
eu du converge et vaut
positif ; si x est un élément de   , on pose : I  x  

x
0
2 u2
2u e
1
 . Soit  un réel strictement
2
du et J  x  

x
0
2
t
t



e
2


 dt .
 x
a. A l’aide d’un changement de variable, exprimer, pour tout élément x de   , J(x) en fonction de I   .
 
b. A
l’aide
I x  

x
0
d’une
2
intégration
par
parties,
montrer
que,
pour
tout
élément
x
de
 :
2
eu du  xe x .
c. En déduire que l’intégrale généralisée


0
2
t
t



e
2


 dt
converge et vaut
3 
4
.
7-6 : ecricome 2002
On considère la famille de fonctions
 fn n* définies sur ]1 ;
 [ par fn  x   xn ln  1  x  .
I. Etude des fonctions fn
Soit n* , on note hn la fonction définie sur ]1 ;  [ par hn( x)  n ln(1  x) 
x
.
1 x
1. Etudier le sens de variation des fonctions hn.
2. Calculer hn(0), puis en déduire le signe de hn.
3. Etude du cas particulier n = 1.
a. Après avoir justifié la dérivabilité de f1 sur ]1 ;  [, exprimer f1'(x) en fonction de h1(x).
b. En déduire les variations de la fonction f1 sur ]1 ;  [.
4. Soit n*\ 1 .
a. Justifier la dérivabilité de fn sur ]1 ;  [ et exprimer fn'(x) en fonction de hn(x).
b. En déduire les variations de fn sur ]1 ;  [ (on distinguera les cas n pair et n impair). On précisera les
limites aux bornes sans étudier les branches infinies.
II. Etude d'une suite.
On considère la suite  Un n* définie par : Un 

1
0
fn( x)dx .
A. Calcul de U1
1. Prouver l'existence de trois réels a, b, c tels que : x [0 ;1],
2. En déduire la valeur de l'intégrale

1
0
x2
c
.
 ax  b 
x 1
x 1
x2
dx .
x 1
3. Montrer que U1 = 1/4.
B. Convergence de la suite  Un n*
1. Montrer que la suite  Un n* est monotone.
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2. Justifier la convergence de la suite  Un n* (on ne demande pas sa limite).
3. Démontrer que : n * , 0  Un 
ln2
.
n1
4. En déduire la limite de la suite  Un n* .
C. Calcul de Un pour n  2
Pour x  [0 ; 1] et n* on pose Sn  x   1  x  x2  ...   1  xn 
n
n
(1) x
k k
.
k0
1. Montrer que Sn(x) 
1 (1)n xn1
.

1 x
1 x
n
2. En déduire que
(1)k
 ln2  (1)n
k

1
k0

1 xn1
 1 x dx .
0
3. En utilisant une intégration par parties dans le calcul de Un, montrer que :
Un 
 1
ln2 (1)n 
(1)k
(1)n

 
 ln2   1   
n  1 n  1 
k 1
n 1
 2

  .
 
7-7 : ecricome 2004
Soient f la fonction numérique de la variable réelle définie par : x  , f ( x) 
1
, et (un) la suite de
1  x2
1

 u0  0 f ( x)dx

nombres réels déterminée par : 
.
1
n
 n  N, u 
x f ( x)dx
n

0


A. Etude de f
1. Montrer que la fonction f est paire sur  .
2. Etudier les variations de f sur l’intervalle [0 ;  [.
3. Déterminer la limite de f lorsque x tend vers  .
4. Montrer que f est bornée sur  .
5. Donner l’allure de Cf.
6. Montrer que f réalise une bijection de l’intervalle [0 ;  [ sur un intervalle J à préciser.
7. Pour tout y de l’intervalle ]0 ; 1], déterminer l’unique réel x appartenant à l’intervalle [0 ;  [ tel que
f(x) = y.
8. Déterminer alors la bijection réciproque f−1.
B. Calcul d’aire


On considère la fonction numérique F de la variable réelle x définie par : F  x   ln x  x2  1 .
Pour tout réel
 strictement positif, on note A   l’aire (exprimée en unité d’aire) du domaine constitué
par l’ensemble des points M(x, y) tels que :   x  2 et 0  y  f  x  . Ainsi A   

2

f ( x)dx .
1. Montrer que : x  , x  x2  1  0 . En déduire l’ensemble de définition de F.
2. Montrer que F est une primitive de f sur  .
3. Montrer que F est impaire sur son ensemble de définition.
4. Déterminer la limite de F lorsque x tend vers  . En déduire la limite de F quand x tend vers  .
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5. Exprimer A   en fonction de
 et calculer la limite de A   lorsque  tend vers  .
C. Etude de la suite (un)
1. Calculer u0 et u1.
x3
2. Effectuer une intégration par parties et calculer u3 (on pourra remarquer que
1  x2
 x2
x
1  x2
).
3. Déterminer le sens de variations de la suite (un) .
4. Montrer que la suite (un) est convergente (on ne cherchera pas sa limite dans cette question).
xn
5. Justifier l’encadrement suivant : x  0 ;1  , n , 0 
En déduire que : n * , 0  un 
2
1 x
 xn .
1
.
n1
6. Déterminer alors la limite de la suite (un).
8. Annales ISC-ESLSCA
8-1 : eslsca 93
On pose f  x  

x2
x
dt
et g  x  
ln t

x2
x
dt
.
t ln t
1. Montrer que ces intégrales ont un sens lorsque x est un nombre réel strictement positif et différent de 1.
2. Déterminer explicitement la fonction g.
3. a. Montrer que la fonction f est dérivable sur son domaine de définition et déterminer sa fonction
dérivée f’.
b. Que vaut lim f   x  ?
x1
c. Déterminer les limites de f en 0 et en  .
4. a. Déterminer lim  f  x   g  x   et en déduire lim f  x  .
x1
x1
b. Montrer que f ainsi prolongée est dérivable en 1.
5. Soit (C) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé. Déterminer l'allure
de la branche infinie de (C) et enfin donner l'allure de (C).
8-2 : eslsca 95
1. Pour tout réel x > 1 et pour tout entier naturel n, on pose In  x  

x
0
( x  t)n
dt .
(1  t)n1
a. Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que, pour tout entier n et tout réel x > 1, on a :
In1  x   In  x  
xn1
.
n1
b. Calculer I0(x), en déduire I1(x), puis I2(x).
2. Prouver par récurrence que, pour tout réel x > 1,et pour tout entier n > 0 :
ln  1  x   x 
x2 x3 x4
xn
    (1)n1 
2 3 4
n

x (1)n( x  t)n
0
(1  t)n1
dt .
(Remarque : ces deux questions prouvent en fait la formule de Taylor avec reste intégral dans un cas
particulier ; celle-ci étant dorénavant au programme, entraînez--vous à l'appliquer pour obtenir
directement le 2.)
3. Pour x compris entre 0 et 1, on considère la suite un(x) définie par un  x  
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28

x (1)n( x  t)n
0
(1  t)n1
dt .
F. Laroche
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Montrer que pour tout entier n de  : un  x  
xn1
, en déduire la limite de la suite un(x).
n1
4. Pour x compris entre 0 et 1, on considère la suite (vn(x)) définie pour n > 0 par
vn  x   x 
x2 x3 x4
xn
    (1)n1 .
2 3 4
n
Montrer que la suite (vn(x) ) converge et déterminer sa limite.
8-3 : eslsca 96
Partie 1

Pour n dans  et x dans  * on pose : fn  x   xne
1
x
 1
 xn exp    .
 x
1. Montrer que la restriction de fn à ]0 ;  [ peut être prolongée par continuité en 0. Ce prolongement estil dérivable ?
2. Déterminer les limites éventuelles de fn en  ,  et en 0 par valeurs inférieures.
3. Etudier, suivant les valeurs de n les variations de fn. En désignant par (Cn) la courbe représentative de fn
dans le plan rapporté à un repère orthonormé, préciser les positions relatives de (C n) et (Cn+1). Tracer dans
le même repère (Co), (C1 ),(C2), (C3).
Partie 2
Pour n dans  , on pose In 

1
0
fn( x)dx .
1. Montrer que pour tout n dans  , In est bien défini. Etudier la monotonie de la suite (In).
2. A l'aide d'un encadrement simple, montrer que la suite (In) est convergente et déterminer sa limite.
3. Pour n dans  , déterminer une relation entre In et In−1. En déduire un équivalent simple de In lorsque n
tend vers  .
8-4 : eslsca 98
m et n étant deux entiers naturels quelconques, on pose : Im,n = Im, n 
1
 x (1 x) dx .
m
n
0
1. A l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour m  1 , on a Im, n 
m
Im1, n1 .
n1
2. Calculer I0, m+n et en déduire la valeur de Im, n pour tout couple d'entiers naturels m et n.
3. a. Calculer, pour tout entier naturel n, In, n.
b. Montrer que l'on a : n  , In, n 
1
.
4n
8-5 : eslsca 99
 f ( x)  x ln( x) si x  0
.
 f (0)  0
On considère la fonction f définie sur   par 
On pose, pour n entier naturel non nul, In 

1
0
 f (x) n dx .
1. a. Montrer que, pour tout entier naturel non nul, l'intégrale In est bien définie.
b. Calculer I1 (on pourra, pour   0 , effectuer une intégration par parties dans l'intégrale

1

f  x  dx , puis
faire tendre  vers 0).
2. On pose, pour h et k entiers naturels non nuls, Jh, k 
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Problèmes intégration
29

1
0
xh(ln x)k dx et Jh, 0 

1
0
xh dx .
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a. A l'aide d'une intégration par parties, montrer que, pour h  1 et k  1 , on a Jh, k  
k
Jh, k1 .
h1
b. Calculer Jh, 0. En déduire la valeur de Jh, k.
c. Calculer In.
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