Interrogation écrite 1

U2LG35 L3 Algèbre 2014-2015 Université Paris-Diderot
Interrogation écrite numéro 1
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Les réponses doivent obligatoirement être écrites dans les cadres.
+Exercice 1. Donner la définition de la notion de « sous-groupe ».
Soit (G, +,0) un groupe. Une partie Hde Gest un « sous-groupe » de Gsi :
•0∈G
• ∀x∈H∀y∈Hx+y∈H
• ∀x∈H−x∈H
+Exercice 2. Montrer que l’ensemble Gdes nombres réels de la forme 2xavec x∈Z, est un sous-groupe
de (R∗,×,1).
Les réels de la forme 2xsont tous dans R∗, donc G⊂R∗. Par ailleurs 1=20∈G, si 2x∈Get 2y∈G,
alors 2x2y= 2x+y∈G, et enfin si 2x∈G,2x2−x= 20= 1.
+Exercice 3. Établir la liste des sous-groupes distingués du groupe Gdes isométries d’un triangle
équilatéral.
Il s’agit du sous-groupe nul, du sous-groupe des rotations (qui a trois éléments) et de Glui-même.
+Exercice 4. Il existe un groupe monogène non commutatif. Vrai Faux X
Suite au verso −→

+Exercice 5. Combien y a-t-il de morphismes du groupe Z/6Zvers le groupe Z/4Z? (Justifiez votre
réponse.)
Comme Z/6Zest monogène (engendré par 1), un tel morphisme fest déterminé par l’image de 1. Comme
6×1=1+1+1+1+1+1=0dans Z/6Z, on doit avoir 6×f(1) = 0 dans Z/4Z. Or, les seuls éléments
de Z/4Zayant cette propriété sont 0et 2(puisque 4divise 6×2), alors que 1et 3ne l’ont pas (puisque
4ne divise ni 6×1ni 6×3). Il y a donc au plus deux morphismes. En fait, il y en a bien deux : le
morphisme nul, envoyant tout élément de Z/6Zsur 0et le morphisme obtenu en passant au quotient le
morphisme Z→Z/4Zqui envoie 1sur 2, ce qui est possible car ce morphisme envoie les multiples de 6
sur des multiples de 12, donc congrus à 0modulo 4.
+Exercice 6. (a) Montrer que dans le groupe D8des isométries d’un carré, une symétrie qui laisse fixe
l’un des sommets du carré ne peut pas être conjuguée d’une symétrie qui ne laisse fixe aucun des sommets
du carré.
Soit σune symétrie (qui est une isométrie) du carré qui laisse fixe le sommet A. On a donc σ(A) = A.
Soit τστ −1une isométrie conjuguée de σ. On a τστ −1(τ(A)) = τ(σ(A)) = τ(A). Ainsi, τ(A)est laissé
fixe par τστ −1. Or, τ(A)est un sommet du carré, car une isométrie du carré en permute les sommets,
car elle conserve les distances à l’origine.
(b) En déduire qu’il existe dans D8des sous-groupes à deux éléments qui ne sont pas conjugués.
Une symétrie autour d’une diagonale du carré laisse fixe deux sommets du carré, alors qu’une symétrie par
rapport à un axe perpendiculaire à un coté ne laisse fixe aucun sommet. D’après la question précédente,
ces deux symétries ne sont pas conjuguées. Comme elles sont d’ordre 2, elles engendrent toutes deux des
sous-groupes à deux éléments. Une conjugaison devant envoyer l’élément neutre sur lui-même, elle devrait
envoyer la première symétrie sur la seconde, ce qui est impossible.