Sujet_PHYSIQUE_Sciences physiques

2C2233
Ecole Normale Supérieure de Cachan
SECOND CONCOURS –ADMISSION EN CYCLE MASTER
PHYSIQUE
Session 2012
Épreuve de
SCIENCES PHYSIQUES
Durée : 5 heures
Aucun document n’est autorisé
L’usage de calculatrice électronique de poche à alimentation autonome, non imprimantes et
sans document d’accompagnement, est autorisé selon la circulaire n°99018 du 1er février
1999. De plus, une seule calculatrice est admise sur la table, et aucun échange n’est autorisé entre
les candidats.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est
amené à prendre.
Le candidat traitera les deux parties de l’épreuve sur deux copies séparées .
1ère partie : PHYSIQUE
Cette partie compte pour 2/3 de l’épreuve.
2ème partie : CHIMIE
Cette partie compte pour 1/3 de l’épreuve

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PARTIE PHYSIQUE
Ce sujet est composé de trois problèmes indépendants. Le premier problème s’intéresse au
mouvement d’un satellite et à la modélisation des frottements lors de son entrée dans
l’atmosphère. Le second problème s’intéresse à la diffusion Rutherford. Le troisième
problème s’intéresse aux machines thermiques.
I) Mouvements d'un satellite et étude de son entrée dans l’atmosphère
A) Résultats généraux
On considère dans le référentiel géocentrique un satellite M de masse m soumis à
l’attraction gravitationnelle de la Terre supposée sphérique, de centre O, de rayon RT. On note
g0 la valeur du champ de gravitation à la surface de la Terre. On donne les grandeurs
numériques suivantes :
m=1000 kg , g0=GMT
RT
2=9,8 m⋅s−2 , R
T
=6400 km
A.1) Rappeler la définition du « référentiel géocentrique ».
A.2) Montrer que le mouvement du satellite est conservatif. Exprimer son énergie potentielle
en fonction de g0 , m , RT , r=OM.
A.3) Montrer que la trajectoire du satellite est située dans un plan que l’on caractérisera.
A.4) On suppose que le satellite décrit une orbite circulaire de rayon R. Montrer que le
mouvement est nécessairement uniforme.
A.5) Pour une orbite circulaire uniforme de rayon R, exprimer en fonction de g0 , m , RT , R :
• la vitesse v du satellite
• l’énergie cinétique EC
• l’énergie mécanique Em
• la période de révolution T
Ces relations doivent être démontrées.
A.6) Calculer la vitesse d’un satellite sur l’orbite circulaire de plus basse altitude, puis la
vitesse d’un satellite placé en orbite géostationnaire.
B) Ellipse de transfert
Le satellite décrit initialement une orbite circulaire de rayon R1=10 000 km et on
souhaite ramener ce satellite à la surface de la Terre. On procède en deux étapes : on transfère
tout d’abord le satellite sur une orbite circulaire de basse altitude de rayon R2=6600 km, puis
le satellite effectue progressivement son entrée dans l’atmosphère.
On étudie dans cette partie la première étape du processus : le satellite est pour cela
équipé de fusées permettant de modifier pratiquement instantanément la norme du vecteur
vitesse sans toutefois modifier sa direction.
On appelle v
1
la vitesse initiale du satellite sur l’orbite de rayon R1. En un point A1 de
la trajectoire, les fusées sont actionnées et la nouvelle vitesse est notée v'
1
. Puis lorsque le
satellite est située à la distance R2 du centre de la Terre en un point A2, la vitesse du satellite
est à nouveau modifiée et passe de l’ancienne valeur v'
2
à la nouvelle valeur v
2
.

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B.1) L’orbite de transfert est une ellipse de foyer O. Expliquer pourquoi la direction A1A2
correspond nécessairement au grand axe de l’ellipse.
B.2) Calculer numériquement la durée
τ
1
de la phase de transfert en heures, minutes,
secondes.
B.3) Calculer numériquement les vitesses
v
1
,
v
2
,
v
'
1
,
v
'
2
.
B.4) Les fusées du satellite permettent d’éjecter quasi-instantanément un mélange H2/O2 : une
fois éjectés, les gaz ont une vitesse
u
=
4000
m
/
s
par rapport au satellite. Quelles masses de
combustible m1 et m2 sont utilisées pour effectuer les modifications de vitesse en A1 et en A2 ?
C) Entrée dans l’atmosphère
On considère à présent le satellite sur son orbite circulaire de basse altitude de rayon
R
2
=
6600
km
et on étudie sa pénétration dans l’atmosphère.
C.1) Le satellite subit des frottements sur les hautes couches de l’atmosphère ; ces frottements
sont équivalents à une force de freinage de module
F
=
Kv
2 opposée à la vitesse
v
du
satellite. Cette force est très inférieure à la force de gravitation terrestre de sorte que le
satellite décrit des orbites quasi-circulaires dont le rayon R évolue (diminue) très lentement
par rapport à la vitesse du satellite.
a) La vitesse du satellite augmente-t-elle ou diminue-t-elle au cours de la chute ?
b) En faisant l’approximation que l’orbite est pratiquement circulaire, et à l’aide de
l’expression de la période établie dans la partie A), déterminer la puissance de la force
de frottement lorsque le satellite est situé à la distance R du centre de la Terre en
fonction de K , g0 , RT , R.
c) A l’aide de l’expression de l’énergie mécanique établie dans la partie A), déterminer
une équation différentielle vérifiée par R(t).
d) On appelle z(t) l’altitude du satellite et on fera l’approximation
R
T
+
z
≈
R
T
.
Déterminer z(t) et en déduire la durée
τ
2
de la traversée de l’atmosphère.
e) Calculer
τ
2
pour
K
=
10
−
7 S.I. et
m
=
1000
kg
. Donner approximativement le nombre
de révolutions effectuées par le satellite pendant la phase de rentrée dans l’atmosphère.
C.2) On cherche à justifier ici l’expression de la force de frottement. Les molécules de
l’atmosphère ont une vitesse d’agitation thermique de l’ordre de 500 m/s qui est négligeable
devant la vitesse v du satellite. On suppose qu’après une collision entre le satellite de masse m
et une molécule de masse
m
'
<<
m
, la vitesse relative des deux objets est nulle (choc
parfaitement inélastique).
a) Retrouver l’ordre de grandeur de 500 m/s pour la vitesse d’agitation thermique des
molécules présentes dans l’atmosphère (on se placera à T=273K) , et justifier que cette
vitesse peut effectivement être négligée devant la vitesse v du satellite.
b) Montrer qu’une collision entre une molécule d’air et le satellite entraîne la variation de
la quantité de mouvement du satellite : Paprès −Pavant ≈−m'v
c) On suppose que le satellite est sphérique de rayon
b
. On appelle
µ
la masse
volumique de l’atmosphère. Calculer la variation de quantité de mouvement
δ
P
du
satellite due aux chocs sur les molécules de l’atmosphère entre deux instants voisins
t
et
t
+
δ
t
(on pourra compter le nombre de collisions en considérant un cylindre
élémentaire convenablement choisi). Montrer que l’effet des collisions équivaut à une
force de frottement du type
F
=
Kv
2 où K est une constante que l’on exprimera en
fonction de
µ
et de
b
.
d) Quelle critique peut-on faire à propos de ce modèle ?

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II) Diffusion d’une particule α
α
α
α par un noyau lourd
L’appareil ci-dessous a été utilisé par Rutherford et ses collaborateurs en 1911 pour
démontrer la structure lacunaire de la matière et pour déterminer la charge des noyaux
atomiques.
Au début de l’expérience, le robinet R2 est fermé, R1 est ouvert et l’ampoule (A) est
remplie de radon. Le radon est un gaz radioactif qui se désintègre rapidement en donnant du
radium, substance radioactive solide qui se dépose sur les parois de l’ampoule (A) et aussi sur
la lame de mica (M).
Au bout de quelques heures, la quantité de radium déposée est suffisante. On ferme le
robinet R1, ou ouvre R2 et on fait le vide dans l’ensemble de l’appareillage (ampoule(A) et
tube (T)).
Le radium se désintègre très lentement en émettant des particules α (noyaux d’hélium
He2+). On peut alors considérer que pendant la durée de l’expérience l’émission de particules
α
est stationnaire : le débit particulaire à travers les diaphragmes D1 et D2 est constant dans le
temps.
Après avoir franchi les diaphragmes D1 et D2 , les particules α traversent une feuille
mince d’or (L). Par des scintillations qui apparaissent sur la boule fluorescente (E), on voit
que des particules
α
sont diffusées dans toutes les directions de l’espace, bien que la plupart
d’entre elles traversent la feuille d’or sans aucune déviation.
A) Etude de la diffusion d’une particule
α
par un noyau lourd
La particule α diffusée a pour masse m et pour charge +2q (q désigne ici la charge
élémentaire). Le noyau lourd est un noyau d’or, de masse M et de charge +Zq. L’édtude est
faite dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen. Le paramètre d’impact pour la
particule α étudiée est b : distance du noyau à la droite trajectoire initiale de la particule (voir
figure page suivante). On note ε0 la permittivité diélectrique du vide.
On néglige toute interaction gravitationnelle et magnétique. La seule interaction prise
en compte pour étudier le mouvement de la particule α est la répulsion électrique du seul
noyau d’or à proximité duquel elle passe.
A.1) Justifier en quelques lignes que pendant l’interaction le noyau d’or peut être considéré
comme immobile. On le prendra comme point origine du repère. Justifier également que
l’interaction gravitationnelle est bien négligeable devant la répulsion électrique.
A.2) Démontrer que la trajectoire de la particule est plane.
R1
(A)
(M)
R2
vide
(T)
D1 D2
ϕ
(L)
(E)

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Dans le plan de la trajectoire, on définit un axe polaire Ox parallèle à la droite trajectoire
initiale et de même sens que la vitesse initiale V0 et on repère la particule par ses coordonnées
polaires planes r et θ, comme l’indique la figure suivante.
A.
3) Exprimer en fonction de m, r et
d θ
dt le moment cinétique en O de la particule, noté LO.
Quelle est l’expression de LO en fonction des caractéristiques du mouvement du projectile à
grande distance ? On note LO la valeur algébrique de LO sur uz.
A. 4) Expliquer pourquoi l’énergie totale de la particule α , notée E, est constante. Quelle est
son expression en fonction des caractéristiques du mouvement à grande distance ?
A. 5) Soit V la vitesse de la particule à l’instant t. Trouver une relation différentielle liant V et
u
θ
. Intégrer cette équation différentielle en θ sous la forme V=k
LO
(e−u
θ
), où e est un
vecteur constant appelé vecteur excentricité. Exprimer k en fonction de Z , q et ε0 .
On note Ox,e
( )
= θ
0
+
π
2 et e=e.
A. 6) Déduire du résultat précédent l’équation polaire de la trajectoire sous la forme (on pourra
effectuer le produit scalaire V⋅u
θ
) :
r=p
−1+ecos( θ − θ
0
)
et exprimer p en fonction de m, LO et k . Donner la signification géométrique de l’angle θ
0
.
Préciser l’orientation du vecteur excentricité e.
A. 7) En utilisant le vecteur excentricité montrer que l’on peut obtenir l’énergie E d’une
particule α sous la forme E=B(e2−1) et exprimer la constante B en fonction de Z , q , m ,V0
, b et de ε0 .
A.8) Montrer que l’énergie E peut aussi s’écrire sous la forme E=De
2
−1 et exprimer la
constante D en fonction de Z , q , b et ε0 .
P
O
b
V
0
u
θ
ur
uz
x
z
θ
r
+