Théorie des Groupes LM325 - IMJ-PRG

Théorie des Groupes LM325
Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
20 novembre 2008

Définition d’un groupe
Définition
Un ensemble Gest muni d’une loi de composition s’il existe
une application (notée ◦ou .) telle que
◦:G×G→G.

Définition
Soit Gun ensemble non vide muni d’une loi de composition.
L’ensemble Gest un appelé groupe si les propriétes suivantes
sont vérifiées :
1la loi est associative :
∀x,y,z∈G,(x◦y)◦z=x◦(y◦z)
2Gpossède un (unique) élément neutre e:
∀a∈G a ◦e=e◦a=a.
3Tout a∈Gpossède un (unique) inverse :
il existe b∈Gtel que a◦b=b◦a=e.
best aussi noté a−1
Définition
L’ordre d’un groupe Gest le nombre d’éléments de G. Il est
noté |G|(ou #G)

Définition
Soit Gun ensemble non vide muni d’une loi de composition.
L’ensemble Gest un appelé groupe si les propriétes suivantes
sont vérifiées :
1la loi est associative :
∀x,y,z∈G,(x◦y)◦z=x◦(y◦z)
2Gpossède un (unique) élément neutre e:
∀a∈G a ◦e=e◦a=a.
3Tout a∈Gpossède un (unique) inverse :
il existe b∈Gtel que a◦b=b◦a=e.
best aussi noté a−1
Définition
L’ordre d’un groupe Gest le nombre d’éléments de G. Il est
noté |G|(ou #G)

Définition
Soit Gun ensemble non vide muni d’une loi de composition.
L’ensemble Gest un appelé groupe si les propriétes suivantes
sont vérifiées :
1la loi est associative :
∀x,y,z∈G,(x◦y)◦z=x◦(y◦z)
2Gpossède un (unique) élément neutre e:
∀a∈G a ◦e=e◦a=a.
3Tout a∈Gpossède un (unique) inverse :
il existe b∈Gtel que a◦b=b◦a=e.
best aussi noté a−1
Définition
L’ordre d’un groupe Gest le nombre d’éléments de G. Il est
noté |G|(ou #G)