Théorie des Groupes LM325 - IMJ-PRG

Théorie des Groupes LM325
Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)
20 novembre 2008
Définition d’un groupe
Définition
Un ensemble G est muni d’une loi de composition s’il existe
une application (notée ◦ ou .) telle que
◦ : G × G → G.
Définition
Soit G un ensemble non vide muni d’une loi de composition.
L’ensemble G est un appelé groupe si les propriétes suivantes
sont vérifiées :
1
la loi est associative :
∀x, y , z ∈ G , (x ◦ y ) ◦ z = x ◦ (y ◦ z)
2
G possède un (unique) élément neutre e :
∀a ∈ G a ◦ e = e ◦ a = a.
3
Tout a ∈ G possède un (unique) inverse :
il existe b ∈ G tel que a ◦ b = b ◦ a = e.
b est aussi noté a−1
Définition
L’ordre d’un groupe G est le nombre d’éléments de G . Il est
noté |G | (ou #G )
Définition
Soit G un ensemble non vide muni d’une loi de composition.
L’ensemble G est un appelé groupe si les propriétes suivantes
sont vérifiées :
1
la loi est associative :
∀x, y , z ∈ G , (x ◦ y ) ◦ z = x ◦ (y ◦ z)
2
G possède un (unique) élément neutre e :
∀a ∈ G a ◦ e = e ◦ a = a.
3
Tout a ∈ G possède un (unique) inverse :
il existe b ∈ G tel que a ◦ b = b ◦ a = e.
b est aussi noté a−1
Définition
L’ordre d’un groupe G est le nombre d’éléments de G . Il est
noté |G | (ou #G )
Définition
Soit G un ensemble non vide muni d’une loi de composition.
L’ensemble G est un appelé groupe si les propriétes suivantes
sont vérifiées :
1
la loi est associative :
∀x, y , z ∈ G , (x ◦ y ) ◦ z = x ◦ (y ◦ z)
2
G possède un (unique) élément neutre e :
∀a ∈ G a ◦ e = e ◦ a = a.
3
Tout a ∈ G possède un (unique) inverse :
il existe b ∈ G tel que a ◦ b = b ◦ a = e.
b est aussi noté a−1
Définition
L’ordre d’un groupe G est le nombre d’éléments de G . Il est
noté |G | (ou #G )
Définition
Soit G un ensemble non vide muni d’une loi de composition.
L’ensemble G est un appelé groupe si les propriétes suivantes
sont vérifiées :
1
la loi est associative :
∀x, y , z ∈ G , (x ◦ y ) ◦ z = x ◦ (y ◦ z)
2
G possède un (unique) élément neutre e :
∀a ∈ G a ◦ e = e ◦ a = a.
3
Tout a ∈ G possède un (unique) inverse :
il existe b ∈ G tel que a ◦ b = b ◦ a = e.
b est aussi noté a−1
Définition
L’ordre d’un groupe G est le nombre d’éléments de G . Il est
noté |G | (ou #G )
Sous-groupe
Définition
Si A et B sont deux parties d’un groupe on note
AB = {xy , x ∈ A, y ∈ B}
Définition
Soit G un groupe. On appelle sous-groupe de G toute partie
1
non vide,
2
stable pour la loi de composition de G ( HH ⊆ H)
3
contenant l’inverse de ses éléments ( H −1 ⊆ H).
Sous-groupe
Définition
Si A et B sont deux parties d’un groupe on note
AB = {xy , x ∈ A, y ∈ B}
Définition
Soit G un groupe. On appelle sous-groupe de G toute partie
1
non vide,
2
stable pour la loi de composition de G ( HH ⊆ H)
3
contenant l’inverse de ses éléments ( H −1 ⊆ H).
Sous-groupe
Définition
Si A et B sont deux parties d’un groupe on note
AB = {xy , x ∈ A, y ∈ B}
Définition
Soit G un groupe. On appelle sous-groupe de G toute partie
1
non vide,
2
stable pour la loi de composition de G ( HH ⊆ H)
3
contenant l’inverse de ses éléments ( H −1 ⊆ H).
Sous-groupe
Définition
Si A et B sont deux parties d’un groupe on note
AB = {xy , x ∈ A, y ∈ B}
Définition
Soit G un groupe. On appelle sous-groupe de G toute partie
1
non vide,
2
stable pour la loi de composition de G ( HH ⊆ H)
3
contenant l’inverse de ses éléments ( H −1 ⊆ H).
Morphismes
Définition
Soient G et G0 deux groupes.
1
Une application
f : G → G0
est un morphisme de groupes si
f (xy ) = f (x)f (y )
2
3
pour tous x, y de G .
Si f est de plus bijective, alors f −1 est aussi un
morphisme, c’est un isomorphisme de G sur G0 .
Un isomorphisme de G sur lui-même est un
automorphisme de G .
Morphismes
Définition
Soient G et G0 deux groupes.
1
Une application
f : G → G0
est un morphisme de groupes si
f (xy ) = f (x)f (y )
2
3
pour tous x, y de G .
Si f est de plus bijective, alors f −1 est aussi un
morphisme, c’est un isomorphisme de G sur G0 .
Un isomorphisme de G sur lui-même est un
automorphisme de G .
Morphismes
Définition
Soient G et G0 deux groupes.
1
Une application
f : G → G0
est un morphisme de groupes si
f (xy ) = f (x)f (y )
2
3
pour tous x, y de G .
Si f est de plus bijective, alors f −1 est aussi un
morphisme, c’est un isomorphisme de G sur G0 .
Un isomorphisme de G sur lui-même est un
automorphisme de G .
Morphismes
Définition
Soient G et G0 deux groupes.
1
Une application
f : G → G0
est un morphisme de groupes si
f (xy ) = f (x)f (y )
2
3
pour tous x, y de G .
Si f est de plus bijective, alors f −1 est aussi un
morphisme, c’est un isomorphisme de G sur G0 .
Un isomorphisme de G sur lui-même est un
automorphisme de G .
Noyau
Si f : G → H est un morphisme de groupes, alors
1
2
f (e) = e 0
l’image directe f (G 0 ) d’un sous-groupe G 0 de G et l’image
réciproque f −1 (H 0 ) d’un sous-groupe H 0 de H sont des
sous-groupes respectifs de H et G .
En particulier le noyau
ker f := f −1 (e 0 ) = {z ∈ G , f (z) = e 0 }
3
est un sous-groupe distingué de G et l’image f (G ) est un
sous-groupe de H.
Le morphisme f est injectif si et seulement si son noyau
est réduit à l’élément neutre.
Noyau
Si f : G → H est un morphisme de groupes, alors
1
2
f (e) = e 0
l’image directe f (G 0 ) d’un sous-groupe G 0 de G et l’image
réciproque f −1 (H 0 ) d’un sous-groupe H 0 de H sont des
sous-groupes respectifs de H et G .
En particulier le noyau
ker f := f −1 (e 0 ) = {z ∈ G , f (z) = e 0 }
3
est un sous-groupe distingué de G et l’image f (G ) est un
sous-groupe de H.
Le morphisme f est injectif si et seulement si son noyau
est réduit à l’élément neutre.
Noyau
Si f : G → H est un morphisme de groupes, alors
1
2
f (e) = e 0
l’image directe f (G 0 ) d’un sous-groupe G 0 de G et l’image
réciproque f −1 (H 0 ) d’un sous-groupe H 0 de H sont des
sous-groupes respectifs de H et G .
En particulier le noyau
ker f := f −1 (e 0 ) = {z ∈ G , f (z) = e 0 }
3
est un sous-groupe distingué de G et l’image f (G ) est un
sous-groupe de H.
Le morphisme f est injectif si et seulement si son noyau
est réduit à l’élément neutre.
Noyau
Si f : G → H est un morphisme de groupes, alors
1
2
f (e) = e 0
l’image directe f (G 0 ) d’un sous-groupe G 0 de G et l’image
réciproque f −1 (H 0 ) d’un sous-groupe H 0 de H sont des
sous-groupes respectifs de H et G .
En particulier le noyau
ker f := f −1 (e 0 ) = {z ∈ G , f (z) = e 0 }
3
est un sous-groupe distingué de G et l’image f (G ) est un
sous-groupe de H.
Le morphisme f est injectif si et seulement si son noyau
est réduit à l’élément neutre.
Ordre d’un élément
Définition
Soit G un groupe et x ∈ G . L’ordre de x, noté o(x),est le plus
petit entier n > 0 (s’il existe) tel que x n = e
Si x n 6= e pour tout n on dit que x est d’ordre infini.
L’ordre de x est le nombre d’ éléments du groupe engendré par
x.
Attention
Si, pour a entier, on a x a = e alors o(x) divise a.
Classes modulo un sous-groupe
Définition
Soit G un groupe et H un sous-groupe de G .
La relation
x ≡G y si x ∈ yH
est une relation d’équivalence.
Les classes d’équivalence sont appelées classes à gauche
modulo H
La relation
x ≡D y si x ∈ Hy
est une relation d’équivalence.
Les classes d’équivalence sont appelées classes à droite modulo
H
Indice d’un sous-groupe
Définition
L’ensemble des classes à gauche de G modulo H est noté
G /H et l’ensemble des classes à droite est noté G \H.
L’application π de G dans G /H définie par π(x) = xH est dite
canonique.
Définition
Une partie S est appelée système de représentants des classes
à gauche de G modulo H, si G est la réunion disjointe des
classes sH où s décrit S.
Définition
Le nombre d’éléments de G /H (égal à celui de G \H) est
appelé l’indice de H dans G et noté (G : H).
Théorème de Lagrange
Théorème de Lagrange
Si H est un sous-groupe de G alors
|G | = (G : H)|H|
Corollaire
L’ordre d’un sous-groupe divise l’ordre du groupe ; l’ordre d’un
élément divise l’ordre du groupe.
Si K ⊂ H ⊂ G sont deux sous-groupes d’un groupe G
(G : H)(H : K ) = (G : K ).
Sous-groupe distingué
Définition
Le sous-groupe H de G est distingué dans G si l’une des
conditions équivalentes est vérifiée
1
∀a ∈ G aH = Ha
2
∀a ∈ G aHa−1 = H
3
∀a ∈ G aHa−1 ⊂ H
4
Il existe une loi de composition ( et une seule ) sur
l’ensemble G /H pour laquelle G /H soit un groupe tel que
l’application canonique π : G 7→ G /H soit un morphisme
5
Il existe un groupe L et un morphisme f tel que
ker(f ) = H.
Sous-groupe distingué
Définition
Le sous-groupe H de G est distingué dans G si l’une des
conditions équivalentes est vérifiée
1
∀a ∈ G aH = Ha
2
∀a ∈ G aHa−1 = H
3
∀a ∈ G aHa−1 ⊂ H
4
Il existe une loi de composition ( et une seule ) sur
l’ensemble G /H pour laquelle G /H soit un groupe tel que
l’application canonique π : G 7→ G /H soit un morphisme
5
Il existe un groupe L et un morphisme f tel que
ker(f ) = H.
Sous-groupe distingué
Définition
Le sous-groupe H de G est distingué dans G si l’une des
conditions équivalentes est vérifiée
1
∀a ∈ G aH = Ha
2
∀a ∈ G aHa−1 = H
3
∀a ∈ G aHa−1 ⊂ H
4
Il existe une loi de composition ( et une seule ) sur
l’ensemble G /H pour laquelle G /H soit un groupe tel que
l’application canonique π : G 7→ G /H soit un morphisme
5
Il existe un groupe L et un morphisme f tel que
ker(f ) = H.
Sous-groupe distingué
Définition
Le sous-groupe H de G est distingué dans G si l’une des
conditions équivalentes est vérifiée
1
∀a ∈ G aH = Ha
2
∀a ∈ G aHa−1 = H
3
∀a ∈ G aHa−1 ⊂ H
4
Il existe une loi de composition ( et une seule ) sur
l’ensemble G /H pour laquelle G /H soit un groupe tel que
l’application canonique π : G 7→ G /H soit un morphisme
5
Il existe un groupe L et un morphisme f tel que
ker(f ) = H.
Sous-groupe distingué
Définition
Le sous-groupe H de G est distingué dans G si l’une des
conditions équivalentes est vérifiée
1
∀a ∈ G aH = Ha
2
∀a ∈ G aHa−1 = H
3
∀a ∈ G aHa−1 ⊂ H
4
Il existe une loi de composition ( et une seule ) sur
l’ensemble G /H pour laquelle G /H soit un groupe tel que
l’application canonique π : G 7→ G /H soit un morphisme
5
Il existe un groupe L et un morphisme f tel que
ker(f ) = H.
Sous-groupe distingué
Définition
Le sous-groupe H de G est distingué dans G si l’une des
conditions équivalentes est vérifiée
1
∀a ∈ G aH = Ha
2
∀a ∈ G aHa−1 = H
3
∀a ∈ G aHa−1 ⊂ H
4
Il existe une loi de composition ( et une seule ) sur
l’ensemble G /H pour laquelle G /H soit un groupe tel que
l’application canonique π : G 7→ G /H soit un morphisme
5
Il existe un groupe L et un morphisme f tel que
ker(f ) = H.
Définition
Pour abréger on note H C G au lieu de ” H est un sous-groupe
distingué de G ”
En résumé
Si H C G l’ensemble G /H est appelé groupe quotient et la loi
de groupe sur G /H est définie par :
le produit de deux classes est la classe du produit.
Proposition
Soit G groupe
1
Le noyau d’un morphisme est un groupe distingué
2
Un sous-groupe d’indice 2 est distingué.
3
Toute intersection de sous-groupes distingués de G est un
sous-groupe distingué de G
4
Si H et K sont deux sous-groupes de G . Si H est
distingué dans G , alors HK est un sous-groupe de G . Si,
de plus K est distingué dans G alors HK est distingué
dans G
Théorème de factorisation des morphismes
Théorème
Soit f : G → G 0 un morphisme de groupes.
Il existe un unique morphisme injectif de groupes
f : G / ker f → G 0 tel que f = f ◦ π.
f
π
G
→ G0
↓
% f
G /H
De plus si f est surjectif, f est un isomorphisme de G / ker f
sur G 0
Corollaire
Si G est fini et f : G → G 0 un morphisme de groupes
|G | = | ker f ||Imf |
Groupe opérant sur un ensemble
Définition (1)
Une action ( ou opération) d’un groupe G sur un ensemble
X 6= ∅ est un morphisme π de G dans l’ensemble SX des
bijections de X dans X .
Définition (2)
Il existe une application ·
G ×X → X
(g , x) 7→ g · x
qui vérifie ∀g , g 0 ∈ G
e·x = x
(gg ) · x = g · (g 0 · x)
0
Les deux définitions sont équivalentes en posant
π(g )(x) = g · x
Stabilisateur, Orbites
Définition
Le stabilisateur d’un élément x ∈ X est l’ensemble
Gx = {g ∈ G ; g · x = x}. C’est un sous-groupe de G .
Définition
L’orbite G (x) d’un élément x ∈ X est l’ensemble
{y ∈ X ; ∃g ∈ G , y = g · x}. L’orbite est un sous-ensemble de
X.
Proposition
La relation xRy si x ∈ G (y ) est une relation d’équivalence :
Deux orbites sont disjointes ou égales.
L’ensemble des orbites forme une partition de X .
Définition
Si |G (x)| = 1 alors x est un point fixe pour l’action de
groupe
Le groupe G opère transitivement sur X si, ∀x, y ∈ G , il
existe au moins un g tel que y = g · x. Dans ce cas
l’ensemble X n’a qu’une orbite.
Le groupe G opère fidèlement sur X si π est injective
Le groupe G opère librement si ∀x ∈ X Gx = {e}
Proposition
On a l’égalité ker π = ∩x∈X Gx
Proposition
Si deux éléments sont dans la même orbite leurs stabilisateurs
sont conjugués.
Plus précisément si x = g · y alors Gy = gGx g −1 .
Définition
Si X = G et si l’opération est la conjugaison alors
Gx = {y ∈ G , yxy −1 = x} = {y , yx = xy } est aussi
appelé le commutateur de x.
L’ensemble des points fixes pour la conjugaison,
{g ; ∀k ∈ G ; gk = kg } est un sous-groupe de G appelé le
centre de G et noté Z (G ).
Si X est l’ensemble des sous-groupes de G et l’opération
la conjugaison, si H un sous-groupe, GH est aussi NG (H)
le normalisateur de H dans G .
C’est le plus grand sous-groupe de G dans lequel H est
distingué.
Formule des classes
Théorème
a/ Le nombre d’éléments dans l’orbite de x est l’indice du
stabilisateur de x, soit |G (x)| = (G : Gx ) .
b/ Formule des classes : si T est un ensemble de représentants
des orbites alors
X
|X | =
(G : Gx )
x∈T
p-groupe, Centre d’un p-groupe
Définition
Si p est un nombre premier un p−groupe est un groupe
d’ordre p k .
Proposition
Si G , un p-groupe, opère sur X , si X G est l’ensemble des
points fixes
|X | ≡ |X G | mod p
Le centre d’un p-groupe a au moins deux éléments.
Premier théorème de Sylow
Définition
Si |G | = mp n avec m et p premiers entre eux , un
p−sous-groupe de Sylow de G est un p−sous-groupe de G
d’ordre p n .
Théorème (Premier théorème)
Si p est un nombre premier qui divise l’ordre d’un groupe G ,
alors G possède des p−sous-groupe de Sylow.
Deuxième théorème de Sylow
Théorème (Deuxième théorème)
Tout p−sous-groupe de G est contenu dans un
p-sous-groupe de Sylow de G .
Tous les p-sous-groupe de Sylow de G sont conjugués.
(en particulier si l’un des p-sous-groupe de Sylow de G
est distingué il n’y en a qu’un seul et réciproquement)
Le nombre de p-sous-groupe de Sylow de G est ≡ 1
mod p et divise l’ordre du groupe G . (et donc divise m)
Groupe symétrique
Définition
L’ensemble des bijections (ou permutations) d’un ensemble E ,
non vide, muni de la loi de composition des applications est un
groupe appelé groupe symétrique de E et noté SE .
Si E = {1, 2..n} le groupe SE est noté, pour simplifier Sn .
Attention : dans ce cours les permutations se composent de la
droite vers la gauche
α · β(x) = α(β(x))
Notation
Une permutation de Sn est représentée par une matrice a deux
lignes et n colonnes
1..........n
σ=
σ(1)......σ(n)
L’image du ième élément de la première ligne est le ième
élément de la deuxième ligne.
Cycles
Définition
Un cycle
s = (c1 , c2 , ...ck )
est une permutation de {1, 2..n} telle que s(ci ) = ci+1 ,
s(ck ) = c1 et s(u) = u si u ∈
/ {c1 , c2 ..ck }.
Le support de s est {c1 , c2 , ...ck }
La longueur d’un cycle est l’entier k, c’est aussi son ordre.
Un cycle de longueur 2 est une transposition.
Attention Il y a k façons d’écrire un cycle : (c1 , c2 ...ck ) =
(c2 , c3 ...ck , c1 ) = (c3 , c4 ...ck , c1 , c2 ) = .. = (ck , c1 , ..ck−1 )
Théorème
Toute permutation se décompose en produit de cycles à
supports disjoints. Cette décomposition est unique à l’ordre
des cycles près.
L’ordre d’une permutation est alors le ppcm les longueurs des
cycles intervenant dans cette décomposition.
Le sous-groupe de Sn engendré par s opère sur {1, 2..n}
Les supports des cycles sont les orbites sous cette action.
La restriction de s à ces orbites donne les cycles
Exemple :

1 2 3 4 5 6 7 8 9
⇓ 
α= ↓ ⇓ ↓ ⇓ ⇓
3 5 1 9 8 2 7 6 4
= (1, α(1)) 2, α(2), α2 (2), α3 (2) (4, α(4))
= (1, 3)(2, 5, 8, 6) (4, 9)

Classes de conjugaison dans Sn
Cycles conjugués
Soit α = (a1 , a2 , ..ak ) un cycle d’ordre k de Sn .
Si σ ∈ Sn la permutation σ ◦ α ◦ σ −1 est un cycle
σ ◦ α ◦ σ −1 = (σ(a1 ), σ(a2 )..σ(ak )).
Deux cycles α et β de même longueur sont conjugués dans Sn .
Classes de conjugaison
Le nombre de classes de conjugaison de Sn est égal P
au nombre
de suites décroissantes d’entiers ki positifs tels que i ki = n.
Signature
Définition
Si σ estQ
une permutation, on appelle signature de σ le nombre
ε(σ) = i<j σ(i)−σ(j)
.
i−j
Théorème
La signature ε est un morphisme de Sn dans le groupe {±1}.
Si σ = (i, j) est une transposition, alors ε(σ) = −1.
Si σ est un cycle de longueur l , alors ε(σ) = (−1)l−1 .
Groupe alterné
Définition
Le noyau de la signature est le groupe alterné An
Le groupe An est d’indice 2 dans Sn .
C’est le seul sous-groupe d’indice 2 de Sn .
Théorème
Si n ≥ 5 le groupe An est simple.
La démonstration du théorème utilise deux lemmes :
Si n ≥ 3 les cycles d’ordre 3 engendrent An
Si n ≥ 5 les cycles d’ordre 3 sont conjugués dans An .
Parties génératrices
Les transpositions engendrent Sn
Les cycles d’ordre 3 engendrent An si n ≥ 3.
Exemples :
(a, b, c) = (a, c)(a, b)
(1, 2, 3, 4, 5) = (1, 2)(2, 3)(3, 4)(4, 5)
Groupes abéliens finis
Définition
Si G est un groupe abélien et H et K deux sous-groupes de G ,
on dit que G est somme directeL
de H et K si G = H + K et
H ∩ K = {0}. On écrit G = H L K .
On a alors un isomorphisme H
K ∼ H × K.
Proposition
Si G est un groupe abélien et si x et y sont d’ordre
respectivement m et n.
Si m et n sont premiers entre eux alors
o (x + y ) = o (x) o (y ) .
Si < x > ∩ < y >= {0} alors
o (x + y ) = p.p.c.m.(x, y ).
Définition
L’exposant d’un groupe abélien fini est le p.p.c.m des ordres
des éléments du groupe
Proposition
Il existe un élément d’ordre égal à l’exposant de G .
Proposition
Si K est un corps et G un sous-groupe multiplicatif fini de K ∗
alors G est cyclique.
Théorèmes de structure des groupe abéliens finis
Théorème
Tout groupe abélien fini est somme directe de ses
p-sous-groupes de Sylow.
Soit G un p−groupe abélien fini. Il existe une unique suite
d’entiers (n1 ≥ n2 ≥ .. ≥ nk ) tels que G soit de type
(p n1 , p n2 , ...p nk ), i.e.
G ∼ Z/p n1 Z × Z/p n2 Z × ... × Z/p nk Z
∼ Z/p n1 Z ⊕ Z/p n2 Z ⊕ .. ⊕ Z/p nk Z
(ou bien)
Facteurs invariants
Théorème
Soit G un groupe abélien fini. Alors, il existe une unique suite
d’entiers m1 ≥ m2 ... ≥ mt telle que
mt |mt−1 , mt−1 |mt−2 , ...m2 |m1 et
G ∼ Z/m1 Z × Z/m2 Z × ... × Z/mt Z
les entiers mi sont appelés facteurs invariants ( ou diviseurs
élémentaires) du groupe G .