TD 3 : applications linéaires. 1 Exercices-type - IMJ-PRG

MM2, groupe 1M1ECO – TD 3
Applications linéaires
N. Laillet
[email protected]
TD 3 : applications linéaires.
1 Exercices-type
Exercice 1 On considère l’application u:R3[X]→R3[X]telle que : u(P) = P0.
a. Montrer que uest une application linéaire.
b. Déterminer les sous-espaces vectoriels Ker uet Im u.
c. Même question pour l’application v:R3[X]→R3[X]telle que, v(P)est le polynôme
P(X+ 1) −P(X).
Exercice 2 Soit El’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 4. Soit ∆ :
E→El’application définie par
∆(P)(X) = P(X+ 1) + P(X−1) −2P(X).
a. Montrer que ∆est une application linéaire de Edans E.
b. Calculer ∆(Xp)pour 1≤p≤4. Quel est son degré ? En déduire
textKer(∆), Im(∆) et le rang de ∆.
c. Soit Qun polynôme dans Im (∆). Montrer qu’il existe un polynôme unique Ptel que :
∆(P) = Qet X2|P.
Exercice 3 Parmi les applications de R3dans R3suivantes, déterminer celles qui sont li-
néaires :
f: (x, y, z)7→ (x, xy, x −z)
g: (x, y, z)7→ (x+y, 2x+ 5z, 0)
h: (x, y, z)7→ (x−3y, x +y, z + 2)
Exercice 4 Soit (e1;e2;e3)la base canonique de R3et fl’endomorphisme déterminé par
f(e1) = e1+ 2e2;f(e2)=2e1−e2−e3;f(e3) = −e1+e2+ 3e3
a. Donner la matrice associée à f.
b. Déterminer l’image du vecteur u= (x, y, z). En déduire celle de (−1,2,−3).
c. Déterminer Ker fet en donner une base. En déduire la dimension de Im f .
d. Déterminer f−1(3,−1,1) et f−1(1,0,1).
e. Donner une base de Im f.
f. Donner un système d’équations caractérisant Im f.
Exercice 5 Soit f:R37→ R3l’application linéaire définie par :
f(x, y, z)=(−12x−15y−3z, 8x+ 10y+ 2z, 8x+ 10y+ 2z)
a. Donner la matrice de fdans la base canonique.
b. Donner un système d’équations caractéristique et une base pour chacun des s-e-vKer fet
Im f.
c. Montrer que Ker f⊂Im f. Y a-t-il égalité ?
d. Montrer que f◦f= 0.
Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/
Une grande partie des exercices de cette feuille est inspirée de ceux de Sedki Boughattas.

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Exercice 6 Soit Eun R-espace vectoriel et fun endomorphisme de E.
a. Montrer l’équivalence suivante :
Im f⊂Ker fsi et seulement si f◦f= 0.
b. En déduire que, si f◦f= 0, alors l’endomorphisme IE+fest inversible et donner son
inverse.
Exercice 7 On considère f:R37→ R3l’application linéaire définie par :
f(x, y, z)=(−2x+ 3y+z, −2x+y−z, 3x−2y+z)
Montrer que Ker f⊕Im f=R3.
Exercice 8 Soit f:R47→ R4l’application linéaire définie par :
f(x, y, z, t)=(x−y+z+ 3t, −x+ 3y+z−3t, x −y+ 2z+ 4t, 2x+y−3z−t)
fest-elle bijective ? Si oui, expliciter f−1et en donner la matrice.
Exercice 9 Pour chaque réel aon considère fa:R37→ R3l’application linéaire définie par :
fa(x, y, z)=(x−y−2z, −x+ay +z, 2x+y−3z)
a. Donner la matrice Made l’application linéaire fa.
b. Pour quelle valeurs du paramètre réel al’application faest-elle bijective ?
c. Lorsque faest inversible, donner la matrice de f−1
a.
Exercice 10 Pour chaque réel ton considère l’application linéaire ft:R37→ R3, dont la
matrice par rapport à la base canonique de R3est :
1 1 t
1 0 t
t−1t−2 1 −t
a. Pour quelle valeurs du paramètre réel tl’application ftest-elle inversible ?
b. Lorsque ftest inversible, donner la matrice de f−1
tpar rapport à la base canonique de R3.
c. Le vecteur (1,−2,0) appartient-il à Im f2? Résoudre le système :
(S)
x+y+ 2z= 1
x+ 2z=−2
x−z= 0
Exercice 11 Soit f:R37→ R3l’application linéaire définie par :
f(x, y, z)=(−14x+ 5y+ 8z, 4x−3z, −24x+ 8y+ 14z)
a. Donner la matrice de fpar rapport à la base canonique de R3.
b. On considère les vecteurs suivants de R3:
u1= (−1,1,−2), u2= (3,2,4), u3= (1,1,1)
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1. Montrer que B= (u1, u2, u3)est une base de R3.
2. Exprimer f(u1),f(u2), et f(u3)en fonction des vecteurs de la base B.
3. Déterminer la matrice de fpar rapport à la base B.
4. Déduire de la question c) la dimension de Ker fet Im f;
Exercice 12 Soit fl’application linéaire de R3dans R3donnée par
f(x, y, z) = (6x−2y+ 2z, 10x−3y+ 4z, −2x+y).
Soit Bla base canonique de R3.
a. Ecrire la matrice Ade fdans la base B.
b. Donner la dimension et une base de Ker(f). Donner la dimension et une base de Im(f).
c. Déterminer l’ensemble des vecteurs utels que f(u) = u.
Exercice 13 On considère l’application linéaire f:R3→R3définie dans la base canonique
C3= (e1, e2, e3)de R3par :
f(x, y, z) = (2x+y−z, x + 2y+z, −x+y+ 2z)
a. Donner la matrice de fpar rapport à la base canonique C3.
b. Montrer que f◦f= 3f.
c. Donner une base et la dimension de Kerfet Imf.
d. Montrer que Imf⊥=Kerf.
e. Les s-e-v Kerfet Imfsont-ils supplémentaires ?
f. On pose :
u1= (1,−1,1), u2= (1,2,1), u3= (2,1,−1).
Montrer que B= (u1, u2, u3)est une base de R3, puis donner la matrice de fpar rapport à cette
base.
Exercice 14 On considère l’application linéaire f:R3−→ R3dont la matrice dans la base
canonique est
M=
0 2 0
−130
−112
a. Trouver des vecteurs 1,2,3linéairement indépendants et tel que f(1) = 1,f(2) = 2 2,
f(3)=23.
b. Ecrire la matrice de passage Pde la base canonique de R3à la base 1,2,3. Déterminer
la matrice P−1. Quelle est la matrice de fdans la base 1,2,3?
c. On pose g=f−2Id. Soit h:R3−→ R3une application linéaire tel que h(1)=0. Montrer
que h◦g= 0.
Exercice 15 Soit f:R4→R4une application linéaire telle que Im(f) = Ker(f).
a. Montrer que dim Im(f) = dim Ker(f) = 2.
b. Montrer que pour tout vecteur v∈R4on a (f◦f)(v)=0.
c. Soit (u1, u2)une base de Ker(f). Soit u3∈R4un vecteur tel que f(u3) = u1et soit u4∈R4
un vecteur tel que f(u4) = u2. Montrer que B= (u1, u2, u3, u4)est une base de R4.
d. Donner la matrice de fpar rapport à la base B.
e. L’application fest-elle injective ? surjective ?
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2 Exercices avancés
Exercice 16 Soient Eun K-espace vectoriel de dimension finie n∈N?,Hun hyperplan de
Eet Dune droite vectorielle de E. A quelle condition Het Dsont-ils supplémentaires dans E?
Exercice 17 * Soit f∈ L(E, F )injective. Montrer que pour tout famille (~x1, . . . , ~xp)de vec-
teurs de E, on a
rg(f(~x1), . . . , f(~xp)) = rg(~x1, . . . , ~xp).
Exercice 18 ** Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie supérieure à 2.
Soit H1et H2deux hyperplans de Edistincts.
Déterminer la dimension de H1∩H2.
Exercice 19 ** Soit fun endomorphisme d’un K-espace vectoriel Ede dimension finie.
Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) Imfet ker fsupplémentaires dans E;
(ii) E=Imf+ ker f;
(iii) Imf2=Imf;
(iv) ker f2= ker f.
Exercice 20 Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie et f, g ∈ L(E)tels que f+g
bijectif et g◦f=˜ 0. Montrer que
rgf+rgg= dim E.
Exercice 21 *** Soient Eun K-espace vectoriel de dimension finie et f∈ L(E)tel que
rg(f2) = rg(f).
a. Etablir Imf2=Imfet ker f2= ker f.
b. Montrer que Imfet ker fsont supplémentaires dans E.
Exercice 22 **** Soit Eun espace vectoriel réel de dimension finie. Déterminer les endomor-
phismes fde Etels que
∀g∈ L(E), f ◦g=g◦f.
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