MM2, groupe 1M1ECO – TD 3 Applications linéaires N. Laillet [email protected] TD 3 : applications linéaires. 1 Exercices-type Exercice 1 On considère l’application u : R3 [X] → R3 [X] telle que : u(P ) = P 0 . a. Montrer que u est une application linéaire. b. Déterminer les sous-espaces vectoriels Ker u et Im u. c. Même question pour l’application v : R3 [X] → R3 [X] telle que, v(P ) est le polynôme P (X + 1) − P (X). Exercice 2 Soit E l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 4. Soit ∆ : E → E l’application définie par ∆(P )(X) = P (X + 1) + P (X − 1) − 2P (X). a. Montrer que ∆ est une application linéaire de E dans E. b. Calculer ∆(X p ) pour 1 ≤ p ≤ 4. Quel est son degré ? En déduire textKer(∆), Im(∆) et le rang de ∆. c. Soit Q un polynôme dans Im (∆). Montrer qu’il existe un polynôme unique P tel que : ∆(P ) = Q et X 2 |P . Exercice 3 Parmi les applications de R3 dans R3 suivantes, déterminer celles qui sont linéaires : f : (x, y, z) 7→ (x, xy, x − z) g : (x, y, z) 7→ (x + y, 2x + 5z, 0) h : (x, y, z) 7→ (x − 3y, x + y, z + 2) Exercice 4 Soit (e1 ; e2 ; e3 ) la base canonique de R3 et f l’endomorphisme déterminé par f (e1 ) = e1 + 2e2 ; f (e2 ) = 2e1 − e2 − e3 ; f (e3 ) = −e1 + e2 + 3e3 a. b. c. d. e. f. Donner la matrice associée à f . Déterminer l’image du vecteur u = (x, y, z). En déduire celle de (−1, 2, −3). Déterminer Ker f et en donner une base. En déduire la dimension de Im f . Déterminer f −1 (3, −1, 1) et f −1 (1, 0, 1). Donner une base de Im f . Donner un système d’équations caractérisant Im f . Exercice 5 Soit f : R3 7→ R3 l’application linéaire définie par : f (x, y, z) = (−12x − 15y − 3z, 8x + 10y + 2z, 8x + 10y + 2z) a. Donner la matrice de f dans la base canonique. b. Donner un système d’équations caractéristique et une base pour chacun des s-e-v Ker f et Im f . c. Montrer que Ker f ⊂ Im f . Y a-t-il égalité ? d. Montrer que f ◦ f = 0. Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/ Une grande partie des exercices de cette feuille est inspirée de ceux de Sedki Boughattas. MM2, groupe 1M1ECO – TD 3 Applications linéaires N. Laillet [email protected] Exercice 6 Soit E un R-espace vectoriel et f un endomorphisme de E. a. Montrer l’équivalence suivante : Im f ⊂ Ker f si et seulement si f ◦ f = 0. b. En déduire que, si f ◦ f = 0, alors l’endomorphisme IE + f est inversible et donner son inverse. Exercice 7 On considère f : R3 7→ R3 l’application linéaire définie par : f (x, y, z) = (−2x + 3y + z, −2x + y − z, 3x − 2y + z) Montrer que Ker f ⊕ Im f = R3 . Exercice 8 Soit f : R4 7→ R4 l’application linéaire définie par : f (x, y, z, t) = (x − y + z + 3t, −x + 3y + z − 3t, x − y + 2z + 4t, 2x + y − 3z − t) f est-elle bijective ? Si oui, expliciter f −1 et en donner la matrice. Exercice 9 Pour chaque réel a on considère fa : R3 7→ R3 l’application linéaire définie par : fa (x, y, z) = (x − y − 2z, −x + ay + z, 2x + y − 3z) a. Donner la matrice Ma de l’application linéaire fa . b. Pour quelle valeurs du paramètre réel a l’application fa est-elle bijective ? c. Lorsque fa est inversible, donner la matrice de fa−1 . Exercice 10 Pour chaque réel t on considère l’application linéaire ft : R3 7→ R3 , dont la matrice par rapport à la base canonique de R3 est : 1 1 t 1 0 t t−1 t−2 1−t a. Pour quelle valeurs du paramètre réel t l’application ft est-elle inversible ? b. Lorsque ft est inversible, donner la matrice de ft−1 par rapport à la base canonique de R3 . c. Le vecteur (1, −2, 0) appartient-il à Im f2 ? Résoudre le système : x + y + 2z = 1 x + 2z = −2 (S) x−z = 0 Exercice 11 Soit f : R3 7→ R3 l’application linéaire définie par : f (x, y, z) = (−14x + 5y + 8z, 4x − 3z, −24x + 8y + 14z) a. Donner la matrice de f par rapport à la base canonique de R3 . b. On considère les vecteurs suivants de R3 : u1 = (−1, 1, −2), u2 = (3, 2, 4), u3 = (1, 1, 1) Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/ Une grande partie des exercices de cette feuille est inspirée de ceux de Sedki Boughattas. MM2, groupe 1M1ECO – TD 3 Applications linéaires 1. 2. 3. 4. N. Laillet [email protected] Montrer que B = (u1 , u2 , u3 ) est une base de R3 . Exprimer f (u1 ) , f (u2 ) , et f (u3 ) en fonction des vecteurs de la base B. Déterminer la matrice de f par rapport à la base B. Déduire de la question c) la dimension de Ker f et Im f ; Exercice 12 Soit f l’application linéaire de R3 dans R3 donnée par f (x, y, z) = (6x − 2y + 2z, 10x − 3y + 4z, −2x + y). Soit B la base canonique de R3 . a. Ecrire la matrice A de f dans la base B. b. Donner la dimension et une base de Ker(f ). Donner la dimension et une base de Im(f ). c. Déterminer l’ensemble des vecteurs u tels que f (u) = u. Exercice 13 On considère l’application linéaire f : R3 → R3 définie dans la base canonique C3 = (e1 , e2 , e3 ) de R3 par : f (x, y, z) = (2x + y − z, x + 2y + z, −x + y + 2z) a. b. c. d. e. f. Donner la matrice de f par rapport à la base canonique C3 . Montrer que f ◦ f = 3f . Donner une base et la dimension de Kerf et Imf . Montrer que Imf ⊥ = Kerf . Les s-e-v Kerf et Imf sont-ils supplémentaires ? On pose : u1 = (1, −1, 1), u2 = (1, 2, 1), u3 = (2, 1, −1). Montrer que B = (u1 , u2 , u3 ) est une base de R3 , puis donner la matrice de f par rapport à cette base. Exercice 14 canonique est On considère l’application linéaire f : R3 −→ R3 dont la matrice dans la base 0 M = −1 −1 2 0 3 0 1 2 a. Trouver des vecteurs 1 , 2 , 3 linéairement indépendants et tel que f (1 ) = 1 , f (2 ) = 2 2 , f (3 ) = 2 3 . b. Ecrire la matrice de passage P de la base canonique de R3 à la base 1 , 2 , 3 . Déterminer la matrice P −1 . Quelle est la matrice de f dans la base 1 , 2 , 3 ? c. On pose g = f − 2 Id. Soit h : R3 −→ R3 une application linéaire tel que h(1 ) = 0. Montrer que h ◦ g = 0. Exercice 15 Soit f : R4 → R4 une application linéaire telle que Im(f ) = Ker(f ). a. Montrer que dim Im(f ) = dim Ker(f ) = 2. b. Montrer que pour tout vecteur v ∈ R4 on a (f ◦ f )(v) = 0. c. Soit (u1 , u2 ) une base de Ker(f ). Soit u3 ∈ R4 un vecteur tel que f (u3 ) = u1 et soit u4 ∈ R4 un vecteur tel que f (u4 ) = u2 . Montrer que B = (u1 , u2 , u3 , u4 ) est une base de R4 . d. Donner la matrice de f par rapport à la base B. e. L’application f est-elle injective ? surjective ? Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/ Une grande partie des exercices de cette feuille est inspirée de ceux de Sedki Boughattas. MM2, groupe 1M1ECO – TD 3 Applications linéaires 2 N. Laillet [email protected] Exercices avancés Exercice 16 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N? , H un hyperplan de E et D une droite vectorielle de E. A quelle condition H et D sont-ils supplémentaires dans E ? Exercice 17 * Soit f ∈ L(E, F ) injective. Montrer que pour tout famille (~x1 , . . . , ~xp ) de vecteurs de E, on a rg(f (~x1 ), . . . , f (~xp )) = rg(~x1 , . . . , ~xp ). Exercice 18 ** Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie supérieure à 2. Soit H1 et H2 deux hyperplans de E distincts. Déterminer la dimension de H1 ∩ H2 . Exercice 19 ** Soit f un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension finie. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : (i) Imf et ker f supplémentaires dans E ; (ii) E = Imf + ker f ; (iii) Imf 2 = Imf ; (iv) ker f 2 = ker f . Exercice 20 Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et f, g ∈ L(E) tels que f + g bijectif et g ◦ f = 0̃. Montrer que rgf + rgg = dim E. Exercice 21 *** Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et f ∈ L(E) tel que rg(f 2 ) = rg(f ). a. Etablir Imf 2 = Imf et ker f 2 = ker f . b. Montrer que Imf et ker f sont supplémentaires dans E. Exercice 22 **** Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie. Déterminer les endomorphismes f de E tels que ∀g ∈ L(E), f ◦ g = g ◦ f. Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/ Une grande partie des exercices de cette feuille est inspirée de ceux de Sedki Boughattas.