valorisation des actifs financiers avec mesure de richesse agrégée

PIERRE GILBERT
VALORISATION DES ACTIFS FINANCIERS AVEC
MESURE DE RICHESSE AGRÉGÉE
Memoire
presenté
à la Faculte des dtudes sup6rieures
de l'Université Laval
pour l'obtention
du grade de Maître es arts (M.A.)
Departement d'Économique
FACULTG DES SCIENCES SOCIALES
UNIVERSITE LAVAL
NOVEMBRE 1999
@)
Pierre Gilbert, 1999
1
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Résumé
Le but poursuivi par ce mémoire est d'évaluer les effets de l'utilisation d'une nouvelle
variable economique sur les résultats empiriques du CAPM de consommation de Lucas
(1978) et Breeden (1979). Il est proposé de considérer dans la valorisation des actifs
une variable représentant la richesse agrégée de l'bconomie. Cette mesure de richesse
englobe A la fois la richesse physique et financi4re de la population et une mesure
du capital humain. Traditionnellement, seule une mesure imparfaite de la richesse
financière, eg. un indice de capitalisation boursiére, &ait considtkee.
Dans un premier temps, les estimations indiquent que les probkmes empiriques
du modéle standard sont amplifiés lorsque la richesse est considérée. C'ne modification
au modèle est par la suite proposée pour accorder un rôle plus précis à cette variable
dans la valorisation des actifs. Des améliorations importantes sont constatées sur le
plan empirique suite à cette modification.
Avant-propos
Certaines personnes, parce qu'elles ne comprennent rien aux fluctuations des marchés
financiers, soutiennent que l'économie financiere n'a pas sa place au sein de la science
économique. Il peut étre utile de leur rappeler que ce n'est pas parce que certains
phénoménes sont mal compris qu'ils sont nécessairement irrationnels.
Le rôle de l'économie financière n'est pas de prkdire les fluctuations quotidiennes
du marchd (Y arriver nous conduirait assurément vers la gloire et la prospérité, ce qui
n'est pas notre objectif.. .) , mais de trouver des explications aux phénornénes observés
et de mieux comprendre son fonctionnement.
Ce memoire represente l'aboutissement de mes études en économique à l'Université
Laval. Il m'a permis de toucher au travail de recherche en sciences économiques et
de mettre en application nombre des notions acquises au cours des quatres derniéres
années, autant en &onornie, qu'en bconométrie et en finance. J' ai pris godt B ce
travail et je garde un vif intéret pour la recherche.
J'aimerais adresser mes premiers remerciements B Pascal St-Amour pour ses judicieux conseils et tout le soutien qu'il m'a apporté. Le choix de Pascal comme directeur
de recherche s'est avk6 tout B fait naturel pour moi, étant dom4 son intérêt pour
l'économie hanciére et ses qualit& de professeur. J'ai été emballk de travailler avec
lui, par les pistes qu'il m'a suggéré et son encadrement me laissant toute l'autonomie
voulue.
Je tiens dgalement B remercier Mme Lynda Khalaf pour les conseils précieux donnés dans ma poursuite de la convergence.
Je remercie enfin l'université de m'avoir fourni le gîte au DeSeve pour tous ces
jours, tous ces soirs et ces quelques nuits passes entre ses quatre murs de béton, en
prbsence de cette belle arche inspiratrice et des quelques fantômes qui hantent le
réseau.
Table des matières
iii
Avant-propos
Introduction
1 Survol de la litthrature
1.1 Les modéles traditionnels .
......................
1.2 Le CAPM de consommation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Le modèle standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Les anomalies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Les solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 La richesse .
................................
2 Cadre théorique
2.1 Utilitk sbparable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Consommation optimale linhaire . . . . . . . . . . . . . . . . .
..............
Utilitk non espbrée et consommation optimale lin6aire . . . . . . . .
2.1.2
2.2
Consommation optimale non linéaire
3 Cadre empirique
19
3.1 Méthode d'estimation .
3.2
Dombes
..........................
..................................
4 Analyse empirique
21
24
...............................
24
4.1.1 Deux rendements : indice boursier et bons du trésor . . . . . .
24
.....
25
4.1 Les anomalies
4.1.2 Deux rendements: richesse agrégée et bons du tresor
4.1.3 Trois rendements
.........................
4.2 Utilitk separable .
4.3
19
.............................
4.2.1 Consommation optimale linkaire . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Consommation optimale non linkaire . . . . . . . . . . . . . .
Utiliti! non esphree et consommation optimale linéaire . . . . . . . . .
27
28
28
30
31
Conclusion
Annexes
A Utilith separable
39
...................
A.2 Log-iinéarisation des conditions d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
A.2.1 Consommation optimale linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
..............
42
A.1 Propension B consommer constante
A.2.2 Consommation optimale non linhire
0 Utilite non esp6rée
40
....... ............
Log-hhisation des conditions d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.1 Propension à consommer constante
44
B .2
45
C Graphiques
D Estimation
Liste des tableau
...........................
22
.............................
23
Deux rendements : indice boursier et bons du trésor . . . . . . . .
25
Deux rendements: richesse agrhgee et bons du tresor . . . . . . . . .
26
Moments empiriques
Tests statistiques
Trois rendements
...........................
.....................
Consommation optimale non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wtilitenonesper6e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Deux rendements: indice boursier et bons du trésor .
.
.
Deux rendements : richesse agregee et bons du trésor . . . . . . . . .
Tkois rendements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Consommation optimale lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Consommation optimale linéaire
..................
.....................
.....................
.....................
27
28
30
31
52
53
54
55
Consommation optimale non linéaire
55
Utilitb non espbrée (P = 0.9600)
56
D.? Utilité non esperée (p = 0.9740)
0.8 Utilité non espétée (P = 0.9925)
56
57
Liste des graphiques
4.1 Propension moyenne à consommer la richesse .
.............
28
C.l Consommation per cagita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
............................
Propension moyenne à consommer la richesse . . . . . . . . . . . . .
Taux de croissance de la consommation . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.2 Richesse per capita
48
C.3
48
C.4
49
CS Rendement sur la richesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
C.6 Rendement sur l'indice du TSEJOO
C.7 Rendement sur les bons du trésor
...................
....................
50
50
Introduction
Les économistes cherchent depuis longtemps à comprendre les véritables relations qui
lient le rendement et le risque des actifs financiers. La science economique dispose
de plusieurs outils pour étudier cette question fondamentale en finance. Plusieurs
theones ont kt6 avancees, basées sur le principe suivant lequel l'investisseur choisit
le portefeuille qui maximise le rendement espéré pour un niveau de risque donné ou
minimise le risque pour un rendement donne. Chacune adopte une définition differente
du concept de risque.
Notre analyse s'appuie dans une large mesure sur les bases d&eloppées par Lucas (1978) et Breeden (1979) pour leur modele d'équiübre génhral de valorisation des
actifs bas4 sur la consommation. Selon le CAPM de consommation (CAPM-C),les
rendements dependent des décisions de consommation et d'épargne d'un agent représentatif montrant de l'aversion pour le risque. Celui-ci valorise davantage les actifs qui
lui permettent de rbduire les fluctuations de sa consommation. Les tests empiriques
sur le modéle ne sont toutefois pas parvenus B valider la théorie. Les rbsultats laissent
paraître certaines anomalies.
D'abord, pour expliquer les primes de risque observées l , le niveau d'aversion au
risque exigé par le modéle est excessif. D'autre part, il faut un taux de prkfhrence pour
le temps nbgatif pour expliquer le rendement silr. Autrement dit, les rendements
boursiers sont trop élevés et les taux d'intéret trop faibles pour être expliques par
le CAPM de consommation. De plus, il est possible de prédire certaines variations
1. Le rendement auppl&mentaïm,par rapport au rendement d'un actif sana risque, exigé par
l'investisrieur pour accepter d'investir dana un actif risquk.
INTRODUCTION
2
dans les primes de risque alors que la théorie ne permet pas de tels mouvements.
Ces puztles alimentent depuis bon nombre d'années une littérature abondante et
diversifiée cherchant & résoudre les anomalies, sans toutefois y parvenir.
Pour notre part, nous souhaitons vérifier si I'intbgration d'une nouvelle mriable
au modèle standard permet de tirer des conclusions diffhentes sur la performance
empirique du CAPM-C. Nous utilisons une mesure de la richesse agrégee disponible
pour le Canada. Cette mesure inclut non seulement les actifs financiers, mais tous
les autres actifs de l'konomie, par exemple l'immobilier et les biens durables, des
composantes importantes de la fichesse physique des consommateurs. Elle inclut en
plus une mesure de richesse humaine, souvent négligée. Jusqu'ici, il existait peu de
series chronologiques sur la richesse, expliquant sans doute pourquoi cette avenue de
recherche est restée largement inexplorée.
Aprés avoir passe en revue la litterature sur la modélisation des rendements et la
résolution des anomalies, nous expliquons comment nous comptons integrer au modéle
la mesure de richesse. Nous discutons ensuite des aspects empiriques de l'analyse et
présentons les resultats que nous avons obtenus.
Chapitre 1
Survol de la littérature
1.1 Les modèles traditionnels
Dans les milieux hanciers, deux modèles sont principalement utilises par les analystes
pour evaluer le prix des actifs financiers.
Le modéle le plus connu est certainement le CAPM (Capital Asset Pricing Theory)
développé par Sharpe (1964) et Lintner (1965). Le risque y est mesure par la covariance du rendement de l'actif avec le rendement du marche. Lorsque le rendement
d'un titre est fortement corrélé avec le rendement du marche, il tend B augmenter
la volatilité du portefeuille de l'investisseur. L'investisseur exigera pour le dhtenir un
rendement supérieur. Même si le CAPM est largement utilise, les tests empiriques
employb pour valider le moddle ont 4th serieusement critiqués par Roll (1977). En
effet, il s'avére impossible de tester le CAPM sans connaître avec exactitude la composition du portefeuille de marché, qui contient tous les actifs de l'économie. Dans les
analyses empiriques, un indice boursier est souvent employé comme proq du portefeuille de march4. Pourtant, les actitP qui composent cet indice ne représentent qu'un
faible pourcentage du portefeuille de march6.
Une alternative prbtendant résoudre ce problème fut propos& par Ross (1976).
CHAPITRE 1. SURVOL DE LA LITTI&ATURE
L'APT (Arbitrage Pricing Theory) est base sur l'hypothése de compétitivité des marches financiers : s'il existe des opportunités d'arbitrage sur les marchés, elles sont immédiatement exploitbes jjuqu'à ce que les prix retrouvent leur hquilibre. La théorie
repose sur des hypothèses moins restrictives que le CAPM. Elle posséde aussi l'avantage d'ajouter des dimensions au risque. En enet, le rendement exigé sur un actif est
déterminé par plusieurs facteun, eg. des variables macroéconomiques. Le risque d'un
titre est mesuré par sa sensibilité aux variations de ces facteurs. Par contre, l'identitk
des facteurs à privilégier et leur nombre restent discutables.
Dans ces deux modéles, le rendement sans risque et le prix du risque, Le. la
prime de risque divisé par la quantité de risque, demeurent des facteurs exogènes
que la théorie ne cherche pas A justifier. D'autre part, il s'agit de modéles statiques
ne considhrant pas les questions d'allocation inter-temporelle Liées aux décisions de
consommation et d'épargne de l'investisseur.
1.2 Le CAPM de consommation
Pour traiter de ces questions B l'intérieur d'un cadre econornique plus rigoureux,
Lucas (1978) et Breeden (1979) considérent un modele de maximisation de l'utilitb
espQ6e des agents. Les actifs financiers deviennent alors des instruments permettant
de transférer dans le temps des unités de consommation. La demande et l'offre de
ces instruments déterminent leur prix, et donc leur rendement. Les agents souhaitent
transfbrer de la consommation des périodes où leur utilite marginale est faible (phriode
de forte consommation) aux périodes oil l'utilité marginale est 4levée (phriode de faible
consommation).Ils veulent ainsi rbduire les fluctuations de leur consommation entre
les pbriodea.
Lucas (1978) considéte une économie d'échange pure dans laquelle un agent reprhntatif doue B chaque phriode une part de sa richesse réeile A la consommation
et investit le reste dans un portefeuille composé d'un actif non risqub et d'actifs risqués. L'objectif de l'agent est de maximiser sur un horizon infini son utilite sujet & sa
CHAPITRE 1. SURVOL DE LA LITTÉRATURE
contrainte budgétaire inter-temporelle.
sous la contrainte que
où Eo est l'opérateur d'esperance conditionnelle ii l'information disponible au temps
0, B est le facteur d'escompte subjectif, CI(*) est la fonction d'utilitk instantanée de
l'agent et Ct est la consommation à la phiode t. s;,P/,Df sont respectivement la
quantite et le prix de l'actif j et le dividende qu'il verse. Qt et Bt sont le prix et la
quantite de l'actif sûr.
Le portefeuille optimal de l'agent reprksentatif doit satisfaire les équations d'Euler
suivantes B chaque p&iode:
Le montant investi dans chaque actif est dkterrninb de façon à égaliser le cout marginal
et le benbfice marginal de cet investissement. Ces conditions du premier ordre peuvent
être rbécrites :
où
(@+I
r
/?w
est le taux marginal de substitution inter-temporelle, 1+d+,=
est le rendement brut de l'actif j et l+r/+, E l/Qt
est le rendement
+ e+I)
brut de l'actif sûr.
CHAPITRE 1. SURVOL DE LA LITT$RATURE
6
Enfin,& partir de ces équations, nous pouvons exprimer les rendements excedentaires de la façon suivante :
Le rendement excedentaire de l'actif j est déterminé par sa covaxiance avec le taux
marginal de substitution inter-temporelle. Plus cette covariance est négative, plus une
prime élevée est exigée. En effet, un tel actif a tendance B procurer des rendements plus
faibles lorsque l'utilitdi marginale de la consommation est klevée, une propriété peu
d6sirable. L'agent pr&re que ses actifs lui rapportent davantage lorsqu'il se trouve
dans une période économique difficile (pkriode de faible consommation).
1.3 Le modèle standard
L'utilité iso-blastique (CRRA)séparable est la forme la plus largement employée pour
étudier le CAPM de consommation :
oh 7 est le coefficient Arrow-Pratt d'aversion au risque.
Dans ce cas, le taux maspinal
de substitution inter-temporelle qui entre dans les equations (1.5) et (1.6) est donne
Cette fonction d'utilite est invariante aux variations de la richesse ou
pat
de la taille de l'économie et permet l'utilisation de la consommation agrégée.
fl(9)~.
Lorsque les rendements bruts sont lognormaux et hornoscédastiques, Hansen et
Singleton (1983) suggèrent de faire appel B la propriete suivante pour log-linéariser
les équations d'Euler :
log Et [XI= Et [logXI + ;var [logX]
CHAPITRE 1. SURVOL DE LA LITT&L~TURE
7
Les rendements nets espérés peuvent alors être tirés des conditions d'Euler (1.5)
'
et (1.6) :
où Acwl est le taux de croissance de la consommation et rt+l dénote un rendement
net. Par la propriété (1.9)'les rendements nets suivent une distribution normale si
la croissance de la consommation (qui, en kquilibre, est kgale A la croissance de la
dotation) est distribuée normalement.
La formule (1.11) permet de voir quels facteurs influencent le taux sans risque.
Celui-ci tend & être Blev6 lorsque le facteur d'escompte subjectif est faible. En effet, si
les consommateurs sont tri% impatients, ils exigent un taux de rendement superieur
pour bpargner. La volatilite de la croissance de la consommation tend à diminuer le
taux sans risque car les consommateurs ont alors un motif d'épargne de précaution.
Enfin, lorsque le taux de croissance de consommation est élevé, les consommateurs
ont tendance B emprunter davantage pour aplanir leur profil de consommation.
Le rendement exc4dentaire obtenu en soustrayant (1.11)B (1.10) est exprimé par:
La covariance entre le taux de croissance de la consommation et le rendement de
l'actif j représente la quantite de risque pour cet actif et le coefficient d'aversion au
risque 7 représente le prix du risque. Les primes de risque sont donc blevbes lorsque
l'actif est trh risqub, i.e. les rendements covarient fortement et positivement avec la
consommation, et/ou lorsque l'aversion au risque est grande.
+
1. L'approximation de Eficka est aussi utiiisée :log (1 X)
X lorsque X est faible.
CHAPITRE 1. SURVOL DE LA LITT&L~TURE
1.4
Les anomalies
Les premiers tests empiriques du modele n'ont pas donné les résultats souhaites. Dans
un exercice de calibration, Mehra et Prescott (1985) ont voulu reproduire la prime
histonque de 6% observée sur les rendements boursiers américains sur pres d'un siècle
avec le CAPM de consommation et une utilité iso-elastique séparable. En se limitant
A des valeurs raisonnables du coeficient d'aversion au risque et du facteur d'escompte,
ils ne sont pas parvenus reproduire une prime supérieure A 2%. En fait, pour produire une prime de 6%, un coefficient d'aversion au risque supkrieur ii vingt-cinq est
nécessaire. Or, la thborie économique suggére que le coefficient relatif d'aversion au
risque est m realit6 infkrieur iî dix, ou meme trois selon certains chercheurs2. En consid6rant un niveau d'aversion au risque raisonnable, le modéle implique qu'une prime
aussi elevee devrait inciter tous les investisseurs B emprunter au taux sans risque
pour investir sw le march4 boursier, ramenant alors les rendements excedentaires B
des niveaux plus faibles.
Par ailleurs, ai I'hypothbe d'une aversion au risque aussi élevée est retenue, Weil
(1989) constate que les agents devraient 8tre reticents B substituer inter-temporellement
leur consommation : ils voient leur consommation à chaque période comme complémentaire. Le taux de croissance élevé de la consommation observé en réalité est incompatible avec cette hypothese. Les agents devraient plutôt emprunter au taux sans
risque pour garder un profil plat de consommation. Cette demande d'emprunts exercerait alors une pression positive sur le taux sans risque. Pour expliquer la faiblesse
observ4e du rendement sûr,un taux de préférence pour le temps négatif est nkessaire,
ce qui est invraisemblable.
Une troisihe anomalie a et6 détectêe. De nombreux chercheurs, parmi lesquels
Poterba et Summers (1988) et Fama et French(1988, 1989), ont montres que des variations dans les rendements sont prhvisibles sur de longs horizons avec des variables
2. Un c d c i e a t élevé est incompatible avec Ie comportement des individus dans d'autres
une loterie ou B un choix d'wsurance par exemple. Une étude récente de Barsky,
Kimbail, Juster, et Shapiro (1997) rejette &galementsur la base d'un sondage les codcients d'aversion au risque trop êievés.
contexteri, Eace B
CHAPITRE 1. SURVOL DE LA LITTÉRATURE
9
telles que le ratio prix/dividende et la structure & terme des taux d'intéret. En particulier, les rendements excédentaires sont prévisibles. L'équation (1.12) implique que
les seconds moments conditionnels doivent l'étre également. Or, l'évidence empirique
en ce sens n'est pas concluante.
Ces trois anomalies, le puule de la prime de risque, le puzzle du taux sans risque
et le puzzle de la previsibilité, ont conduit au développement d'une vaste littérature
cherchant modifier le modele original pour mieux expliquer les faits empiriques.
1.5
Les solutions
Toute tentative de résoudre les anomalies du CAPM-C exige d'abandonner l'une
des trois hypoth4ses suivantes du modéle original : l'utilité est de forme iso-élastique
separable, les marches hanciers sont complets et iis sont parfaits3.
Une forme d'utilitb plus gbnérale permet d'accorder
à la consommation un ef-
fet sur l'utilité pendant plus d'une période en raison des biens durables ou de la
formation d'habitudes (Constantinides 1990; Campbell et Cochrane 1995). D'autres
questionnent plut& la relation qui lie étroitement l'aversion au risque et l'élasticitb
de substitution inter-temporelle dans la forme iso-elastique et proposent une fonction d'utilité moins restrictive qui dbiie les deux concepts (Epstein et Zin 1989,1991;
1990).
Les marches financiers sont complets lorsque les agents peuvent diversifier compl&tementle risque idiosynchrasique de leur corisommation, pat le biais d'assurances
par exemple. Sinon, il peut etre prbferable de considbrer des agents hétérogénes plut& qu'un agent reprhentatif. Cette approche est consid4rêe par Constantinides et
DuflSe (1996)et Heaton et Lucas (1996) pour les chocs de revenus. La variabilité du
revenu individuel Btant plus blevêe que la variabilith du revenu per capita, le risque de
consommation serait sous-estimé s'il est mesur4 avec une mesure de consommation
agrbgée. Heaton et Lucas (1997) suggérent que les revenus d'entreprise pourraient
---
3. ~ ~ & & & t a (1996) hace un nirvol exhaustif des solutions avancéea.
CHAPITRE 1. SURVOL DE LA LITT$RATURE
constituer une source plus importante encore de risque idiosynchrasique. En effet,
les profits que touchent les propriétaires d'entreprises fluctuent davantage que leur
revenu de travail et sont davantage corrélés aux autres rendements.
Enfin,la prhsence d'imperfections de marché fait égaiement l'objet de recherches.
Il est possible que la présence de coûts de transaction ou de contraintes l'emprunt
aient des effets sur les rendements (Heaton et Lucas 1996; Aiyagari et Gertler 1991;
Zeldes 1989a). On constate par exemple que seul le tiers de la population américaine
dbtient des actifs boursiers (autant directement que par le biais d'un fonds de pension).
Cette segmentation de marché notee par Mankiw et Zeldes (1991) remet en question
l'utilisation de la consommation agrégée car la consommation de ces derniers est plus
volatile et plus conélée avec les rendements que ceux qui ne détiennent pas de ces
actih.
Aucune de ces explications n'est parvenue B satisfaire l'ensemble des chercheurs.
Les résultats empiriques ne parviennent pas à etablir hors de tout doute les raisons
qui expliquent l'échec du modele original.
1.6 La richesse
La richesse totale d'un agent est definie comme &tantla valeur prksente anticipée des
ressources financi&resqu'il disposera au cours de son existence. Le rBle déterminant
que joue la richesse sur le choix de consommation n'est plus B dbmontrer. Il est B la
base d'une bonne partie de la théorie macroéconomique.
Comme les rendements sont liés aux choix de consommation, la richesse est appelée B jouer un rdle tout aussi important dans le probkme de valorisation des actifs,
puisqu'elle constitue la variable d'état qui conditionne les choix optimaux de consommation et de portefeuille. Celle-ci a cependant bt4 largement négligée pour des raisons
empiriques :la richesse est difEciie B mesurer.
Dans le cadre du CAPM traditionnel, les chercheurs se sont souvent content& d'un
indice boursier pour approximer le portefeuille de marchb.
A moins que cet indice
CHAPITRE 1. S
U .DE LA LITTÉRATuRE
11
ne soit parfaitement con614 avec le portefeuille de marchi!, les résultats des tests
empiriques ne permettent pas de tirer aucune conclusion sur la validité du modèle.
Quelques chercheurs ont tente d'augmenter l'indice en incluant d'autres actifs. A la
suggestion de Mayers (1972), Jagannathan et Wang (1996) ont par exemple intégré
le revenu de travail au CAPM afin de considérer le capital humain. Ces nouvelles
mesures demeurent toutefois fort incornplétes et n'&happent pas B la critique de Roll
(lW'T).
Plusieurs mesures de richesse incluant le capital humain sont disponibles dans la
Litterature. La plupart ont cependant &téd6veloppées suivant une approche microéconomique dans le but de mesurer l'inégalité dans la distribution de la richesse et
sont inutilisables dans le contexte du present article4.
Ce sont les travaux de Macklem (1994, 1997) qui ont conduit à la mesure de
richesse qui est utilisée dans notre analyse. La mesure qui y est développbe comprend
B la fois la richesse physique, la richesse financiere et la richesse humaine. 11 s'agit
de la mesure de richesse agrégée la plus compkte qui nous soit connue B ce jour.
Celle-ci est mesurée à chaque trimestre de 1963 A 1994, procurant ainsi sufFsamment
d'observations pour permettre une analyse i!conom&rique.
Comme le prévoit la theone, la richesse estimée par Mackiem (1994) permet d'expliquer une part importante de la consommation A chaque p&iode5. Par ailleurs, la
richesse financiére ne reprhsente qu'une très petite fraction de la richesse totale (moins
de dix pourcent). Ces dew observations viennent clairement appuyer l'intégration de
cette mesure de richesse au probléme de valorisation des actifs financiers.
4. A w etats-unis, lea mesures de Jorgenson et Fraumeni (1987) et Eiiner (1989) wnt les prinapaies exœptione. Au Canada, Beach, Boadway, et Bruce (1988) ont evalue la richesse totaie sur une
fiQuence annuelle.
5. Dans L'esthation de k fonction de co~l~~rnmation,
le tevenu courant est a w i sisnifiCatif.
Ce résultat pourrait dgn&r que les commmateurs font dectivement face B des contraintes B
l'emprunt.
Chapitre 2
Cadre théorique
2.1 Utilité séparable
Le cadre théorique sur lequel repose cette analyse correspond essentiellement au modéle standard présente dans les sections 1.2 et 1.3 dans lequel nous introduisons une
mesure du rendement sur la fichesse totale. La contrainte (1.2) du probléme de maximisation peut etre rkecrite :
Le terne de gauche de l'équation (1.2) correspond & la richesse au temps t de l'agent
et est représentée ici pour la période suivante par At+i. Le terne de droite de (1.2)
correspond B la part de la richesse investie (non consommée) B la periode précédente,
multipliée par le rendement brut obtenu sur celle-ci pour une période. Si (1 - w t ) est
defini comme la fraction de la richesse investie dans l'actif sans risque et représente
la part qu'occupe l'actif j dans le portefeuille risque, le rendement sur la richesse est :
4
Le revenu de travail est inclus implicitement dans le probléme. En effet, celui-ci
correspond au rendement sur le capital humain, un actif inclus dans la mesure de la
richesse.
Les conditions d'Euler qui caractérisent la solution A ce probkme sont :
2.1.1
Consommation optimale lineaire
La richesse pourrait etre etudibe à l'intkrieur du modéle standard en consid&rantque
son rendement est simplement determiné par I'Bquation (1.10). Le mod4le peut aussi
etre modifib pour tenir compte de la nature particuliere de cette variable.
Lorsque l'ensemble d'investissement est constant, c'est à dire que les premiers et
seconds moments conditionnels des rendements sont constants, Merton (1992) montre
que le choix optimal de consommation est une fonction lineaire de la richesse. Dans
notre cas particulier, une solution explicite peut &tredérivee (voir l'annexe A.1) :
Ce résultat est compatible avec les id& avancées par deux théories : l'hypothése
de cycle de vie de Modigliani et B~imberg(1954) et la thborie du revenu permanent
de Ekiedman (1957). Elles suggèrent que chaque individu devrait consommer une part
constante de sa fichesse B chaque p6riode. De plus, cela implique (voir l'annexe A.2)
que le taux de croissance de la consommation optimale est gaussien, si les rendements
nets le sont Bgalement.
CHAPITRE 2. CADRE THEONQUE
14
Cette restriction théorique est incorporée au problème et la lognormalité des variables permet de log-linéariser les conditions d'Euler pour obtenir les premiers moments conditionnels (voir l'annexe A.2) :
C'est maintenant la covariance du rendement d'un actif avec le rendement sur la
richesse plutôt que la croissance de la consommation qui definit le risque. Si cette
covariance est plus grande, les estimations traditionnelles pourraient sous-évaluer la
quantite de risque pour cet actif. Il est par ailleurs tres intéressant de constater
que la faiblesse observée du taux sans risque n'est plus incompatible avec un niveau
d'aversion au risque elevb. Le puzzle du taux sans risque tel que défini par Weil (1989)
ne se pose donc plus dans notre modéle. Enfin, lorsque 7 > 1, plus la propension &
consommer la richesse est grande, plus les rendements exighs sont élevés, car moins
d'argent est investi dans les dinkrents titres. Les rendements excedentaires sont donnés
par :
Selon la formule des rendements excédentaires, un actif dont le rendement covarie
fortement avec le rendement sur la richesse o r n a une prime hlevée. En effet, cet
actif tend B augmenter la volatiiitb du rendement de la richesse de l'investisseur et
celui-ci exige un rendement superieur pour le détenir. Par ailleurs, si la covariance est
positive, les rendements excédentaires augmentent avec l'aversion au risque.
Finalement, il faut noter que le puzzle de prévisibilité n'est pas nécessairement
CAWITRE 2. CADRE THÉORIQUE
rbsolu par l'introduction de la richesse. Des seconds moments conditionnels vaxiables
demeurent requis pour expliquer la persistance des rendements excédentaires.
Dew variantes de ce modéle sont maintenant considérées.
2.1.2 Consommation optimale non linéaire
La majorité des auteurs acceptent I'hypothése de linéaritb de la fonction de consommation et l'utilisent dans leun travaux théoriques et empiriques. Quelques auteurs
remettent toutefois en cause cette pratique, parmi lesquels Zeldes (1989b) , Kimbdl
(1990) et Carroll et Kirnball (1996).Ces derniers démontrent qu'avec l'utilit6 CRRA
et en prhsence d'epargne de precaution, la fonction de consommation devrait plutôt
&treconcave dans la richesse. La forme générale de fonction de consommation suivante
permet de capter cette &entuelle non-linearité :
Si la fonction est concave, 91 sera inférieur B un. La propension matginale à consommer
est alors plus éievke chez les personnes dont la richesse est la plus faible. Une augmentation de leur richesse réduit davantage, en termes relatifs, leur besoin d'épargne
de précaution que si leur richesse initiale etait déj8 élevée.
Si cette hypothése s'avbre juste, les premiem moments conditionnels dépendent
du niveau de richesse :
CHAPITRE 2. CADRE THÉORIQUE
où
Lorsque yûl > 1, une augmentation de la richesse tend à rbduire les rendements
exigbs. De plus, la variabilitd des rendements, expliquk par la présence du terme
bt, permet ici de considerer un des aspects du puzzle de prévisibilit8, soit la variation
temporelle des rendement nets anticipés. Lorsque 81 = 1, nous pouvons v&ifier que les
premien moments conditionnels se réduisent aux kquations (2.7) - (2.10) du modéle
avec consommation optimale Lin6aire.
Les rendements excedentaires sont donnés par la formule:
Si la fonction de consommation est concave (Bi < 1), l'élasticitb de la consommation
par rapport B la richesse est plus faible que dans le cas linéaire. La quantité de risque
est donc plus faible car la consommation est moins sensible aux fluctuations du niveau
de richesse. Une aversion au risque plus élevke est alon nécessaire pour expliquer
les primes de risque observ6es. Il faut enfin noter que le putle de prévisibilité des
rendements ezc4dentatres n'est pas rksolu par la non-linéarité de la consommation
opt hale.
2.2
Utilit6 non esperbe et consommation optimale
linéaire
La forme d'utilité &parable iso-élastique (1.8) poss6de une propriété peu déairable.
ElIe contraint l'élasticité de substitution inter-temporelle ii étre égale ii la réciproque
du coefficient d'aversion au risque. Aucun fondement théorique ne lie de façon si
rigide les deux concepts. Epstein et Zin (1989, 1991) et Weil (1990) sont parvenus à
dissocier les deux concepts en proposant une forme d'utilitb non esperée plus g6n4rale
qui conserve plusieurs des propriétés attrayantes de la forme iso-élastique separable.
Avec cette forme de préférences, les primes de risque sont déterminées par le coefficient
d'aversion au risque dors que l'élasticitt! de substitution inter-temporelle agit sur le
lissage de la consommation entre les pbriodes. La fonction objective de l'utilité non
espérée est la suivante :
où, en plus des définitions précédentes, est l'élasticit6 de substitution inter-temporelle.
Les conditions d'Euler qui caracterisent la solution & ce probkme sont de la forme :
La richesse joue ici un rôle explicite dans la détermination des rendements. Le rendement sur la richesse entre directement dans le cacul des conditions d'Euler par le biais
du taux marginal de substitution inter-temporelle, contrairement au cas separable.
La log-linédsation des conditions d'Euler avec la consommation optimale lineaire
conduit aux expressions suivantes pour les premiers moments conditionnels (voir l'annexe B) :
Ii est fade de demontrer que ces premiers moments conditionnels se réduisent aux
6quation.s (2.7)
- (2.10) lorsque 7 = $. Nous pouvons aussi constater qu'en l'absence
CHAPITRE 2. CADRE THÉORIQUE
d'incertitude, le paramétre 7 d'aversion au risque ne jouerait aucun rôle dans la détermination des rendements espérés. Enfin, l'élasticité de substitution inter-temporelle
n'intervient pas dans la formule des rendements excédentaires. Celieci est en fait
identique à (2.1 1).
La section suivante prosente les outils nécessaires pour l'étude empirique qui permettra de valider ou d'invalider ces théories.
Chapitre 3
Cadre empirique
3.1 Méthode d'estimation
L'estimation du modèle peut prendre deux approches. D'abord, les restrictions d'orthogonalite qui découlent des equations d'Euler peuvent être exploitees en se servant
de la méthode des moments genéralisés (GMM). Cette approche, proposée par Hansen et Singleton (1982)' est souvent employee. Elle repose largement sur des variables
instrumentales, bien que peu de fondements thhoriques appuient leur utilisation. Les
résultats de l'estimation sont par ailleurs trés sensibles au choix de ces instruments,
particuliikement B l'int&ieur de petits hhntillons (Tauchen 1986).
Pour notre part, nous privilbgions l'utilisation du maximum de vraisemblance.
Cette mhthode consiste A d6termiaer la valeur des paramétres d'une distribution qui
correspondent le mieux à l'échantillon observ6. Contrairement au GMM, le maximum
de vraisemblance ne fait pas appel aux variables instrumentales, ce qui constitue
certainement un avantage de taille. La forme de la distribution des variables doit
toutefois 4tre postulée. Cela ne constitue pas un probleme puisque l'hypothèse de
lognormalité est déjh posée sur le plan théorique. Le maximum de vraisemblance
apparaît donc dtre la méthode B adopter dans notre contexte.
CHAPITRE 3. CADRE EMPIRIQUE
20
Notre approche est semblable B celle employée par Jorion et Giovannini (1993).
En supposant les rendements bruts et le taux de croissance de la consommation
conjointement lognormaw, les rendements nets sont distribués selon :
où les premiers moments conditionnels sont donnés par (2.7) - (2.10)' (2.13) - (2.16)
ou (2.21) - (2.24) selon le modéle. Les termes de covariance pour l'actif sans risque
ne se retrouvent pas dans les équations d'Euler, mais sont nkessaires dans la matrice
de cov&ance pour l'estimation du modéle.
La fonction log-vraisemblance qu'il faut maximiser est la suivante :
r (e) = -4
Tlog2r
2
1
- -21log (Cl - -tr
(c-'u'u)
2
où T est le nombre d'observations, U est la matrice des résidus,
covariance et 0 contient les paramétres à estimer.
C est la matrice de
Cette fonction log-vraisemblance est hautement non linéaire et difficile à maximiser. Deux algorithmes d'optimisation sont donc utilisés. Le premier, BFGS, est
un algorithme quasi-Newton reposant sur l'utilisation des gradients. Les gradients
calculés 8 chaque itération indiquent B l'algorithme dans quelle direction aller il l'itération suivante. Cette methode est g6néralement trés rapide et convient un grand
nombre de problémes. Dans quelques cas, par exemple lorsque la fonction est nondifférentiable en certains endroits, cet algorithme peut khouer B trouver Le maximum.
C'est pourquoi nous utilisons egalement un second algorithme, Simulated .4nnealing,
qui ne fait pas appel aux gradients et est donc particuli4rement bien adapth B ce
genre de situation. Expliqué très simplement, l'algorithme part d'un point itinial et
fait un saut aléatoire. Si la valeur de la fonction 4vaIuée en ce point est sup6rieure
au point initial, le nouveau point est accepté et le processus recommence. Si la valeur
CHAPITRE 3. CADRE EMPIRlQLIE
21
est infêrieure, le point peut quand même étre choisi avec une certaine probabilité.
L'algorithme peut ainsi sortir des zones de maxima locaux. Le processus est répété
jusqu'à ce que le maximum global soit atteint. Cette méthode requiert un trés grand
nombre d96valuationsde la fonction objectif et un temps de calcul beaucoup plus long
pour converger l. L'estimation est reprise de plusieurs valeurs de départ avec les deux
algorithmes afin de s'assurer d'atteindre l'optimum global.
3.2
Données
En plus de la mesure de richesse, nous avons besoin pour l'analyse empirique de
données sur la consommation, sur les rendements boursiers et sur le taux sans risque.
Les donnees sont trimestrielles et couvrent la période de 1963 :2 à 1994 :2, pour un
total de 125 observations. Les domées sont puisbes dans la base de donnees CANSIM
de Statistiques Canada ii l'exception de la mesure de richesse qui provient de Macklem
(1994, 1997).
Les bons du trksor B trois mois ont kt6 choisi pour représenter le taux sans risque.
Le rendement du portefeuille risqué est mesur4 par l'indice boursier du TSE300 de la
Bourse de Toronto et ajusté pour le rendement en dividendes. Ces deux séries sont
ajustees pour I'inflatioo à l'aide de l'indice des prix à la consommation. Il s'agit donc
de taux de rendement réels.
La mesure de consommation est constitut5e du total des depenses en biens et services duquel les biens durables sont soustraits. Ces derniers sont exclus aiin de ne
consid&er que les dépenses de consommation qui procurent un gain d'utilité imm&
diat 2. Cette skie est déjh en termes constants et est desaisonnalis6e. Elle est ensuite
divisée par le population du Canada pour la ramener per capita.
-
1. Pour cette raiSr,n, le premier algorithmea éte préfQé dans le4 cae oiî nous n'avons pas rencontré
de problèmes.
2. Breeden, Gibbons, et Litzenberger (1989) et G r m a n , Melino, et Shiller (1987) discutent de
certains problémes Ji& & l'utilisation de ia consommation agrégée! dans 1s fonction d'utilït6. Par
exemple, la consommation eat un flux continu alors qu'elle est rnmk & intervalle8 discrets dans la
fonction d'utilité.
CHAPITRE 3. CADRE EMPIRIQUE
La richesse totale est constituée de trois composantes: la richesse humaine, la
richesse hanci6re et la richesse physique. Les richesses financiére et physique sont
mesurées en regroupant l'actif et le passif des divers secteurs de 114conomiepour obtenir une estimation de la richesse nette du secteur privé. Les donnbes sont tirees
principalement des comptes nationaux et des comptes des flux financiers et sont ajustées, lorsque c'est possible, & la valeur du marché. Elles comprennent, entre autres,
les actifs financiers (detenus directement ou via un fonds de pension), les biens immobiliers et les biens durables.
La richesse humaine est definie comme étant la valeur prhsente anticipée du revenu
global de travail net des dépenses publiques. Elle est bashe sur l'estimation d'un VAR
bivarie du taux d'inter& réel et du taux de croissance du revenu de travail net 3. Le
VAR est ensuite approximé par une chaîne markovienne avec 625 états de la nature
pour permettre le calcul de l'esp8rance.
La mesure de richesse totale est enfin divisée par la population. Cette mesure n'est
certainement pas parfaite. Elle dbpend d'un certain nombre d'hypotheses : équivalence
ricardienne, taux d'actualisation approprié, inflation anticipée bien mesurée, etc. La
richesse est mesurhe avec erreur, tout comme la consommation. Le rendement sur la
richesse est calculé B partir de la formule (2. l), Le. rc+i =
- 1.
&
TABLEAU
3.1: Moments empiriques
Matrice wiancecovariance (conêlation)
Variable Moyenne Ecart-type
Ac
Aa
r
rj
rf
0.005194
0.004407
0.03481
0.01394
0.005874
Aa carrrgaad au
0.007665
0.03069
0.03219
0.07804
0.009022
5.8759e-05
(0.1661)
(0.1316)
(0.2567)
(-0.1644)
3,9069e-05
0.0009420
(0.9956)
(0.1718)
(0.01506)
3.2456e-05 0.0001536
0.0009835 0.0004115
0.001036 0.0004292
(0.1709)
0.006090
(0.0755)
(0.06312)
-1.1368e-05
4.1694e06
2.1925e-O5
1.4436e-O5
8.1392e05
uur de cmimnca de !a r i l e n o . Elle a'mc p u dimatnent udtW d.ni L'ritimation.
Le tableau 3.2 prbsente les rêsuitats de quelques tests statistiques sur les donnees
trimestrielles. La stationnarit6 des donnees ne fait aucun doute il l'exception du rendement sur l a bons du trésor où le résultat est plus ambigu. Dans ce cas, le test
3. b mêthode qu'emploie Campbell (1996) pour estimer la croissance future du revenu de travaii
sembiabie A deci, mais indue bgalement d'autres variables, parmi lesquelles un rendement
boursier.
eat
CHAPITRE 3. CADRE EMPIRIQUE
TABLEAU
3.2: Tests statistiques
Ac
r
Acr
Augmenteci Dickey-Mer -4.03 (2) -4.30(4) -4.45 (4)
-13.57
-10.99
-13.35
Philiips-Perron
0.56
1.78
1.88
JarqueBera
0.1691
0.9932 0.5624
Kolmogorov-Smhov
,0774
0.1182
0.1402
ARCH(1)
0.2701
0.3476
.NO8
AFLCH(2)
Test
rl
-9.52 (0) -1.91* (3)
-9.43
-5.36
rJ
13.0P
1.84
0.1 180
0.8229
0.1502
0.0174*
0.0204"
0.0393*
Seuil 5%
-2.88
-2.88
5.99
(pdue)
nt&
utilh(i dasu Ir DLduy Rillrr miaimire Ir c t i t i n A I C at ut indiqub entre pumthdsu. L'utirirqur danate un
c4#ulut iigui8catif au ieuil 5%.
'Le nombre de
de Dickey-Fuller ne rejette pas la présence d'une racine unitaire, d o n que le test
de Phillips-Perron la rejette. Comme ce dernier test est plus robuste en presence de
correlation skielle, les r h l t a t s penchent en faveur de la stationnarité.
Comme l'analyse repose sur l'hypothese de lognomalité des rendements bruts
et de nomalite des rendements net, celle-ci a été testée avec les tests Jarque-Bera
et Kolmogorov-Smirnov. Seul le rendement sur le TSE 300 semble s'écarter de la
distribution normale selon le test Jarque-Bera. Le test Kolmogorov-Smirnov conclue
au contraire que toutes les variables sont normales.
Enfin, la présence d'h&érosc6dasticite est verifiee en testant l'existence d'effets
ARCH dans les rendements. Le taux de croissance de la consommation et le rendement
sur la richesse ne presentent aucun signe dlhét&oscédasticité. Par contre, la volatilité
des rendements du TSE 300 et des bons du tresor semble variable dans le temps. Nous
nous limiterons toutefois au cas homoscédastique, beaucoup plus simple à, estimer.
'
Chapitre 4
Analyse empirique l
4.1 Les anomalies
Nous nous servons d'abord du modéle standard prksentb A la section (1.3) pour vhrifier
l'existence des anomalies au Canada.
4.1.1
Deux rendements : indice boursier et bons du trésor
Dans un premier temps, nous consid4ons le rendement boursier et le rendement sur
les bons du trésor, le variables les plus couramment utiliskes dans la litterature pour
évaluer les anomalies.
Les moments empiriques sont d'abord introduits dans les formules (1.11) et (1.12)
pour obtenir une premiére évaluation de 7 et ,8, le coefficient d'aversion au risque et
le facteur d'escompte subjectif.
Les paramètres sont 6galement estimes par m h u m de vraisemblance. Dans ce
cadre, la croissance de la consommation est exogène. Nous considérons les cas où
celle-ci est conetante, autor4greseive d'ordre un et deux. Les résultats sont présentés
1. Les &adfats &aillés des estimations sont présentés B l'annexe D.
24
CHAPITRE 4. ANALYSE EMPWQZlE
dans le tableau 4.1.
TABLEAU
4.1: Detu rendements: indice boursier et bons du trésor
+Y
p
Vraisemblance
72.3539
Et [Aqcl] constant
72.7775
1.2413
1.2433
(60.3946)
(0.1048)
71.3003
1.2376
(61.3510)
(0.1057)
72.5366
(37.9646)
1.2383
-
992-3602
987.8712
982,6969
(0.0976)
Nous remarquons d'abord que les quatre résultats sont presque identiques pour les
paramètres +Y et 8. L'écart-type du paramétre 7 est par contre trés elevé 2. Les modeles
autoregressifs ne semblent pas apporter d'informations supplbmentaires, puisque les
paramétres sont non significatifs3. Le taux de croissance de la consommation est peu
prhvisible par ses valeurs passées.
Les resultats indiquent que le coefficient d'aversion au risque est d'environ 72 et le
facteur d'escompte subjectif significativement supérieur un pour la periode étudike.
Il apparaît donc que les anomalies du CAPM-C sont bien présentes au Canada. D'un
point de vue qualitatif, les r h l t a t s sont identiques aux observations faites sur le march4 am4ricain. Les consommateurs doivent &tretrés averses au risque pour expliquer
le niveau des rendements excédentaires canadiens et ils doivent préférer retarder leur
consommation pour expliquer le faible rendement offert sur les actifs sans risque.
4.1.2
Deux rendements : richesse agrdghe et bons du trésor
Comme la richesse Bnanciére ne représente qu'une faible fiaction de la richesse agrbgée
detenue par la population, il apparaît plus pertinent de mesurer les anomalies avec le
rendement sur la richesse totale. Les résultats sont présentés dans le tableau 4.2.
2. Jorion et Giovrrnnini (1993) rencontrent le même probléme de précision avec leurs estimés.
3. La vraisemblance des xnodé1es autor@esifkest infërieure puisqu'une ou deux observations
sont perdues dans I'estimation.
CHAPITRE 4. ANALYSE EMPIRIQUE
TABLEAU
4.2: Deuz rendements: richesse agrégée et bons du trésor
Méthode
Formules (1.11)et (1.12)
Et [AQ+~]CORS^^^
7'
P
Vraisemblance
907.4341
914.2800
3.4508e-09
3.O22h-O9
1099.7516
(-1
-
(-1
Nous avons rencontré des difficultés à estimer ces modéles. Neely, Roy, et Whiteman (1998) discutent des problémes d'identification qui expliquent sans doute ces
difficultb. La matrice hessienne estimée au maximum atteint n'est pas singulière,
mais elle n'est pas définie n6gative4.
Le coefficient d'aversion au risque est tres blev6, clairement excessif. D'autre part,
le paramètre @ est très faible, prés de zero. Ces rksultats ne sont pas réalistes. Ils ne
peuvent pas tkmoigner du comportement des consommateurs. Par exemple, un 0 de
zéro indique que l'utilité ne depend que de la consommation courante. Le consommateur ne se soucie pas du tout du futur. Il est d o n optimal pour lui de consommer
immediatement la totalitb de sa richesse. Cette valeur de p dépend d'un effet de second degr6 sur le paramètre 7.En effet, pour des valeurs elevées de ?, p chute de
façon importante.
Un niveau d'aversion au risque aussi élevé s'explique par le fait que le rendement
sur la richesse totale est relativement elev6 aiors que la covariance entre celui-ci et le
t a u de croissance de la consommation est trés faible (Voir tableau 3.1). Par rapport
A l'indice boursier, la quantité de risque est plus faible alors que la compensation
mesurée par le rendement excédentaire est beaucoup plus Blevée. Il est alors necessaire
que les gens soient excessivement averses au risque pour que le modéle fonctionne.
L'emploi d'un rendement plus représentatif et les résultats obtenus à l'aide de
celui-ci nous montrent l'ampleur des problémes du modèle standard B expliquer les
4. Greene (1997) (p.139) explique que dm erreun clam les demidécimaies utiliseea dans
Palgorithme pourraient causer ce pmbldme, même ~ h mnrimum est atteint.
CHAPITRE 4. ANALYSE EMPIRIQUE
27
faits empiriques en se limitant & des hypotheses raisonnables sur le comportement des
individus.
4.1.3 Trois rendements
Lorsque les trois rendements sont utilisés simultanément, il devient impossible de
faire appel aux formules (1.11) et (1.12). Nous pr6sentons les résultats obtenus par
maximum de vraisemblance dans le tableau 4.3.
TABLEAU
4.3: Tbois rendements
1 Méthode
I
*Y
B
Vraisemblance 1
Les resultats qui se degagent sont semblables aux precedents. Le coefficient d'aversion au risque demeure excessif et le facteur d'escompte subjectif beaucoup trop faible.
D'autre part, l'ajout d'un troisieme rendement ne permet pas de comger les probkmes
d'identification.
Le simple fait de considbrer une mesure plus compl&tedu rendement du marchb en
plus des variables gén6ralement utilisées ne permet pas de comger les anomalies du
CAPM-C standard. Au contraire, les r6sultats penchent davantage vers la conclusion
que le modèle est mal spécifib. Pour arriver & de meilleurs résultats, le modèle doit
être modifih.
CHAPITRE 4. ANALYSE EMPIRIQUE
4.2
4.2.1
Utilité separable
Consommation optimale linéaire
Nous procédons maintenant A l'estimation du modéle avec consommation optimale
linéaire dhveloppé dans la section 2.1.1. Dans un premier temps, les figures 4.1 et
C.3 en annexe nous permettent de constater que l'hypothèse (2.6) selon laquelle la
propension à consommer la richesse est constante paraît tout à fait réaliste.
FIGURE4.1: Propension moyenne h consommer la richesse
TABLEAU
4.4:
Consommation optimale lin&ire
I
B
r
c
Vraisemblance I
Les résultats de l'estimation présentés dans le tableau 4.4 temoignent d'une nette
amélioration par rapport au modéle standard. Le coefficient d'aversion au risque a
diminu6 et son écart-type est nettement iderieur. Sa valeur est plus vraisemblable,
quoiqu'elle demeure relativement êievée.
CHAPITRE 4. ANALYSE EMPIRIQUE
29
Le facteur d'escompte subjectif se trouve à I'intérieur des bornes théoriques (entre
zero et un). Il demeure toutefois beaucoup trop faible. En effet, sur une base annuelle,
le facteur d'escompte subjectif serait d'environ 0.33. Les dconornistes s'entendent
generalement pour due que le facteur d'escompte subjectif se situe entre 0.90 et 1 par
année (> 0.97 sur une base trimestrielle).
L'explication suivante peut étre avancée pour expliquer la chute du coefficient
d'aversion au risque. Dans le modele standard, la quantité de risque d'un titre est
mesurée par la covariance entre son rendement et le taux de croissance de la consommation. Dans le modéle avec consommation optimale linéaire, cette quantité est plutdt
mesurée par la covariance du rendement du titre avec le rendement sur la richesse.
Comme le taux de croissance de la consommation est peu volatile, ad est relativement
faible et un coefficient d'aversion au risque tres &levéest nécessaire dans le modele
standard pour expliquer les primes de risque. La richesse est en contrepartie beaucoup
plus volatile et covarie davantage avec les titres individuels. Un niveau d'aversion au
risque plus raiso~ableest dors s&sant pour expliquer les rendements excédentaires.
Par ailleurs, il est intéressant de constater que la propension à consommer estimtie
par le modèle reproduit avec ptbcision le niveau moyen observé empiriquement. Par
ailleurs, en introduisant la valeur des param&tresdans les équations (2.7) à (2.10),
nous pouvons observer l'bcart entre les estimes construits à partir du maximum de
vraisemblance et les moments empiriques. Cet écart est encore plus faible dans la
matrice de covariance.
1
Variable
1
Estimé
Moyenne empirique Biais (en %)
1
Le modèle avec consommation optimale linbaire que nous avons avance confirme
que la richesse totale ne doit pas titre nhgligde. En exploitant de f a ~ o nexplicite la
contrainte budgetaire du CAPM de consommation, nous imposons davantage d'information au modde économétrique. Cette restriction théorique suppl6mentaire apparaît
CHAPITRE 4. ANALYSE EMPIRIQUE
30
tout A fait pertinente dans la valorisation des actifk financiers à la lumiére des résultats
obtenus.
4.2.2
Consommation optimale non lineaire
Nous reprenons l'estimation sans imposer la linbaritb entre la consommation et la
richesse.
TABLEAU
4.5: Consommotion optimale non linéaire
7
P
00
O1
Vraisemblance
24.2674
0.7415
0.003390
1.1736
(5.9061)
(0.0579)
(0,008198)
(O+1934)
1248.3841
Les estimes des param4tres 7 et p sont semblables au cas linkaire. Le paramètre
Bi est supbrieur B un, contredisant ainsi 19hypoth4sede concavité. Le parametre n'est
toutefois pas significativement dinérent de un.
Un test du ratio de vraisemblance est effectue pour vbrifier si le modéle avec
consommation non linéaire performe mieux que le modéle avec consommation Linéaire. La statistique du test pour verser l'hypothese nulle Ho: Bi = 1 est 2(LHiLHo) X;). La valeur critique au seuil 5% est de 3.84. La statistique du test est :
N
Le test du ratio de vraisemblance ne permet pas de rejeter le modéle avec consommation optimale Maire. Le modele linkaire (2.7) - (2.10) semble étre préférable au
modele avec consommation non linéaire (2.13) - (2.16).
CHAPITRE: 4. ANALYSE EMPIRIQUE
4.3
31
Utilité non espérée et consommation optimale
linéaire
Le modéle avec utilité non espérée present6 dans la section 2.2 n'est pas estimable directement. Les paramètres @ et ,û sont non identifiables. L'étude des kquations (2.21)
- (2.24) permet de voir que le paramétre c peut étre identifié en soustrayant (2.22)
B (2.21). Le paramtitre 7 et les seconds moments conditionnels sont aussi complétement identifiés avec la formule des rendements excédentaires. il reste alors deux
parametres B identifier à partir d'une constante. Il n'existe pas de manipulation permettant d'identifier p et séparément.
C'est seulement en h a n t l'un de ces deux paramtitres que le modéle sera parfaitement identifie. Nous avons choisi de fixer le facteur d'escompte subjectif, puisque
nous avons une bonne id& des valeurs plausibles qu'il peut prendre. Tous les autres
paramétres sont alors estimés. Nous presentons dans le tableau 4.6 les résultats de
l'estimation obtenus avec des B 4gaux à .9600,.9740 et ,9975.
TABLEAU
4.6: Utilztd non espérée
1 0 1
Y
11
c
Vraisemblance 1
Il est B noter que les rêsuitats sont trds stables pour toutes les valeun de départ utilisb. Pour l'elasticitb de substitution inter-temporelle, les valeurs de depart
utilisées couvrent l'intervalle de 0.10 A 0.60, correspondant aux valeurs estimées par
Epstein et Zin (1991), Jorion et Giovannini (1993) et Normandin et St-Amour (1998).
Quelque soit le facteur d'escompte subjectif choisi, l'aversion au risque et la propension B consommer restent inchmgha par rapport A l'utilité separable. La vraissemblance est égaiement la meme.
CHAPITRE 4. ANALYSE EMPIRIQUE
32
L'Blasticité de substitution intertemporelle est le seul paramètre qui vaxie beaucoup. Lorsque le facteur d'escompte subjectif est f% à 0.9925 (soit un taux d'actualisation de 3% annuellement), I'élasticit8 de substitution intertemporelle est nbgative,
ce qui contredit la théorie. Avec ,û = 0.9740 (un taux d'actualisation de IO%),
est
supérieur à un. Enfin,avec ,û = 0.96, S, prend une valeur trés raisonnable, semblable
à celle trouvee par les autres auteurs. Dans ces deux derniers cas, l'élasticité de sub
stitution inter-temporelle est relativement élevée, lorsqu'elle est comparée à l'inverse
du coefficient d'aversion au risque (0.03). C'est pourquoi l'utilith non espéree permet
d'obtenir un facteur d'escompte subjectif plus raisonnable que l'utilitk séparable.
Le mod&leavec utilité non es@e ne performe pas mieux sur le plan statistique
que le modéle avec utilite separable (la vraisemblance est identique). De plus, l'identification n'est pas possible sans fixer le paramètre ,û ou $. Les paramètres decnvant
les preférences des individus apparaissent cependant beaucoup plus rkalistes.
Conclusion
Les économistes reconnaissent le rdle capital que devrait jouer la richesse dans la
valorisation des actifs. Cette variable demeure toutefois peu exploitée en pratique car
elle est difficilement mesurée. Bien que les chercheurs soient sensibles B la critique de
Roll (1977),relativement peu d'efforts ont 4té d6volus au développement de mesures
plus adéquates du rendement du portefeuille de marché. Les derniers travaux de
recherche de Macklern (1994, 1997) viennent combler cette lacune pour le Canada. Sa
mesure inclut B la fois les richesses physique, financiere et humaine de la population
canadienne.
Dans un premier temps, nous observons les effets de la nouvelle mesure de richesse
sur le modéle standard de CAPM de consommation. La variable jette une lumiére
nouvelle aux anomalies du modde standard. Le coefficient d'aversion au risque atteint
des niveaux compbtement irréalistes. Le facteur d'escompte subjectif tombe 8 une
valeur presque nulle en raison d'un effet de second degré. Les problémes déjii connus
du CAPM-Cstandard semblent donc grandement sous-estimb lorsque le rendement
sur la richesse est nbglige.
Nous sugg4rona alors d'utiliser explicitement la contrainte budgetaire dans l'estimation du rnodde a h de considérer le caractére spécifique de la richesse. Une relation
linéaire lie alors la consommation B la richesse, de sorte que les agents consomment
une part constante de leur richesse B chaque période.
Nous observons une amélioration appréciable de la performance empirique à la
suite de cette modikation. Dans le modèle avec consommation optimale linéaire, le
coenicient d'aversion au risque diminue et le facteur d'escompte subjectif se situe
entre z k o et un, ses bornes théoriques. Ce dernier demeure toutefois tr& faible.
Le succes relatif de notre modéle dbcoule de la nouvelle définition du risque qui y
est introduite. A l'optimum, le risque est mesur6 par la covariance du rendement d'un
actif avec le rendement sur la richesse plutdt qu'avec la croissance de la consommation.
Puisque le rendement sur la richesse est beaucoup plus volatile, cette covariance est
plus grande et les rendements excédentaires sont compatibles avec un niveau beaucoup
moins élevé d'aversion au risque.
Le rnodéle est par la suite génkralisé dans deux directions. Une variante est proposée pour tenir compte d'une proposition de Zeldes (1989a) B l'effet que la fonction
de consommation est concave plut& que linéaire. Bien que les résultats soient semblables au cas prkcédent, aucun signe de non-linéarité n'est détecté. Il n'apparaît pas
pertinent de pousser plus loin l'analyse dans cette direction.
Notre démuche est finalement reprise avec l'utilité non espérée d'Epstein et Zin
(1989, 1991). Cette forme plus flexible de préférences presente de serieux problémes
d'identification, il est nbcessaire de fixer un paramétre pour l'estimer. Le modele
ne permet pas de réduire davantage le niveau d'aversion au risque. Il est cependant
compatible avec des valeurs beaucoup plus plausibles du facteur d'escompte subjectif.
De plus, nous arrivons ii reproduire une elasticité de substitution comparable à celle
estimée par d'autres auteurs.
Nous pouvons conclure que les trois modéles avec restrictions theoriques sur la
consommation offrent des rbsultats nettement superieurs au moddle standard en terme
de r6alisme des paramétres dbcrivant les prbférences des individus. Entre les trois, le
modde avec utilitb separable et consommation optimale linéaire semble préférable.
Le second modéle n'apporte pas davantage d'information alors que les problémes
d'identification nous rendent prudent face au troisiéme.
Dans des travaux futurs, il serait très interessant de reprendre cette analyse avec
des données am&icaines pour vérifier si les conclusions que nous tirons pour le Canada
se g6n4ralisent aux autres much&.
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Annexe A
Utilité séparable
A . l Propension à consommer constante
Nous proposons la solution candidate suivante :
Ct = CA,
Avec l'6quation d'Euler (2.3) et la contrainte budgétaire (2.1) , nous obtenons :
(A. 1)
Comme le rendement brut sur la richesse est lognormal, la propriété (1.9)peut être
utilisée :
(A.6)
En utilisant I'optateur log de chaque coté :
Avec l'approximation de Hicks :
Puisque le rendement espM de la richesse est constant, la propension à consommer
c l'est hgalement.
A.2 Log-linéarisation des conditions d'Euler
A.2.1
Consommation optimale linbaire
L'expression du rendement esperé de la richesse peut facilement étre déduite de l'equation (A.8) :
ANNEXE A. UTIZIT$S~PARABLE
41
La contrainte budgétaire (2.1) et la fonction de consommation (A.1) permettent de
tirer le taux de croissance espéré de la consommation :
(A. 10)
(A. 11)
(A.12)
L'équation (A.11) montre que la distribution conditionnelle de la croissance de la
consommation est identique il celle du rendement sur la richesse. De plus, le rendement
sur la richesse est normal lorsque les rendements des actifs qui le composent sont
normaux.
Le rendement espéré de l'actif j est dérive A partir de l'équation d'Euler (2.4) en
utilisant la propriété (1.9) :
Annexe B
Utilité non espérée et consommation
optimale linéaire
B. 1 Propension à consommer constante
Avec l'utilitk non espérbe, la relation 2.6 reste valide. La solution explicite pour la
propension B consommer peut être d&ivee en utilisant la contrainte budgetaire (2.1)
et la solution candidate (A.1) dans l'équation d'Euler de la richesse :
= [D (1
CI-$] 4 E,[(i +
ANNEXE B. U T I L I T ~NON ESPERÉE
45
Comme le rendement espéré de ia richesse est constant, la propension à consommer c
l'est également. Lorsque 7 > 1, une élasticité de substitution inter-temporelle élevée
est compatible avec une faible propension marginale ti consommer. En effet, si 11
est Blevb, la agents acceptent plus facilement un profil de consommation croissant et
peuvent Bpargner davantage. Enfin,lorsque 7 > 1 et < 1, la volatilité du rendement
sur la richesse tend & diminuer la propension B consommer, en raison de l'épargne de
précaution.
B.2 Log-linéarisation des conditions d'Euler
Le rendement espéré de la richesse est facilement déduite de (8.5) :
Le taux de croissance de la consommation espW decoule des équations (A.10)(A.12) :
Le rendement espM de l'actif j est dérive:
AMVEXE B.
UTILITE NON ESPGRÊE
Pour le rendement espbré de l'actif sans risque, les termes de variance disparaissent :
(B.13)
Annexe C
Graphiques
FIGUREC.1: Cowornmation per capzta
ANNEXE C. GRAPHIQUES
FIGURE
C.2: Richesse per capita
3.a3.4
-
323
-
eu26
-
24
22-
FIGUREC.3: Propension moyenne à consommer la richesse
ANNEXE C. GRAPHIQUES
FIGUREC.4: Taux de croissance de la consommation
mr
1
I
B
I
6
F
FIGUREC.5: Rendement sur la richesse
r
1
ANNEXE C. GRAPHIQUES
FIGUREC.6: Rendement sur l'indice du TSESOO
1
I
T
r
I
1
FIGUREC.7: Rendement sur les b o w du trésor
Annexe D
Estimation
ANNEXE D. ESTIMATION
TABLEAU
D.1: Deux rendements: indzce boursier et bons du trésor
-Estimé
Écart-type
1.24331 18
O.10480746
?
72.777486
60.394632
Y
0,0051941668 0.00067913983
Et [AG,,]
-0.0076347190 0.00050137888
QU,1)
-0.019954749 0.0072510199
QU,2)
0.0014770674 0.00079806838
Q U 9
3)
O.OO47532751
0.075119374
Q(29
2)
0.00097918084 O.OOO79O4ll?3
Q P 9
3)
-0.0088090902
0.00055836771
Q(39 3)
992,3602
vraisemblance
Q rrt ta dkompo8itioa da Cholaky de
t4
matrice de cowi.aee.
W 2 )
Paramétre Estimé
P
7
00
ai
a2
Q(41)
Q(i9
2)
QU,3)
Q(29 2)
Q(29 3)
Q(39 3)
vrais.
hart-me
Estimé
1.2383379
72.536591
0.0052145757
-0.0041810938
-0.0040415474
0.0076869880
I2cast-type
0.097562741
57.964596
0.00069449777
0.0035981663
0.0034901716
0.00051220035
0.020222511
0.0073937336
-0.00091496716 0.00076922528
0.075588620
0.0048249455
O.OOO8OO536ll 0.00074797343
0.0082599556 0.00052797292
982.6969
ANNEXE D. ESTIMATION
TABLEAU
D.2: Deux rendements: richesse agrégée et bons du trémr
I Paramétre
Estimé
1 vraisemblance
AW)
&art- type
Paramétre Estimé
2.1 194129e-O9 3.5347099e-13
P
918.08897
7'
0.0051617758 0.00018457212
a0
0.0076561478 a1
N/.4
N/A
a2
QU,1) 0.0041425193 0.00040604194
-0.0014006105 0.00076620930
Q(f2)
0.031724166
0.0020095900
QU,3)
0.00079585015 0.00071454624
Q(292)
0.0085270815
0.00020004597
Q(2,3)
-0.00033650800 0.00010793939
Q(39 3)
1094.9908
vrais.
Ecart-me
ANNEXE D. ESTIMATION
TABLEAU
D.3: %is rendements
AR(1)
Paramétre Estimé
Écart-type
3.0257287e-O7 9.5289233e-11
808.82919
0.0051650369 0.00021037610
0.0076576323 NIA
NIA
0.0046848235 0.00045968036
0.0022011162 0.0011063491
-0.0015942070 0.00078426619
0.031726425
0.0020097457
O .O069472874
0.010380865
0.00079288890 0.00071509990
0.076943204
0.0048856881
0.00088538445 0.00078331444
0.0084836928 0.00020726063
-0.00038203126 0.00012251818
1237.8543
ANNEXE D. ESTIMATION
TABLEAU
D.4: Consommation optimale linkaire
Paramétre
Estimé
Ecart-tvoe
P
Y
C
Q U 9
1)
2)
Q(l9 3)
Q(l94)
Q(29 2)
Q(29 3)
Q(294)
Q(393)
Q(394)
Q(494)
vraisemblance
Q U 9
TABLEAU
D.5: Consommation optimale non linéaire
Paramétre
Estimé
Ecart-type
B
0.74145299
0.057868350
24.267366
5.9060893
7'
0.0033902095
0.0081983377
90
1.1736126
0.19342434
61
-0.0076390653 0.00048284620
Q(l?
1)
-0.0043230467 0.0028338726
Q(L 2)
-0.020009529
0.0067973231
Q(L 3)
0.0013329666
0.00080899291
Q(L 4)
0.031878679
0.0020152257
Q(2,2)
0.010218546
0.0051268576
Q(293)
0.00097228468 0.00079454952
QG4 4)
-0.074352232
0.0046993343
Q(393)
-0.00082063653
0.00078162279
Q(394)
0.0087038214
0.00055163910
Q(49 4)
1248.3841
vraisemblance
TABLEAU
D.6: Utilité non espérée (P = 0.9600)
Paramétre
1 Estime
Ecart-tvoe
0.0087772772 0,00055512801
Q(49 4)
vraisemblance
1247.8552
TABLEAU
D.7: Utilite non eapdrée ( ,= 0.9740)
Paramétre
Estimé
Ecart-type
28.657541
4.5803820
1.5661413
0.65079833
@
C
0.029163935
0.0028170296
-0.0076331589 0.00048242650
Q(L 1)
-0.0041627272
0.0028197989
Q(k 2)
-0.019877266
0.0067975116
Q(1I 3)
0.0014789002 0.00079789124
Q(l14)
-0.031784467
0.0020097569
Q(2,2)
-0.010233988
0.0051210354
Q(293)
-0.00087460302 0.00078949059
4)
0.074371497
0.0047006844
Q(3*3)
0.00086230258 0.00078722938
Q(314)
0.0087772772 0.00055514396
Q(4*4)
vraisemblance
1247.8552
Y'
QP*
ANNEXE D. ESTWTION
TABLEAU
D.8: Utditg non espérée (/3 = 0.9925)
Estimé
Ecart-type
Paramétre
28.657541
4.5566468
-0.68873517 0.070045697
0.029163935 0,0027731872
0.0076331589 0.00048245875
0.0041627271 0.0028209324
0.019877266 0.0068044080
-0.0014789002 0.00079788230
0.031784467 0.0020097900
0.010233989 0.0051312926
0.00087460298 0.00078954742
0.074371497 0.0047007051
0.00086230257 0.00078722908
0.0087772772 0.00055513863
1247.8552