variables aleatoires

variables aléatoires
Table des matières
1 généralités sur les variables aléatoires 2
1.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 corrigés activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 corrigé activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 corrigé activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 a retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 répétition d’expériences identiques et indépendantes 11
2.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.3 activité 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 corrigés activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 corrigé activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2 corrigé activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.3 corrigé activité 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 devoirs maison 20
3.1 devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 corrigé devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 corrigé devoir maison 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 tp 25
4.1 tp1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2 corrigé tp1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3 tp2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.4 corrigé tp2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 évaluations 34
5.1 évaluation 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2 corrigé évaluation 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6 exercices bac et autres 44
1

1 généralités sur les variables aléatoires
1.1 activités
1.1.1 activité 1
activité : (notion de variable aléatoire)
un jeu consiste à faire tourner une roue bien équilibrée
010
5
0
510
0
5
1
le prix à payer pour une partie est de 2 euros
le jeu rapporte le montant indiqué par la roue en euros
on pose : X= gain = rapport du jeu - prix de la partie
on dit que Xest une variable aléatoire
1. déterminer l’ensemble des valeurs possibles pour X
2. déterminer les probabilités associées respectivement aux valeurs possibles de X
(consigner les résultats dans un tableau)
3. déterminer p(X≤0) et p(X > 0)
4. déterminer E(X)l’espérance de Xdonnée par : E(X) = Xpixi
où les xisont les valeurs possibles pour Xet piles probabilités respectivement associées.
interpréter cette valeur.
5. déterminer la variance V(X)et l’écart type σ(X)de Xdonnés par :
V(X) = Xpix2
i−E(X)2et σ(X) = pV(X)
6. le jeu est à gain positif si E(X)>0, qu’en est-il de ce jeu ? est-il plus favorable à l’orga-
nisateur ou au joueur ?
7. déterminer le prix de la partie pour que l’espérance soit nulle.
1.1.2 activité 2
activité : loi de probabilité
un jeu consiste à jeter deux dés bien équilibrés à quatre faces dont les faces sont numérotées
de 1 à 4.
A chaque résultat on associe la somme Xdes deux scores.
Celui qui devine la somme des deux score à l’avance gagne le nombre d’euros correspondant.
Ael choisit 4 pour total et Léa choisit 5.
Laquelle des deux a le plus de chances de gagner ?
(a) déterminer l’ensemble des valeurs possibles pour X
(b) déterminer les probabilités associées respectivement aux valeurs possibles de X
et consigner les résultats dans un tableau. (on pourra s’aider d’un arbre, ou d’un tableau
double entrée pour répertorier tous les cas possibles)
(c) répondre à la question ci dessus
(d) calculer l’espérance de X

1.2 corrigés activités
1.2.1 corrigé activité 1
corrigé activité : (notion de variable aléatoire)
un jeu consiste à faire tourner une roue bien équilibrée
010
5
0
510
0
5
1
le prix à payer pour une partie est de 2 euros
le jeu rapporte le montant indiqué par la roue en euro
on pose : X= gain = rapport du jeu - prix de la partie
on dit que Xest une variable aléatoire
posons :
R=rapport du jeu ,  C=coût du jeu et  X=R−C= gain du jeu
1. valeurs possible pour R:
10
5
1
0
valeurs possible pour X:
10 −2 = 8
5−2 = 3
1−2 = −1
0−2 = −2
soit : 
X∈ {−2 ; −1 ; 3 ; 8}
2. valeurs des probabilités associées aux valeurs de X:
p(X= 8) = p(R= 10) = 1
10 =nb cas f avorables cas total
p(X= 3) = p(R= 5) = 3
10
p(X=−1) = p(R= 1) = 2
10
p(X=−2) = p(R= 0) = 4
10
le tableau de la loi de probabilité de Xest :
valeurs possibles de X : xi-2 -1 3 8 total
probabilités : pi
4
10 = 0,42 10 = 0,23 10 = 0,31 10 = 0,11
3. p(X≤0) = p(X=−2) + p(X=−1) =  0,6
p(X > 0) = 1 −p(X≤0) = 
0,4
ou bien
p(X > 0) = 1 −p(X≤0) = 1 −0,6 = 0,4

4. E(X) = Xpixi
E(X) = 0,4×(−2) + 0,2×(−1) + 0,3×3 + 0,1×8 = 
0,7
ceci signifie qu’en moyenne le gain est de 0,7 euros par partie
5. V(X) = Xpix2
i−E(X)2
V(X) = 0,4×(−2)2+ 0,2×(−1)2+ 0,3×32+ 0,1×82−0,72=
10,41
σ(X) = pV(X)
σ(X) = √10,41 
≃3,22
6. 
le jeu est à gain positif car E(X) = 0,7>0, il est plus favorable au joueur car il gagne
en moyenne 0,7 euros.
7. soit yle prix de la partie pour que l’espérance soit nulle.
E(X) = 0 ⇐⇒ 0,4(0 −y) + 0,2(1 −y) + 0,3(5 −y) + 0,1(10 −y) = 0
⇐⇒ −0,4y+ 0,2−0,2y+ 1,5−0,3y+ 1 −0,1y= 0
⇐⇒ −y+ 2,7 = 0
⇐⇒ y= 2,7
le prix doit être de 2,7 euros pour avoir une espérance nulle

1.2.2 corrigé activité 2
corrigé activité : loi de probabilité
un jeu consiste à jeter deux dés bien équilibrés à quatre faces dont les faces sont numérotées
de 1 à 4.
A chaque résultat on associe la somme Xdes deux scores.
Celui qui devine la somme des deux score à l’avance gagne le nombre d’euros correspondant.
Ael choisit 4 pour total et Léa choisit 5.
Laquelle des deux a le plus de chances de gagner ?
(a) ensemble des valeurs possibles pour X:
comme on répète deux fois la même expérience aléatoire, on utilise un arbre de dénom-
brement pour visualiser les résultats possibles
11 : X= 2
2 : X= 3
3 : X= 4
4 : X= 5
21 : X= 3
2 : X= 4
3 : X= 5
4 : X= 6
31 : X= 4
2 : X= 5
3 : X= 6
4 : X= 7
41 : X= 5
2 : X= 6
3 : X= 7
4 : X= 8
on a donc  X∈ {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
(b) probabilités associées respectivement aux valeurs possibles de X
et résultats dans un tableau.
le tableau de la loi de probabilité de Xest :
valeurs possibles de X : xi2 3 4 5 6 7 8 total
probabilités : pi
1
16
2
16
3
16
4
16
3
16
2
7
1
16
16
16 = 1
(c) répondre à la question ci dessus :
probabilité que Ael gagne : P(X= 4) = 3
16 = 0,1875 = 18,75%
probabilité que Léa gagne : P(X= 5) = 4
16 = 0,25 = 25%
donc 
Léa a plus de chances de gagner que Ael (25% >18,75%)
(d) espérance de X:
E(X) = Xpixi
E(X) = 1
16 ×2 + 2 16 ×3 + 3 16 ×4 + 4 16 ×5 + 3 16 ×6 + 2 16 ×7 + 1 16 ×8 = 80 16 =
5
ceci signifie qu’en moyenne la somme des deux scores est de 5