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Lycée Chrestien de Troyes DS n°7 de mathématique MP1617
Devoir surveillé n°7 de mathématique
Jeudi 9 février (4 heures)
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des rai-
sonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En particulier, les
résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Vous êtes invité à encadrer les résultats de vos
calculs.
Si vous êtes amené à repérer ce qui peut vous sembler être une erreur d’énoncé, vous le signalerez sur
votre copie et devrez poursuivre votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous
avez été amené à prendre.
Exercice 1 −Étude d’une série entière [CCP-2011-MP-1]
On considère la série de fonctions X
n≥2
2xn
n2−1.
1. Déterminer le rayon de convergence R de cette série entière.
2. On note Sla fonction somme de la série X
n≥2
2xn
n2−1. Déterminer Ssur ]−R,R[.
3. Démontrer que S(x) admet une limite lorsque xtend vers 1 par valeurs strictement inférieures
et déterminer cette limite.
Exercice 2 −Étude d’une équation différentielle [E3A-2010-MP-B]
On s’intéresse à l’équation différentielle (E) suivante :
(E)y0−y= − 1
e
1
1+x
1. Soit Xanxnune série entière de rayon de convergence R≥1. On note Ssa somme.
(a) Rappeler le développement en série entière de la fonction :
¯
¯
¯
¯
¯
¯
u: ]−1 ;1[ →R
x7→ − 1
e
1
1+x
et préciser sur quel intervalle ce développement est valable.
(b) Donner une condition nécessaire et suffisante sur les coefficients anpour que la somme
(S) soit solution de (E) sur ]−1 ;1[.
(c) On suppose la condition précédente satisfaite. Démontrer qu’alors :
∀n∈N∗,an=a0
n!−1 e n!
n−1
X
k=0
(−1)kk!
(d) Démontrer que la suite (an)n∈Nest bornée et justifier la relation R≥1.
2. Démontrer que pour tout x> −1, la fonction :
¯
¯
¯
¯
¯
¯
F: [1 ;+∞[→R
t7→ e−t
x+t
est intégrable sur [1 ;+∞[.
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On définit une fonction f sur ]−1 ;+∞[en posant :
∀x> −1, f(x)=Z+∞
1
e−t
x+tdt
3. Démontrer que fadmet un développement en série entière en 0 de la forme :
∀x∈]−1 ;1[, f(x)=
+∞
X
n=0
bnxn
et expliciter les coefficients bnà l’aide des intégrales Z+∞
1
e−t
tpdt, pour p∈N∗.
4. Démontrer que fest dérivable sur ]−1 ;+∞[ et calculer f0(x)−f(x), pour tout x> −1.
5. En déduire une expression de
n
X
k=0
(−1)kk! à l’aide des intégrales Z+∞
1
e−t
tpdt.
Exercice 3?−Formule de Cauchy et théorème de Liouville
Soit Xanznune série entière de rayon de convergence +∞. On note fsa somme.
1. Montrer que pour tout r>0 :
anrn=1
2πZ2π
0f³reiθ´e−ni θdθ
Cette égalité est connue sous le nom de formule de Cauchy.
2. Supposons fbornée. Montrer que fest constante. Ce résultat est connu sous le nom de théo-
rème de Liouville.
3. Supposons qu’il existe un polynôme Pde degré d∈N∗tel que pour tout z∈C,¯
¯f(z)¯ ¯≤|P(z)|.
Montrer que fest un polynôme de degré inférieur ou égal à d.
Exercice 4 −Autour des polynômes de Legendre [E3A-2010-MP-B]
Soit n≥1 un entier. On note E:=Rn[X] l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à
n. Pour P,Q∈E, on pose :
ϕ(P,Q) :=Z1
−1P(t)Q(t) dtet f(P)=¡¡X2−1¢P0¢0
1. Démontrer que ϕest un produit scalaire sur E.
On considère dans la suite l’espace euclidien E associé au produit scalaire ϕ. La norme eucli-
dienne de P ∈E est notée kPk.
2. Démontrer que f:P→f(P) définit un endomorphisme de E.
3. Rappeler la définition d’un endomorphisme symétrique d’un espace euclidien.
4. Démontrer que fest un endomorphisme symétrique de E.
5. Déterminer Ker(f) et en déduire le rang de f.
6. On suppose, dans cette question seulement, que n=2 et on définit le polynôme P0=1+X.
(a) Déterminer le projeté orthogonal de P0sur Im(f).
(b) Déterminer m=inf
P∈R2[X]°
°P0−f(P)° °.
(c) Résoudre l’équation °
°P0−f(P)° °=md’inconnue P∈R2[X].
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7. On définit une suite de polynômes (Lk)k∈Nen posant L0=1 et :
∀k∈N∗,Lk=³¡X2−1¢k´(k)
Donc pour tout k∈N∗,Lkest la k-ième dérivée de ¡X2−1¢k.
(a) Calculer les polynômes L1,L2,L3.
(b) Déterminer le degré de Lk.
(c) À l’aide de la formule de Leibniz, exprimer les polynômes :
Ak=³(X2−1) ¡X2−1¢k´(k+2) et Bk=³X¡X2−1¢k´(k+1)
à l’aide des polynômes Lk,L0
ket L00 k.
(d) Démontrer que pour tout k∈N:
¡X2−1¢L00
k+2X L0 k−k(k+1)Lk=0
(e) À l’aide de la relation précédente, démontrer que Lkest un vecteur propre de f(on préci-
sera la valeur propre associée).
(f) Démontrer que (L0,L1,...,Ln)est une base orthogonale de E.
Exercice 5 −Décomposition de Cholesky [E3A-2013-PC-B]
Soit n∈N∗.
On note S++
n(R) l’ensemble des matrices symétriques réelles définies positives. Par définition :
A∈S++
n(R) si et seulement si A∈Sn(R) et SpecR(A)⊂R∗ +.
On note T++
n(R) l’ensemble des matrices réelles triangulaires supérieures dont les coefficients dia-
gonaux sont strictement positifs.
Rnsera identifié à Mn,1(R) ensemble des matrices réelles avec nlignes et 1 colonne.
Lorsque Rnest muni de sa structure euclidienne canonique, k·kdésigne la norme euclidienne asso-
ciée au produit scalaire canonique : kXk2=tX X .
Cet exercice a pour but d’étudier la décomposition de Cholesky d’une matrice symétrique réelle po-
sitive.
1. On considère, dans cette question 1 uniquement, la matrice S=
3 0 2
020
2 0 3
∈M3(R).
(a) Énoncer le théorème qui permet de justifier qu’il existe une matrice P∈O3(R) telle que
tP S P =D, où Dest une matrice diagonale.
(b) Déterminer Pet Dtelles que det(P)=1 et D=
α0 0
0β0
0 0 γ
où α<β<γpuis justifier que
S∈S++
3(R).
(c) Démontrer qu’il existe une unique matrice T∈T++
3(R) telle que S=tT T . On explicitera la
matrice T.
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2. Soit S∈Sn(R). Démontrer :
S∈S++
n(R)⇐⇒ ∀X∈Mn,1(R) \{0}, tX S X >0
3. (a) On considère S∈S++
n(R). Montrer que :
¯
¯
¯
¯
ϕS:Rn×Rn→R
(X,Y)7→ tX S Y
est un produit scalaire sur Rn.
(b) Démontrer que T++
n(R) est un sous-groupe de GLn(R).
4. Soit A∈Mn(R). On pose B=tA A.
(a) Montrer que B∈Sn(R).
(b) Montrer que si λ∈SpecR(B) et x∈Rnest un vecteur propre de Bassocié à la valeur propre
λ, alors :
kAxk2=λkxk2
En déduire que λ∈R+.
(c) En déduire que A∈GLn(R) si et seulement si B∈S++
n(R).
5. Le but de cette question est de démontrer le théorème suivant.
Théorème : Soit S ∈Sn(R). Alors S ∈S++
n(R)si et seulement si il existe une unique matrice T ∈
T++
n(R)telle que S =tT T . Cette décomposition, lorsqu’elle existe, s’appelle la décomposition de
Cholesky de S.
Soit S∈Sn(R).
(a) Montrer que s’il existe T∈T++
n(R) telle que S=tT T alors S∈S++ n(R).
(b) On suppose qu’il existe deux matrices T1,T2∈T++
n(R) telles que tT1T1=tT2T2.
i. Montrer que ∆=T1(T2)−1est une matrice diagonale à coefficients diagonaux stricte-
ment positifs. On pourra utiliser la question 3.(b).
ii. En déduire ∆2=In.
iii. En déduire T1=T2.
(c) On suppose S∈S++
n(R) et on considère ϕSle produit scalaire de Rndéfini à la question
3.(a).
Soit B0=(e1,...,en) la base canonique de Rnet B=(v1,...,vn) l’orthonormalisée de Schmidt
de B0pour le produit scalaire ϕS.
On note Tla matrice de passage de la base Bà la base B0.
i. Montrer T∈T++
n(R).
ii. Montrer S=tT T .
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