Corrigé du sujet de module «Trigonométrie

Corrigé du sujet de module «Trigonométrie»
QCM
•Réponses 3 et 4
•Réponse 4
•Réponses 2, 3 et 4
Exercice 1
a. Dans le triangle LOS rectangle en O,
cos LSO
!
( )
=SO
SL
cos 27
( )
=SO
5,5
cos 27
( )
1=SO 5,5
SO =5,5 !cos 27
( )
1
SO "4,9
!! La longueur SO vaut donc environ 4,9 cm.
b. Dans le triangle LOS rectangle en S,
tan LOS
!
( )
=SL
SO
tan 56
( )
=7
SO
tan 56
( )
1=7 SO
SO =7!1
tan 56
( )
SO "4, 7
!! La longueur SO vaut donc environ 4,7 cm.
c. Dans le triangle LOS rectangle en L,
sin LOS
!
( )
=SL
SO
sin 83
( )
=5
SO
sin 83
( )
1=5 SO
SO =5!1
sin 83
( )
SO "5
!! La longueur SO vaut donc environ 5 cm.
Exercice 2
a. Propriété: La somme des mesures des angles d’un triangle vaut 180°.
Donc
IUV
!+VIU !
+UVI
!=180
VIU
!
=180 !IUV
!!UVI !
VIU
!
=180 !58 !32
VIU
!
=90
!L’angle
VIU
!
mesure 90°, donc le triangle IUV est rectangle en I.
b. Dans le triangle IUV rectangle en I,
cos UVI
!
( )
=VI
VU
cos 32
( )
=2,3
VU
cos 32
( )
1=2,3 VU
VU =2, 3 !1
cos 32
( )
VU "3, 7
!! La longueur VU vaut donc environ 3,7 cm.
De plus,
tan UVI
!
( )
=UI
VI
tan 32
( )
=UI
2,3
tan 32
( )
1=UI 2,3
UI =tan 32
( )
!2, 3
1
UI "1,4
!! La longueur UI vaut environ 1,4 cm.
Exercice 3
2) Le triangle STU est inscrit dans le cercle de diamètre [ST].
Propriété: Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l’un de ses côtés est un diamètre de ce
cercle, alors ce triangle est rectangle.
Donc le triangle STU est rectangle en U.

3) Dans le triangle STU est rectangle en U,
sin STU
!
( )
=SU
ST
sin STU
!
( )
=3
7
STU
!
=sin!13
7
"
#
$%
&
'
STU
!
(25, 4
!! L’angle
STU
!
mesure environ 25,4°.
4) L’angle
STU
!
est un angle inscrit dans le cercle de diamètre [ST]. Il intercepte le petit arc
SU
!
.
L’angle
SOU
!
est un angle au centre du même cercle. Il intercepte aussi le petit arc
SU
!
.
Propriété: Si un angle inscrit dans un cercle et un angle au centre du même cercle interceptent le
même arc de cercle, alors la mesure de l’angle au centre est le double de la mesure de l’angle inscrit
dans le cercle.
Ainsi,
SOU
!
=2!STU
!
"2!25, 4
"50,8
L’angle
SOU
!
mesure donc environ 50,8°.
Exercice 4
2. Dans le triangle ABC rectangle en C,
tan BAC
!
( )
=BC
AC
tan 40
( )
=BC
5
tan 40
( )
1=BC 5
BC =5!tan 40
( )
1
BC "4, 2
!! La longueur BC vaut donc environ 4,2 cm.
3. a. Le triangle ABC est rectangle en C.
Propriété: Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse.
Donc le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC est le milieu de [AB].
4. L’angle
BAC
!
est un angle inscrit dans le cercle de diamètre [AB]. Il intercepte le petit arc
BC
!
.
L’angle
BOC
!
est un angle au centre du même cercle. Il intercepte aussi le petit arc
BC
!
.
Propriété: Si un angle inscrit dans un cercle et un angle au centre du même cercle interceptent le
même arc de cercle, alors la mesure de l’angle au centre est le double de la mesure de l’angle inscrit
dans le cercle.
Ainsi,
BOC
!
=2!BAC
!
=2!40
=80
L’angle
BOC
!
mesure donc 80°.
Exercice 5
a) On appelle A le sommet de l’angle de 40°, P le pied du poteau et S le sommet du poteau.
Dans le triangle APS rectangle en P,
sin SAP
!
( )
=PS
AS
sin 40
( )
=PS
20
sin 40
( )
1=PS 20
PS =20 !sin 40
( )
1
PS "12,8
!! La hauteur du poteau est environ 12,8 m.
b) Pour représenter cette situation, l’échelle étant 1/200 , toutes les longueurs «réelles» sont
divisées par 200. Par exemple, calculons la longueur du segment représentant le câble:
20 ÷200 =0,1
or 0,1 m = 10 cm.
Le câble sera représenté par un segment de 10 cm.
On procède de même pour trouver la longueur du segment représentant le poteau.
12,8 ÷200 !0,064
or 0,064 m = 6,4 cm.
Le poteau sera représenté par un segment de 6,4 cm.
Enfin, pour la construction, il faut trouver la mesure de l’angle
ASP
!
.
Pour cela, on utilise:
Propriété: La somme des mesures des angles d’un triangle vaut 180°.
Donc
ASP
!
=180 !40 !90
=50
L’angle
ASP
!
mesure donc 50°.
Programme de construction:
tracer [PS] (le poteau) ;
construire la perpendiculaire à [PS] passant par P (le sol) ;
construire l’angle
PSA
!
de 50°, où le point A est l’intersection du côté tracé avec la droite (AP).

Exercice 6
1. Dans le triangle CSH rectangle en H,
sin CSH
!
( )
=CH
SC
sin 80
( )
=CH
50
sin 80
( )
1=CH 50
PS =50 !sin 80
( )
1
PS "49
!! Le cerf-volant vole à une hauteur d’environ 49 m.
2. Si la ficelle fait avec l’horizontale un angle de 40°, alors
CSH
!
=40°
.
Dans le triangle CSH rectangle en H,
sin CSH
!
( )
=CH
SC
sin 40
( )
=CH
50
sin 40
( )
1=CH 50
PS =40 !sin 40
( )
1
PS "26
La distance CH trouvée ne correspond donc pas à la moitié de celle calculée au 1.
Exercice 7
a. Propriété: La somme des mesures des angles d’un triangle vaut 180°.
Dans le triangle AHC,
ACH
!
+CHA
!
+HAC
!
=180
ACH
!
=180 !CHA
!
!HAC
!
ACH
!
=180 !90 !HAC
!
ACH
!
=90 !HAC
!
b. Les angles
BAH
!
et
HAC
!
sont adjacents, donc
BAH
!
+HAC
!
=BAC
!
BAH
!
+HAC
!
=90
BAH
!
=90 !HAC
!
c. Comme
ACH
!
et
BAH
!
sont tous deux égaux à
90 !HAC
!
, alors les angles
ACH
!
et
BAH
!
sont
égaux.
d. Dans le triangle ACH rectangle en H,
tan ACH
!
( )
=AH
CH
tan ACH
!
( )
=4,8
6,4
tan ACH
!
( )
=3!1, 6
4!1, 6
tan ACH
!
( )
=3
4
e. Dans le triangle BAH rectangle en H,
tan BAH
!
( )
=BH
AH
tan BAH
!
( )
=BH
4, 8
f. D’après la question c. , les angles
ACH
!
et
BAH
!
sont égaux. Donc
tan ACH
!
( )
=tan BAH
!
( )
.
D’après la question d.,
tan ACH
!
( )
=3
4
.
Donc,
tan BAH
!
( )
=3
4
.
D’après la question e. ,
tan BAH
!
( )
=BH
4, 8
.
Donc
3
4
=BH
4, 8
, d’où
BH =3!4, 8
4
=3,6
.
La longueur BH vaut donc 3,6 cm.
g. D’après la question d. ,
tan ACH
!
( )
=3
4
, donc
ACH
!
=tan!13
4
"
#
$%
&
'(37
.
L’angle
ACH
!
mesure environ 37°.