Ensembles reconnaissables de polynômes sur un corps fini

ENSEMBLES RECONNAISSABLES
DE POLYNÔMES SUR UN CORPS FINI
Michel Rigo
Département de Mathématique, Université de Liège
http://www.discmath.ulg.ac.be/

COMMENÇONS AVEC LES ENTIERS...
NUMÉRATION EN BASE ENTIÈRE k≥2
n=
ℓ
X
i=0ciki,avec ci∈Σk={0,...,k−1},cℓ6=0
tout entier ncorrespond à un mot repk(n) = cℓ···c0sur Σk.
ensemble Xd’entiers ←→ ensemble repk(X)de mots, langage
QUESTION NATURELLE
Explorer les liens entre
•propriétés arithmétiques des nombres
et
•propriétés syntaxiques de leurs représentations

CONNEXION AVEC LA THÉORIE DES LANGAGES FORMELS
La hiérarchie de Chomsky :
◮Langages Récursivement énumérables (M. de Turing)
◮Langages “Context-sensitive” (M.T. bornées linéairement)
◮Langages algébriques (automates à pile)
◮Langages réguliers (ou rationnels) (automates finis)

MODÈLE DE CALCUL LE PLUS SIMPLE
AUTOMATE FINI DÉTERMINISTE
A= (Q,q0,Σ, δ, F)
◮Qensemble fini d’états, q0∈Qétat initial
◮δ:Q×Σ→Qfonction de transition
◮F⊆Qensemble d’états finals (ou accepteurs)
EXEMPLE (FIBONACCI)
1
01
0
1
0
0,1

EXEMPLE (BIOINFORMATIQUE, ADN : a,c,g,t)
a
a
a
a
c
g
g
g,c,t
c,t
g,c,t
c,t
a
gt a
g,c,t
agata
EXEMPLE INFORMATIQUE
Solution algorithmique pour le “model checking”
Vérification “automatique” de programmes, ...