Ensembles reconnaissables de polynômes sur un corps fini

E NSEMBLES RECONNAISSABLES
DE POLYNÔMES SUR UN CORPS FINI
Michel Rigo
Département de Mathématique, Université de Liège
http://www.discmath.ulg.ac.be/
C OMMENÇONS AVEC LES ENTIERS . . .
N UMÉRATION
n=
ℓ
X
EN BASE ENTIÈRE
ci k i ,
k ≥2
avec ci ∈ Σk = {0, . . . , k − 1}, cℓ 6= 0
i=0
tout entier n correspond à un mot repk (n) = cℓ · · · c0 sur Σk .
ensemble X d’entiers ←→ ensemble repk (X ) de mots, langage
Q UESTION
NATURELLE
Explorer les liens entre
• propriétés arithmétiques des nombres
et
• propriétés syntaxiques de leurs représentations
C ONNEXION
AVEC LA THÉORIE DES LANGAGES FORMELS
La hiérarchie de Chomsky :
◮
Langages Récursivement énumérables (M. de Turing)
◮
Langages “Context-sensitive” (M.T. bornées linéairement)
◮
Langages algébriques (automates à pile)
◮
Langages réguliers (ou rationnels) (automates finis)
M ODÈLE DE CALCUL
LE PLUS SIMPLE
AUTOMATE F INI D ÉTERMINISTE
A = (Q, q0 , Σ, δ, F )
◮
Q ensemble fini d’états, q0 ∈ Q état initial
◮
δ : Q × Σ → Q fonction de transition
◮
F ⊆ Q ensemble d’états finals (ou accepteurs)
E XEMPLE (F IBONACCI )
1
1
0
0
1
0,1
0
E XEMPLE (B IOINFORMATIQUE , ADN : a,c,g,t)
g,c,t
g,c,t
a
a
c,t
g
g
t
a
a
a
g,c,t
g
c
agata
a
c,t
E XEMPLE I NFORMATIQUE
Solution algorithmique pour le “model checking”
Vérification “automatique” de programmes, . . .
R ETOUR AUX ENSEMBLES D ’ ENTIERS
Q UE
RECHERCHE - T- ON
?
Les ensembles X d’entiers “les plus simples” sont tels que
repk (X ) est régulier,
i.e., les représentations en base k sont acceptées par un
automate fini.
De tels ensembles sont dits k-reconnaissables.
C RITÈRE
DE DIVISIBILITÉ EN BASE
k
Soient k ≥ 2 et 0 ≤ r < s. L’ensemble
X = {n | n ≡ r
(mod s)}
a
est k-reconnaissable. t −→ t.k + a (mod s)
E XEMPLE
0,3,6,9
1,4,7
0
2,5,8
2,5,8
1,2,3,4,6,7,8,9
0,5
1,4,7
0,5
1,2,3,4,6,7,8,9
2,5,8
1
1,4,7
2
0,3,6,9
0,3,6,9
D ÉPENDANCE
U NE
À LA BASE
QUESTION
“ NATURELLE ”
Si X ⊆ N est p-reconnaissable, est-il aussi q-reconnaissable ?
p, q sont multiplicativement indépendants si
p k = q ℓ ⇒ k = ℓ = 0, i.e., si log p/ log q est irrationnel.
“être multiplicativement dépendant” est une relation
d’équivalence,
2
4
8
3
9
27
5
25
125
6
36
216
7
49
343
10
100
1000
11
121
1331
···
···
···
PROPOSITION
Si p, q ≥ 2 sont multiplicativement dépendants,
alors X ⊂ N est p-reconnaissable SSI il est q-reconnaissable.
D ÉPENDANCE
U NE
À LA BASE
QUESTION
“ NATURELLE ”
Si X ⊆ N est p-reconnaissable, est-il aussi q-reconnaissable ?
p, q sont multiplicativement indépendants si
p k = q ℓ ⇒ k = ℓ = 0, i.e., si log p/ log q est irrationnel.
“être multiplicativement dépendant” est une relation
d’équivalence,
2
4
8
3
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5
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343
10
100
1000
11
121
1331
···
···
···
PROPOSITION
Si p, q ≥ 2 sont multiplicativement dépendants,
alors X ⊂ N est p-reconnaissable SSI il est q-reconnaissable.
D ÉPENDANCE
U NE
À LA BASE
QUESTION
“ NATURELLE ”
Si X ⊆ N est p-reconnaissable, est-il aussi q-reconnaissable ?
p, q sont multiplicativement indépendants si
p k = q ℓ ⇒ k = ℓ = 0, i.e., si log p/ log q est irrationnel.
“être multiplicativement dépendant” est une relation
d’équivalence,
2
4
8
3
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1000
11
121
1331
···
···
···
PROPOSITION
Si p, q ≥ 2 sont multiplicativement dépendants,
alors X ⊂ N est p-reconnaissable SSI il est q-reconnaissable.
D ÉPENDANCE
U NE
À LA BASE
QUESTION
“ NATURELLE ”
Si X ⊆ N est p-reconnaissable, est-il aussi q-reconnaissable ?
p, q sont multiplicativement indépendants si
p k = q ℓ ⇒ k = ℓ = 0, i.e., si log p/ log q est irrationnel.
“être multiplicativement dépendant” est une relation
d’équivalence,
2
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1000
11
121
1331
···
···
···
PROPOSITION
Si p, q ≥ 2 sont multiplicativement dépendants,
alors X ⊂ N est p-reconnaissable SSI il est q-reconnaissable.
T HÉORÈME [C OBHAM ’69]
Soient p, q ≥ 2 deux entiers multiplicativement indépendants.
Si X ⊆ N est simultanément p- et q-reconnaissable,
alors X est ultimement périodique (union finie de P.A.).
C OROLLAIRE
Il existe des ensembles
◮
k-reconnaissables pour tout k
(ens. ultimement périodiques),
◮
k-reconnaissables pour un certain k (minimal) et
exactement tous les k m ,
◮
k-reconnaissables pour aucun k.
T HÉORÈME [C OBHAM ’69]
Soient p, q ≥ 2 deux entiers multiplicativement indépendants.
Si X ⊆ N est simultanément p- et q-reconnaissable,
alors X est ultimement périodique (union finie de P.A.).
C OROLLAIRE
Il existe des ensembles
◮
k-reconnaissables pour tout k
(ens. ultimement périodiques),
◮
k-reconnaissables pour un certain k (minimal) et
exactement tous les k m ,
◮
k-reconnaissables pour aucun k.
E XEMPLE
◮
L’ensemble des nombres pairs est k-reconnaissable
pour tout k.
◮
L’ensemble {2n | n ≥ 0} est 2-reconnaissable
mais pas 3-reconnaissable.
◮
L’ensemble des nombres premiers
n’est jamais k-reconnaissable.
S. Eilenberg’74 (p.118)
“The proof is correct, long and hard. It is a challenge to find a
more reasonable proof of this fine theorem”
{p m /q n | m, n ≥ 0} est dense dans [0, +∞)
NOMBREUX TRAVAUX , SIMPLIFICATIONS ,
GÉNÉRALISATIONS ( SYSTÈMES NON STANDARDS , CAS
MULTI - DIMENSIONNEL ,. . . )
G. Hansel’82, D. Perrin’90, F. Durand’05, V. Bruyère’97,
F. Point, C. Michaux’96, R. Villemaire, A. Bès’00, J. Bell’05,
J. Honkala, S. Fabre, C. Reutenauer, A.L. Semenov’77,
L. Waxweiler’06, M.R.’06. . .
S. Eilenberg’74 (p.118)
“The proof is correct, long and hard. It is a challenge to find a
more reasonable proof of this fine theorem”
{p m /q n | m, n ≥ 0} est dense dans [0, +∞)
NOMBREUX TRAVAUX , SIMPLIFICATIONS ,
GÉNÉRALISATIONS ( SYSTÈMES NON STANDARDS , CAS
MULTI - DIMENSIONNEL ,. . . )
G. Hansel’82, D. Perrin’90, F. Durand’05, V. Bruyère’97,
F. Point, C. Michaux’96, R. Villemaire, A. Bès’00, J. Bell’05,
J. Honkala, S. Fabre, C. Reutenauer, A.L. Semenov’77,
L. Waxweiler’06, M.R.’06. . .
A NNEAU DES POLYNÔMES
A NALOGIE
CLASSIQUE
q = p t , Fq := F
◮
N, Z ←→ Fq [X ] anneau des polynômes sur Fq
◮
Q ←→ Fq (X ) corps des fractions rationnelles
◮
R ←→ Fq ((X )) corps des séries de Laurent
D ÉCOMPOSITION D ’ UN
POLYNÔME
base B : polynôme de degré b > 0 et
P=
ℓ
X
Ci B ℓ−i , C0 6= 0
i=0
avec deg Ci < b pour tout i ≤ ℓ.
R EMARQUE
On peut voir les Ci comme des éléments de Fb .
E XEMPLE
Soient F = Z/3Z et les polynômes B = X 2 + 2X + 2 et
P = X 8 + 2X 7 + X 5 + 2X 4 + 2X 3 + X + 2 sur F.
Par divisions euclidiennes successives,
P = 1.B 4 + 1.B 3 + (2X + 2).B 2 + (2X + 1).B + 1
La B-représentation de P est le mot sur (Z/3Z)2 ,
Φ(2X +1)
z }| {
ρB (P) = (0, 1)(0, 1)(2, 2) (2, 1) (0, 1).
| {z }
∈F2
πB : (Fb )∗ → F[X ]
D ÉFINITION
L’ensemble T ⊆ F[X ] est B-reconnaissable, si le langage
ρB (T ) = {ρB (P) | P ∈ T } ⊆ (Fb )∗
est régulier (i.e., accepté par automate fini).
R EMARQUE
T ⊂ F[X ] est B-reconnaissable ssi 0∗ ρB (T ) l’est.
0 = (0, . . . , 0)
| {z }
b
O PÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES
P ROPOSITION
Soit B un polynôme de degré b > 0 sur F.
Si S, T sont des ensembles B-reconnaissables de F[X ],
alors S + T est aussi B-reconnaissable.
C OROLLAIRE ( TRANSLATION )
Soit B un polynôme de degré b > 0 sur F.
Si S ⊆ F[X ] est B-reconnaissable,
alors S + {P} l’est aussi, pour tout P ∈ F[X ].
Construire un automate à un seul état lisant des triplets de
lettres dans Fb et reconnaissant L
 

 u

 v  : u, v, w ∈ (Fb )∗ , |u| = |v| = |w |, πB (u) + πB (v) = πB (w ) .


w
Les boucles ont pour label


(
f0
, ... ,
fb−1
)
 (
g0
, ... ,
gb−1
) 
( f0 + g0 , . . . , fb−1 + gb−1 )
avec fi , gi ∈ F et l’addition fi + gi est considérée dans F
R EMARQUE
Contrairement à N, pas de report dans F[X ].
morphismes canoniques pj : (Fb )3 → Fb , j = 1, 2, 3, définis par
 
x1

pj x2  = xj .
x3
p1−1 [0∗ ρB (S)] et p2−1 [0∗ ρB (T )] sont réguliers et
−1 ∗
−1 ∗
p3 p1 [0 ρB (S)] ∩ p2 [0 ρB (T )] ∩ L
est un langage régulier.
P ROPOSITION ( MULTIPLICATION
PAR POLYNÔME FIXÉ )
Soient B, Q deux polynômes, avec deg(B) ≥ 1.
Si T ⊆ F[X ] est B-reconnaissable, alors Q.T l’est aussi.
P
P
cas 1 : deg(Q)=0. P = ki=0 Ci B k −i et γ.P = ki=0 (γ.Ci ) B k −i
La multiplication par γ induit une permutation
ν : Φ(Ci ) 7→ Φ(γ.Ci ) sur Fb
cas 2 : deg(Q) = n > 0.
P = C0 B k + · · · + Ck avec C0 6= 0 et deg(Ci ) < b.
P.Q =
k
X
(Ci .Q)B k −i avec deg(Ci .Q) ≤ n + b − 1.
i=0
n + b − 1 = βb + r avec β ∈ N \ {0} et 0 ≤ r < b.
Pour chaque Ci ∈ F[X ]<b ,
Ci .Q = Di,0B β + · · · + Di,β avec deg(Di,j ) < b
Les polynômes Di,j sont déterminés par Ci , Q et B.
Construire un automate A acceptant le miroir du langage
u
b ∗
L :=
: u, v ∈ (F ) , |u| = |v|, Q.πB (u) = πB (v) .
v
◮
ensemble des états de A : (Fb )β ,
◮
état initial = état final : (0, . . . , 0)
Pour chaque Ci (il y en a q b ),
on a un arc de (rβ−1 , . . . , r0 ) ayant pour label
Φ(Ci )
rβ−1 + Φ(Di,β )
vers
(rβ−2 + Φ(Di,β−1 ), . . . , r0 + Φ(Di,1 ), Φ(Di,0 )),
additions interprétées dans le F-vectoriel Fb .
P.Q =
β
k X
X
Di,j B β+k −i−j .
i=0 j=0
On conclut comme dans la proposition précédente
(morphismes de projection).
C OROLLAIRE
Soient Q, R des polynômes de F[X ]. L’ensemble
{Q.P + R | P ∈ F[X ]}
est B-reconnaissable pour tout B de degré ≥ 1.
R APPEL ( CRITÈRES
DE DIVISIBILITÉ )
Les ensembles
{n | n ≡ r
(mod s)}
et
{s.n + r | n ∈ N}
sont k-reconnaissables pour toute base k ≥ 2.
AUTOMATICITÉ
D ÉFINITION
Soit S un ensemble fini. Une application f : F[X ] → S est
B-reconnaissable ou B-automatique si pour tout s ∈ S,
f −1 {s} est un ensemble B-reconnaissable de F[X ].
Soit S = {s1 , . . . , sk }.
Pour tout si ∈ S, i = 1, . . . , k, il existe un AFD
Ai = (Qi , q0,i , Fb , δi , Fi )
acceptant 0∗ ρB (f −1 {i}).
Automate produit :
◮
ensemble d’états Q = Q1 × · · · × Qk
◮
état initial q0 = (q0,1 , . . . , q0,k )
◮
fonction de transition ∆ : Q × (Fb )∗ → Q
∆((q1 , . . . , qk ), w ) = (δ1 (q1 , w ), . . . , (δk (qk , w )).
◮
fonction de sortie τ : Q → S
l’image par τ de (q1 , . . . , qk ) est si ssi qi ∈ Fi .
C ONCLUSION
L’application f : F[X ] → S “est calculée” grâce à cet automate
produit “nourri” avec les B-représentations des polynômes,
f (P) = τ [∆(q0 , 0n ρB (P))], ∀P ∈ F[X ], n ≥ 0.
N OYAU
Soit B un polynôme de degré b > 0.
Pour tout R ∈ F[X ] de degré < b,
on définit des applications de “B-décimation”
∂B,R : S F[X ] → S F[X ] : (f (P))P∈F[X ] 7→ (f (B.P + R))P∈F[X ] .
Le B-noyau de f = (f (P))P∈F[X ] est l’ensemble
kerB (f ) = {∂B,R1 ◦ · · · ◦ ∂B,Rn (f ) | ∀n ≥ 0, R1 , . . . , Rn ∈ F[X ]<b }.
P ROPOSITION
Une application f : F[X ] → S est B-reconnaissable
SSI son B-noyau est fini.
A PPLICATION
Soit O l’ensemble des polynômes de degré impair,
O = {P ∈ F[X ] \ {0} | deg(P) ≡ 1
(mod 2)}.
Soit B un polynôme de degré b > 1.
Soit fO l’application caractéristique de O.
P ROPOSITION
# kerB (fO ) ≤ 2 donc O est B-reconnaissable pour tout B.
Si b est pair,
pour tout P ∈ O (resp. P 6∈ O) non nul et tout R ∈ F[X ]<b ,
B.P + R ∈ O (resp. B.P + R 6∈ O) ∂B,R (fO ) = fO .
Si b est impair,
∂B,R (fO ) = 1 − fO et ∂B,R (1 − fO ) = fO .
EN
GÉNÉRAL
Pour tous 0 ≤ r < s,
{P ∈ F[X ] \ {0} | deg(P) ≡ r
est B-reconnaissable.
(mod s)}
A ce stade, voici les types d’ensembles reconnaissables
“partout” :
T YPE 1
Soient Q, R des polynômes de F[X ]. L’ensemble
{Q.P + R | P ∈ F[X ]}
est B-reconnaissable pour tout B de degré ≥ 1.
T YPE 2
{P ∈ F[X ] \ {0} | deg(P) ≡ r
(mod s)}
est B-reconnaissable pour tout B de degré ≥ 1.
T YPE
FINI ( CAS PARTICULIER DE
1)
Tout ensemble fini (tout langage fini est régulier).
Un ensemble infini T ⊆ F[X ] est degré-syndétique si ∃C > 0 tel
que ∀n ≥ 0,
T ∩ {P ∈ F[X ] | deg(P) ∈ [n, n + C)} =
6 ∅,
i.e., l’ensemble {deg(P) | P ∈ T } est syndétique (ou à lacunes
bornées) dans N.
P ROPOSITION
Si T est B-reconnaissable, il est degré-syndétique.
Le langage ρB (T ) étant régulier, l’ensemble des longueurs des
mots y appartenant est ultimement périodique.
E XEMPLE
n
L’ensemble {X 2 | n ≥ 0} n’est pas B-reconnaissable.
D ÉPENDANCE À LA BASE
P ROPOSITION
Soit B un polynôme de degré b > 0. T ⊆ F[X ] est
B-reconnaissable ssi il est B k -reconnaissable, k ∈ N \ {0}.
P = C0 (B k )ℓ + C1 (B k )ℓ−1 + · · · + Cℓ−1 B k + Cℓ
P = C0,k −1 B k ℓ+k −1 + · · · + C0,0 B k ℓ + · · · + Cℓ,k −1B k −1 + · · · + Cℓ,0
Ci = Ci,k −1 B k −1 + · · · + Ci,0 , ∀i ∈ {0, . . . , ℓ}.
ΦBk (P) = C0 · · · Cℓ ∈ (Fkb )∗ et
ΦB (P) = C0,k −1 · · · C0,0 · · · Cℓ,k −1 · · · Cℓ,0 ∈ (Fb )∗ .
Correspondance codée par un morphisme uniforme
bases multiplicativement dépendantes
C OROLLAIRE
Soient P, Q deux polynômes de degré ≥ 1 tels qu’il existe
k, ℓ > 0 satisfaisant P k = Q ℓ . Alors, T ⊆ F[X ] est
P-reconnaissable ssi il est Q-reconnaissable.
E XEMPLE
Soient P = X 4 + X 3 + 2X 2 + 2X + 1 et Q = X 6 + 2X 3 + 2 sur
F = Z/3Z.
On a P 3 = Q 2 = (X 2 + 2X + 2)6 .
P ROPOSITION
Soit γ ∈ F \ {0}. Un ensemble T ⊂ F[X ] est B-reconnaissable
ssi il est (γ B)-reconnaissable.
P=
k
X
Ci B k −i =
i=0
k
X
(γ −1 )k −i Ci (γB)k −i .
i=0
Soit δ := γ −1 , deg(Ci ) = deg(δk −i Ci ), soit t l’ordre de δ dans F.
C
δC
1
C
C
2
C
2C
δ
0
C
t−1
δ C
t−1
C
t−2
δ C
Cet automate accepte (ρB (u), ργB (u))R , u ∈ F[X ].
E XERCICE
Si e est l’ordre de γ ∈ F alors (γB)e = B e ,
donc B et γB sont multiplicativement dépendants.
Q UESTION
Analogue au théorème de Cobham ?
T YPE 3
Soient a1 , . . . , at ∈ F fixés. L’ensemble
{a1 X n+t−1 + · · · + at X n + bn−1 X n−1 + · · · + b0 | ∀n ≥ 0, bi ∈ F}
est B-reconnaissable, quel que soit B.
C ONJECTURE
Si P et Q sont multiplicativement indépendants, les seuls
ensembles simultanément P- et Q-reconnaissables sont les
unions booléennes d’ensembles des “types 1,2,3”.
E XERCICE
Si e est l’ordre de γ ∈ F alors (γB)e = B e ,
donc B et γB sont multiplicativement dépendants.
Q UESTION
Analogue au théorème de Cobham ?
T YPE 3
Soient a1 , . . . , at ∈ F fixés. L’ensemble
{a1 X n+t−1 + · · · + at X n + bn−1 X n−1 + · · · + b0 | ∀n ≥ 0, bi ∈ F}
est B-reconnaissable, quel que soit B.
C ONJECTURE
Si P et Q sont multiplicativement indépendants, les seuls
ensembles simultanément P- et Q-reconnaissables sont les
unions booléennes d’ensembles des “types 1,2,3”.
C OMPLEXITÉ
Théorème de Cobham sur N −→ caractériser les ensembles
ultimement périodiques
T HÉORÈME (M ORSE -H EDLUND )
Un mot infini sur un alphabet fini (xn )n∈N est ultimement
périodique ssi sa complexité est bornée.
000010110110110110 · · ·
7
8
8
000
0000
0001
00001 00010
001
0010
00101
010
0101
01011
101
1011
10110
011
110
0110
1101
01101 11011
01001010010010100101 · · ·
101
1011
10110
Ici, on remplace un mot infini par une application f : F[X ] → S.
Une mesure possible : pour tout P ∈ F[X ] et n ≥ 0,
ζf (P, n) : F[X ]<n → S : R 7→ f (P + R)
et la fonction de complexité de f est
Cf (n) = #{ζf (P, n) | P ∈ F[X ]}.
n
Cf (n) ≤ Cf (n + 1) ≤ (Cf (n))q et 1 ≤ Cf (n) ≤ (#S)q .
P ROPOSITION ;-(
Si A est de “type 1” et B de type “2”, alors
CfA (n) ≤ q deg(Q)
et
CfB (n)≥ n − r .
Q UESTION
Peut-on espérer une mesure qui rende compte de la structure
non linéaire de F[X ] ?
1
X, X + 1
2
2
X , X + 1, X 2 + X , X 2 + X + 1
..
.
R ETOUR SUR DES ENSEMBLES PARTICULIERS D ’ ENTIERS
Ingrédient 0 : q = p t
Ingrédient 1 : une bijection µ : {0, . . . , q − 1} → F
A toute bijection µ entre {0, . . . , q − 1} et F = Fq , (µ(0) = 0)
correspond une bijection µ entre N et F[X ]
n = c0 q ℓ + · · · + cℓ avec 0 ≤ ci < q.
µ(n) := µ(c0 )X ℓ + · · · + µ(cℓ ).
R EMARQUE
µ n’est pas un morphisme de monoïdes entre N et F[X ]
(propagation de la retenue).
Ingrédient 2 : un polynôme B ∈ F[X ] de degré ≥ 1
µ
ρ
B
n ∈ N −→ µ(n) ∈ F[X ] −→
ρB (µ(n))
µ
ρ
B
X ⊆ N −→ µ(X ) ⊆ F[X ] −→
ρB (µ(X ))
On peut définir des ensembles d’entiers
(q, µ, B)-reconnaissables. . .
Sloane’s sequence A001317 :


n


X
n
(
mod 2) 2j | n ≥ 0
tn =


j
j=0
= {1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, . . .}
q = 2, F = Z/2Z, B = 1 + X and µ : {0, 1} → F : 0 7→ 0, 1 7→ 1
T est (2, µ, 1 + X )-reconnaissable :
Sur Z/2Z, on a
n
X
n
µ(tn ) =
(
j
mod 2) X j = (1 + X )n
j=0
et ρB (µ(T )) = 1 0∗ .
Par contre, T n’est pas 2-reconnaissable (ni
(2, µ, X )-reconnaissable).
Sloane’s sequence A038184
000 001 010 011 100 101 110 111
0
1
1
0
1
0
0
1
· · · 00100 · · ·
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S = {1, 7, 21, 107, 273, 1911, 5189, 28123, . . .}
µ(sn ) = (1 + X + X 2 )n .
S est (2, µ, 1 + X + X 2 )-reconnaissable.
◮
J.-P. Allouche, E. Cateland, W.-J. Gilbert, H.-O. Peitgen, J.
Shallit, and G. Skordev, Automatic maps in exotic
numeration systems, Theory Comput. Syst. 30 (1997),
285–331.
◮
J.-P. Allouche, F. von Haeseler, H.-O. Peitgen, G. Skordev,
Linear cellular automata, finite automata and Pascal’s
triangle, Discrete Appl. Math. 66 (1996), 1–22.
◮
M.R., Syntactical and automatic properties of sets of
polynomials over finite field, à paraître Finite Fields and
their Applications,
http ://www.discmath.ulg.ac.be/