correctionINTERROGATION N2 - S2 1314

Correction INTERROGATION N°2 Sujet 1 – Classe de S2
1) Déterminer les nombres réels m de telle façon que les vecteurs −3;
(2 points)
−3;
−3 ; 4 colinéaires ⟺ −3 × 4 −
× −3
−3 ; 4 soient colinéaires.
= 0 ⟺ 3 ² = 12 ⟺
2) Dans un repère, on considère la droite ∆ d’équation : = 2 − 3
a) Donner un vecteur directeur de la droite ∆.
On a pour équation cartésienne de la droite∆ : 2 − − 3 = 0 de la forme
vecteur directeur de ∆ est donc − ;
= 1;2)
+
²=4⟺
+ =0
=2
= −2
un
(1 points)
b) Donner le vecteur directeur de ∆ ayant pour ordonnée 3.
=
! ; 3" a pour ordonnée 3 (1 point)
3) Soit un nombre réel m et les points # 2; −1 , % 3; 7 ' 4; .
a) Déterminer l’équation cartésienne de la droite (AB). (2,5 points)
On a : #% 3 − 2; 7 − −1 = 1; 8 = − ; vecteur directeur de la droite (AB) d’équation
cartésienne
+
+ = 0 soit : 8 − + = 0 pour trouver c il suffit d’écrire que A est un
point de (AB) : 8 2 − −1 + = 0 ⟺ = −17
Une équation cartésienne de la droite (AB) est
donc : 8 − − 17 = 0 .
b) Déterminer la valeur de m pour que les points A, B et C soient alignés.
A, B, C alignés ⟺ ' )) * + , à. /*0+ #% ⟺ 8 4 −
− 17 = 0 ⟺
= 15(2 points)
c) Déterminer l’équation cartésienne de la droite (d) parallèle à (AB) et passant par D(0 ;2).
Comme (d) est parallèle à (AB) le vecteur #% 1; 8 est un vecteur directeur de (d) et l’équation cartésienne
est de la forme 8 − + = 0 et comme (d) passe par D , on doit avoir : 8 0 − 2 + = 0 ⟺ = 2
Une équation cartésienne de la droite (d) est : 8 − + 2 = 0 (2 points)
d) Soit la droite (d’) d’équation cartésienne : 3 − + − 12 = 0 Montrer que (d’) et (AB) sont
sécantes et que le point ' 4;
appartient à (d’). Pour qu’elle valeur de m le point C est le point
d’intersection de (d’) et (AB) ? (4 points)
La droite (d’) a une équation cartésienne de la forme : ′ + ′ + ′ = 0 et un vecteur directeur de (d’) est
le vecteur ′ − ′; ′ = 1; 3 Il suffit de montrer que #% 1; 8 et ′ ne sont pas colinéaires pour prouver
que (d’) et (AB) ne sont pas parallèles, donc sécantes . Or : 1 × 8 − 3 × 1 = 5 ≠ 0 donc
4
#%, 50, ) 5 0.+,é +* 5.
On a : 3 4 − + − 12 = 0 donc le point ' 4;
appartient à (d’).
Or pour que C soit le point d’intersection de (d’) et (AB) il faut que C appartienne à (AB)⟺ m = 49 d’après la
question b). Alors le point C a donc pour coordonnées ' 4; 49
<
4) ABCD est un parallélogramme. On considère les points E et F tels que : #8 = 9 #: et %; = − 9 #%
a) On munit le plan du repère (A, B, D). Déterminer les coordonnées des points B, D, E et F dans ce repère.
Dans le repère (A,B, D) Les coordonnées de B (0 ;1) , D (1 ;0) E (3/4, 0) et F (0 ;3/4) car
<
<
%# + #; = − 9 #% soit : #; = #% − 9 #% = 9 #% (3 points)
F
A
B
D
E
b) Démontrer que les droites (EF) et (BD) sont parallèles.
On a : 8; !− 9 ; 9" et %: 1; −1 sont colinéaires : !− 9" −1 − 9 × 1 = 0 ainsi les droites (EF) et
(BD) sont donc parallèles. (2,5 points)
INTERROGATION N°2 Sujet 2 – Classe de S2
1) Déterminer les nombres réels m de telle façon que les vecteurs −2;
(2 points)
−2;
−2 ; 1 colinéaires ⟺ −2 × 1 −
× −2
−2 ; 1 soient colinéaires.
=0⟺2 ²=2⟺
2) Dans un repère, on considère la droite ∆ d’équation : = 3 + 2
a) Donner un vecteur directeur de la droite ∆.
On a pour équation cartésienne de la droite∆ : 3 − − 2 = 0
de la forme
=1
= −1
²=1⟺
+
+ =0
un
vecteur directeur de ∆ est donc − ; = 1;3)
(1 point)
b) Donner le vecteur directeur de ∆ ayant pour abscisse 2. = 2 2; 6 a pour abscisse 2 (1 point)
3) Soit un nombre réel m et les points # −2; 1 , % 3; 7 ' 4; .
a) Déterminer l’équation cartésienne de la droite (AB).
On a : #% 3 − −2 ; 7 − 1 = 5; 6 = − ; vecteur directeur de la droite (AB) d’équation
cartésienne
+
+ = 0 soit : 6 − 5 + = 0 pour trouver c il suffit d’écrire que A est un
point de (AB) : 6 −2 − 5 1 + = 0 ⟺ = 17
Une équation cartésienne de la droite (AB) est
donc : 6 − 5 + 17 = 0 . (2,5 points)
b) Déterminer la valeur de m pour que les points A, B et C soient alignés.
A, B, C alignés ⟺ ' )) * + , à. /*0+ #% ⟺ 6 4 − 5
+ 17 = 0 ⟺
=
9<
>
(2 points)
c) Déterminer l’équation cartésienne de la droite (d) parallèle à (AB) et passant par D(2 ; 0).
Comme (d) est parallèle à (AB) l’équation cartésienne est de la forme 6 − 5 + = 0 et comme
(d) passe par D , on doit avoir : 6 2 − 5 0 + = 0 ⟺ = −12 Une équation cartésienne de la
droite (d) est : 6 − 5 − 12 = 0 (2 points)
d) Soit la droite (d’) d’équation cartésienne : 3 − 5 + 5 − 12 = 0 Montrer que (d’) et (AB) sont
sécantes et que le point ' 4;
appartient à (d’). Pour qu’elle valeur de m le point C est le point
d’intersection de (d’) et (AB) ?
(4 points)
La droite (d’) a une équation cartésienne de la forme : ′ + ′ + ′ = 0 et un vecteur directeur de
(d’) est le vecteur ′ − ′; ′ = 5; 3 Il suffit de montrer que #% 5; 6 et ′ ne sont pas
colinéaires pour prouver que (d’) et (AB) ne sont pas parallèles, donc sécantes .
Or : 5 × 6 − 3 × 6 = 12 ≠ 0 donc 4 #%, 50, ) 5 0.+,é +* 5.
On a : 3 4 − 5 + 5 − 12 = 0 donc le point ' 4;
appartient à (d’).
Or pour que C soit le point d’intersection de (d’) et (AB) il faut que C appartienne à (AB)⟺ m = 41/5
d’après la question b). Alors le point C a donc pour coordonnées ' 4;
9<
>
<
4) ABCD est un parallélogramme. On considère les points E et F tels que : #8 = 9 #: et %; = − 9 #%
a) On munit le plan du repère (A, B, D). Déterminer les coordonnées des points B, D, E et F dans ce repère.
Dans le repère (A,B, D) Les coordonnées de B (0 ;1) , D (1 ;0) E (1/4, 0) et F (0 ;1/4) car
<
%# + #; = − 9 #% soit : #; = #% − 9 #% = 9 #%
(3 points)
B
F
A
E
D
b) Démontrer que les droites (EF) et (BD) sont parallèles.
<
<
<
<
On a : 8; !− 9 ; 9" et %: 1; −1 sont colinéaires : !− 9" −1 − 9 × 1 = 0 ainsi les droites (EF) et
(BD) sont donc parallèles. (2,5 points)