Mathematiques - 2006 - Scientifique - Bac blanc

[ Baccalauréat blanc S - 4 heures \
Lycée Descartes - Rabat - février 2006
L’utilisation de la calculatrice est autorisée
E XERCICE 1
6 points
³ →
− →
−´
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct O, u , v . L’unité
graphique est 2 cm.
1.
a. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation :
z 2 − 4z + 8 = 0
b. écrire les solutions z1 et z2 de cette équation sous forme exponentielle
(z1 sera la solution dont la partie imaginaire est positive).
Placer dans P les points A et B d’affixes respectives z1 et z2 .
2. On considère l’application f qui, à tout point M d’affixe z non nulle, associe
le point M ′ d’affixe
1
z′ =
z
où z désigne le conjugué de z.
a. Calculer les affixes des points A′ et B′ images de A et B par f . Placer ces
points sur la figure.
b. Montrer que pour tout point M distinct de O, les points O, M et M ′ sont
−−−→ −−−→
alignés et que OM · OM ′ = 1.
3.
a. Montrer que
¯
¯
¯ ¯ ¯
¯1
|z − 2| = 2 ⇐⇒ ¯¯ − z ′ ¯¯ = ¯z ′ ¯
2
b. Soit C le cercle de centre I, d’affixe 2, et de rayon 2.
Soit M un point de C distinct de O. Montrer que M ′ est situé sur une
droite d que l’on caractérisera. Placer C et d sur la figure.
c. Soit M un point quelconque du cercle C , distinct de O, A et B. Construire
M ′ , l’image de M par f .
E XERCICE 2
Réservé aux candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité
Dans cet exercice, on pourra utiliser les résultats suivants :
• Pour tous réels a et b,
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
;
5 points
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
• Si une fonction h, dérivable sur R, a une dérivée constante égale à λ, alors h
est une fonction affine définie par h(x) = λx+µ (où µ est une constante réelle).
On se propose de résoudre l’équation différentielle (E ) :
y ′′ + 4y ′ + 4y = 5sin x
On note (E0 ) l’équation différentielle : y ′′ + 4y ′ + 4y = 0
h πh
4
1.
a. Soit θ le nombre réel de 0 ;
défini par tan θ = .
2
3
3
Vérifier que cos θ = . En déduire la valeur de sin θ.
5
b. Soit ϕ la fonction définie sur R par : ϕ(x) = sin(x − θ).
Montrer que ϕ est une solution particulière de (E ).
2. Démontrer qu’une fonction f est solution de (E ) si, et seulement si, la fonction
f − ϕ est solution de (E 0 ).
3. On suppose qu’il existe une fonction g solution de l’équation di érentielle (E 0 ).
On pose pour tout réel x, h(x) = g (x)e2x .
a. Prouver que la dérivée seconde de h est nulle sur R.
b. En déduire h ′ (x) puis h(x) en fonction de x.
c. Donner toutes les solutions de l’équation (E 0 ).
4. Résoudre l’équation différentielle (E ).
E XERCICE 2
5 points
Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité mathématiques
On rappelle le (petit) théorème de Fermat : si p est un nombre premier qui ne divise
pas l’entier naturel a, alors on a la congruence
a p−1 ≡ 1 mod p
Partie A
1.
a. Prouver que 29 est un nombre premier.
b. Soit x ∈ N et n un entier naturel tel que n ≡ 1 mod 28.
En utilisant le théorème de Fermat, prouver que x n ≡ x mod 29.
2. On considère l’équation (E ) : 17x − 28y = 1 où (x, y) ∈ Z2 .
a. Quel théorème permet d’affirmer que l’équation (E ) admet au moins un
couple solution d’entiers relatifs ?
b. En utilisant l’algorithme d’Euclide, trouver un tel couple solution.
Partie B
Soit A = {x ∈ N, x < 29} = {0, 1, 2, . . . , 28}.
Pour x ∈ A, on note f (x) le reste de la division euclidienne de x 17 par 29 et g (x)
le reste de la division euclidienne de x 5 par 29.
3.
a. Prouver que f (x) ∈ A et x 17 ≡ f (x) mod 29.
On admettra (la démonstration est analogue) que g (x) ∈ A et x 5 ≡ g (x)
mod 29.
£
¤
b. Pour x ∈ A, prouver que g f (x) = x.
4. Applications : On attribue à chaque lettre de l’aphabet et aux deux signes + et
− , l’entier donné par le tableau ci-dessous :
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
o
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
+
−
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
a. Bob code le mot « GAUSS »à l’aide de la fonction f et envoie le message
codé à Alice.
Voici le codage des deux premières lettres « G »et « A » :
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Mathématiques
Février 2006
Message initial
G
Entier associé
A
7
Utilisation de f
17
7
1
≡ 24 mod 29
Message codé
17
1
≡ 1 mod 29
X
A
Compléter son message.
b. Alice reçoit le message suivant, codé par Bob, à l’aide de la fonction f :
J
I
L
L
R
Décrypter ce message à la place d’Alice.
E XERCICE 3
9 points
Partie A
Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = ln (1 + e−x ). Sur la feuille annexe, à remettre avec la copie, on a représenté la courbe
C de la fonction f
³ représentative
→
− →
−´
dans le plan rapporté à un repère orthonormal O, ı ,  .
a. Question de cours (sur 0,5 point) : démontrer que
1.
lim ln x = +∞.
x→+∞
b. Déterminer les limites de f en −∞ et +∞.
c. Montrer que pour tout réel x, f (x) = −x + ln (1 + ex ).
d. En déduire que C admet en −∞ une asymptote oblique, notée d, d’équation y = −x. Préciser la position de d par rapport à C .
2. étudier les variations de f . Dresser son tableau de variations.
3. Sur la feuille annexe, tracer d ainsi que la droite ∆, tangente à C au point
d’abscisse 0.
Partie B
Soit g et h les fonctions définies sur [0 ; +∞[ par
g (t ) = ln(1 + t ) − t
et
h(t ) = ln(1 + t ) − t +
t2
2
1. étudier les variations et dresser les tableaux de variations des fonctions g et h.
2. Montrer que pour tout réel t positif, t −
3. En déduire que pour tout réel x, e−x −
t2
6 ln(1 + t ) 6 t .
2
e−2x
6 f (x) 6 e−x
2
(1)
Partie C
1. Soit a un nombre réel strictement supérieur à 1 et n un entier naturel non nul.
1
1
1
On pose A n = + 2 + . . . + n .
a a
a
a. Exprimer A n en fonction de n et montrer que la suite (A n )n∈N∗ est majo1
rée par
.
a −1
b. Justifier la convergence de la suite (A n )n∈N∗ et déterminer sa limite.
2. On définit les suites (S n )n∈N∗ et (Tn )n∈N∗ par :
Sn =
1
1 1
+ 2 +··· + n
e e
e
et
Tn =
1
1
1
+ 4 + · · · + 2n
2
e
e
e
Déterminer la limite des suites (S n )n∈N∗ et (Tn )n∈N∗ .
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Février 2006
Partie D
Soit (un )n∈N∗ la suite définie par :
u1 = 1 +
1
e
µ
et pour tout entier naturel n non nul, un+1 = 1 +
1
en+1
¶
un .
1. Démontrer par récurrence que pour tout naturel n non nul, un > 0.
2. Soit (v n )n∈N∗ la suite définie par v n = ln (un ) pour tout entier naturel n non
nul.
a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul ,
v n = f (1) + f (2) + · · · + f (n)
(2)
b. Montrer que la suite (v n ) est croissante.
c. à l’aide des relations (1) et (2), montrer que pour tout entier naturel n
non nul,
1
S n − Tn 6 v n 6 S n .
2
d. Montrer que la suite (v n )n∈N∗ est majorée et qu’elle converge.
e. On note ℓ la limite de la suite (v n )n∈N∗ . Prouver que
1
2e + 1
6ℓ6
.
2(e2 − 1)
e−1
3. Montrer que la suite (un )n∈N∗ converge.
à l’aide de la calculatrice, donner un encadrement de sa limite.
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Annexe à rendre avec la copie
−2
-1
−3
-3
−2
-2
−1
-1
−1
-2
0
0
1
1
2
2
3
y
1
1
2
2
3
3
4
4
x
5
Nom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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