Mathematiques - 2006 - Scientifique - Bac blanc

[Baccalauréat blanc S - 4 heures \
Lycée Descartes - Rabat - février 2006
L’utilisation de la calculatrice est autorisée
EXERCICE 16 points
Le plan complexe Pest rapporté à un repère orthonormal direct ³O, −→ u,−→ v´. L’unité
graphique est 2 cm.
1. a. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation :
z2−4z+8=0
b. écrire les solutions z1et z2de cette équation sous forme exponentielle
(z1sera la solution dont la partie imaginaire est positive).
Placer dans Ples points A et B d’affixes respectives z1et z2.
2. On considère l’application fqui, à tout point Md’affixe znon nulle, associe
le point M′d’affixe
z′=1
z
où zdésigne le conjugué de z.
a. Calculer les affixes des points A′et B′images de A et B par f. Placer ces
points sur la figure.
b. Montrer que pour tout point Mdistinct de O, les points O, Met M′sont
alignés et que −−−→ OM·−−−→ OM′=1.
3. a. Montrer que
|z−2| = 2⇐⇒ ¯
¯
¯
¯
1
2−z′¯
¯
¯
¯
=¯
¯z′¯
¯
b. Soit Cle cercle de centre I, d’affixe 2, et de rayon 2.
Soit Mun point de Cdistinct de O. Montrer que M′est situé sur une
droite dque l’on caractérisera. Placer Cet dsur la figure.
c. Soit Mun point quelconque du cercle C, distinct de O, A et B. Construire
M′, l’image de Mpar f.
EXERCICE 25 points
Réservé aux candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité
Dans cet exercice, on pourra utiliser les résultats suivants :
•Pour tous réels aet b,
cos(a−b)=cos acosb+sin asinb; sin(a−b)=sin acosb−cos asinb
•Si une fonction h, dérivable sur R, a une dérivée constante égale à λ, alors h
est une fonction affine définie par h(x)=λx+µ(où µest une constante réelle).
On se propose de résoudre l’équation différentielle (E) :
y′′ +4y′+4y=5sin x
On note (E0) l’équation différentielle : y′′ +4y′+4y=0
1. a. Soit θle nombre réel de h0 ; π
2hdéfini par tanθ=4 3.
Vérifier que cosθ=3
5. En déduire la valeur de sinθ.

b. Soit ϕla fonction définie sur Rpar : ϕ(x)=sin(x−θ).
Montrer que ϕest une solution particulière de (E).
2. Démontrer qu’une fonction fest solution de (E) si, et seulement si, la fonction
f−ϕest solution de (E0).
3. On suppose qu’il existe une fonction gsolution de l’équation di érentielle (E0).
On pose pour tout réel x,h(x)=g(x)e2x.
a. Prouver que la dérivée seconde de hest nulle sur R.
b. En déduire h′(x) puis h(x) en fonction de x.
c. Donner toutes les solutions de l’équation (E0).
4. Résoudre l’équation différentielle (E).
EXERCICE 25 points
Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité mathématiques
On rappelle le (petit) théorème de Fermat : si pest un nombre premier qui ne divise
pas l’entier naturel a, alors on a la congruence
ap−1≡1 mod p
Partie A
1. a. Prouver que 29 est un nombre premier.
b. Soit x∈Net nun entier naturel tel que n≡1 mod 28.
En utilisant le théorème de Fermat, prouver que xn≡xmod 29.
2. On considère l’équation (E) : 17x−28y=1 où (x,y)∈Z2.
a. Quel théorème permet d’affirmer que l’équation (E) admet au moins un
couple solution d’entiers relatifs ?
b. En utilisant l’algorithme d’Euclide, trouver un tel couple solution.
Partie B
Soit A = {x∈N,x<29} ={0, 1, 2, . . ., 28}.
Pour x∈A, on note f(x) le reste de la division euclidienne de x17 par 29 et g(x)
le reste de la division euclidienne de x5par 29.
3. a. Prouver que f(x)∈A et x17 ≡f(x) mod 29.
On admettra (la démonstration est analogue) que g(x)∈A et x5≡g(x)
mod 29.
b. Pour x∈A, prouver que g£f(x)¤=x.
4. Applications : On attribue à chaque lettre de l’aphabet et aux deux signes + et
−, l’entier donné par le tableau ci-dessous :
a b c d e f g h i j k l m n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
o p q r s t u v w x y z + −
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
a. Bob code le mot « GAUSS »à l’aide de la fonction fet envoie le message
codé à Alice.
Voici le codage des deux premières lettres « G »et « A » :
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Message initial G A
Entier associé 7 1
Utilisation de f717 ≡24 mod 29 117 ≡1 mod 29
Message codé X A
Compléter son message.
b. Alice reçoit le message suivant, codé par Bob, à l’aide de la fonction f:
J I L L R
Décrypter ce message à la place d’Alice.
EXERCICE 39 points
Partie A
Soit fla fonction définie sur Rpar : f(x)=ln(1+e−x). Sur la feuille annexe, à re-
mettre avec la copie, on a représenté la courbe représentative Cde la fonction f
dans le plan rapporté à un repère orthonormal ³O, −→ ı,−→ ´.
1. a. Question de cours (sur 0,5 point) : démontrer que
lim
x→+∞ ln x= +∞.
b. Déterminer les limites de fen −∞ et +∞.
c. Montrer que pour tout réel x,f(x)= −x+ln (1+ex).
d. En déduire que Cadmet en −∞ une asymptote oblique, notée d, d’équa-
tion y= −x. Préciser la position de dpar rapport à C.
2. étudier les variations de f. Dresser son tableau de variations.
3. Sur la feuille annexe, tracer dainsi que la droite ∆, tangente à Cau point
d’abscisse 0.
Partie B
Soit get hles fonctions définies sur [0 ; +∞[ par
g(t)=ln(1 +t)−tet h(t)=ln(1 +t)−t+t2
2
1. étudier les variations et dresser les tableaux de variations des fonctions get h.
2. Montrer que pour tout réel tpositif, t−t2
26ln(1 +t)6t.
3. En déduire que pour tout réel x, e−x−e−2x
26f(x)6e−x(1)
Partie C
1. Soit aun nombre réel strictement supérieur à 1 et nun entier naturel non nul.
On pose An=1
a+1 a2+...+1 an.
a. Exprimer Anen fonction de net montrer que la suite (An)n∈N∗est majo-
rée par 1
a−1.
b. Justifier la convergence de la suite (An)n∈N∗et déterminer sa limite.
2. On définit les suites (Sn)n∈N∗et (Tn)n∈N∗par :
Sn=1
e+1 e2+ ··· + 1 enet Tn=1 e2+1 e4+ ··· + 1 e2n
Déterminer la limite des suites (Sn)n∈N∗et (Tn)n∈N∗.
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Partie D
Soit (un)n∈N∗la suite définie par :
u1=1+1
eet pour tout entier naturel nnon nul, un+1=µ1+1 en+1¶un.
1. Démontrer par récurrence que pour tout naturel nnon nul, un>0.
2. Soit (vn)n∈N∗la suite définie par vn=ln(un)pour tout entier naturel nnon
nul.
a. Montrer que pour tout entier naturel nnon nul ,
vn=f(1) +f(2) + ··· + f(n) (2)
b. Montrer que la suite (vn) est croissante.
c. à l’aide des relations (1) et (2), montrer que pour tout entier naturel n
non nul,
Sn−1
2Tn6vn6Sn.
d. Montrer que la suite (vn)n∈N∗est majorée et qu’elle converge.
e. On note ℓla limite de la suite (vn)n∈N∗. Prouver que
2e +1
2(e2−1) 6ℓ61 e−1.
3. Montrer que la suite (un)n∈N∗converge.
à l’aide de la calculatrice, donner un encadrement de sa limite.
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Annexe à rendre avec la copie
Nom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-2 -1
0 1 2 3
1 2 3 4−1−2−3
1 2
−1 −2
x
y
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