Solides 1(cours du 10/05/2011)
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L3-PST- Module culture mathématique Géométrie Solides En géométrie, on appelle solide toute figure indéformable à 3 dimensions, limitée par une surface fermée. Il existe deux types de solides : les polyèdres délimités par une surface uniquement composée de polygones, et les non polyèdres. Un non polyèdre est un solide dont l’une, au moins, des parties de la surface le constituant n’est pas un polygone. Exemples : Le cube est un polyèdre. Il est délimité par des carrés. Le cône de révolution n’est pas un polyèdre. Il n’est pas délimité par des polygones. De même, la surface d’un cylindre de révolution comportant des disques, le cylindre n’est pas un polyèdre. Les polyèdres On appelle polyèdre (du grec poly = plusieurs, hedra = face, plan) un solide de l'espace constitué d'un certain nombre de faces polygonales. Les polygones délimitant le polyèdre sont appelés les faces du polyèdre. Les côtés communs des polygones qui constituent les faces sont appelés les arêtes du polyèdre et les sommets des polygones restent appelés sommets pour le polyèdre. Exemple : Un pavé droit a 6 faces, 8 sommets et 12 arêtes. Remarque : Le mot face et le mot arête ne sont utilisés que pour les polyèdres. Déterminer le nombre de faces d’un cylindre n’a aucune signification puisque le cylindre n’est pas un polyèdre. Un polyèdre est dit convexe s’il se situe d’un même côté de tous les plans support des faces. On peut encore dire qu’un polyèdre convexe est tel que quelle que soit la façon dont on le pose sur une surface plane, il repose sur une face entière. S’il n’est pas convexe, il est dit concave. On reconnaît qu’un polyèdre est concave si deux de ses faces forment « un creux ». Formule de Descartes-Euler Les nombres F de faces, S de sommets et A d’arêtes d'un polyèdre convexe (situé entièrement dans un même demi-plan constitué par l'une quelconque de ses faces) vérifient : F + S − A = 2. Pour vérifier le nombre de faces, d’arêtes, de sommets d’un polyèdre convexe, on peut donc utiliser cette relation. Polyèdres particuliers Prisme Un prisme droit est un polyèdre dont la surface est composée de deux polygones identiques et parallèles appelés bases, et de rectangles qui constituent les faces latérales. Exemples : - Un cube est un prisme droit dont les bases et les faces latérales sont des carrés.(Le carré est un rectangle particulier.) - Un parallélépipède rectangle ou pavé droit est un prisme droit dont les bases et les faces latérales sont des rectangles. (Les faces latérales peuvent aussi être des carrés. Le cube est un parallélépipède rectangle particulier) Un prisme non droit est composé de deux bases, qui sont des polygones identiques et parallèles, et dont certaines faces latérales sont des parallélogrammes non rectangles. prisme Muriel Fénichel – Mai 2011 1 Pyramide Une pyramide est un polyèdre dont la surface est composée d’un polygone appelé base et de triangles ayant un sommet commun. Exemple : Un tétraèdre est une pyramide dont la base est un triangle. Il est donc composé de quatre triangles. Un tétraèdre régulier est une pyramide composée de quatre triangles équilatéraux identiques. pyramide Polyèdre régulier Les polyèdres réguliers convexes furent tout particulièrement étudiés par Théétète d'Athènes, Platon, Euler et Descartes. Ils sont à l'espace ce que les polygones réguliers sont au plan (côtés de même mesure et angles égaux) ; ces solides sont constitués de faces isométriques et les angles d'arêtes de leurs angles polyèdres (formés par les intersections des faces) sont égaux. Un polyèdre est régulier lorsque : - il est convexe - toutes ses faces sont des polygones réguliers identiques - de chacun de ses sommets partent le même nombre d’arêtes formant le même angle. Par exemple, un cube est un polyèdre régulier, un octaèdre dont les huit faces sont des triangles équilatéraux identiques est un polyèdre régulier mais un hexaèdre dont les six faces sont des triangles équilatéraux identiques n’est pas un polyèdre régulier puisque la troisième condition n’est pas vérifiée. Il existe seulement cinq polyèdres réguliers : - le cube - le tétraèdre régulier dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux identiques - l’octaèdre régulier dont les huit faces sont des triangles équilatéraux identiques - l’icosaèdre régulier dont les vingt faces sont des triangles équilatéraux identiques - le dodécaèdre régulier dont les douze faces sont des pentagones réguliers identiques. cube tétraèdre x y S F A 3 3 4 4 6 tétraèdre 4 3 6 8 12 octaèdre 5 3 12 20 30 icosaèdre 3 4 8 6 12 cube 3 5 20 12 30 dodécaèdre dodécaèdre Muriel Fénichel – Mai 2011 octaèdre icosaèdre 2 Polyèdres réguliers croisés de Kepler et Poinsot Il en existe 4. Deux dodécaèdres furent découverts par Kepler et Poinsot exhiba les deux autres : un icosaèdre et un dodécaèdre. Cauchy prouva qu'il n'en existait pas d'autres. grand icosaèdre grand dodécaèdre petit dodécaèdre étoilé grand dodécaèdre étoilé Solides particuliers non polyèdres Cylindre de révolution Un cylindre de révolution est un solide engendré par la rotation d’un rectangle autour de l’un de ses côtés. Il est donc formé par deux disques, identiques et parallèles, et par une surface non plane. Les deux disques s’appellent les bases du cylindre. Cône de révolution Un cône de révolution est un solide engendré par la rotation d’un triangle rectangle autour d’un des côtés de l’angle droit. Il est donc formé par un disque et une surface non plane. On omet souvent de préciser le qualificatif « de révolution » lorsqu’on évoque le cylindre et le cône. Pourtant, il existe d’autres types de cylindre et de cônes avec des bases qui ne sont pas des disques, mais par exemple des ellipses. Boule Une boule est un solide délimité par une surface appelé sphère. Une sphère de centre O et de rayon R est une surface constituée par l’ensemble des points dont la distance à O est égale à R. Muriel Fénichel – Mai 2011 3
