Les polyèdres réguliers convexes
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Polyèdres Quelques définitions (1) Un polyèdre* est un volume délimité par des faces polygonales. (*poly:plusieurs, gone:angle, èdre:face) Les polygones de deux faces consécutives ont un côté commun appelé arête, leurs sommets communs sont appelés sommets du polyèdre. Quelques définitions (2) Un polyèdre convexe est un polyèdre entièrement situé du même côté du plan défini par une de ses faces. Un polyèdre étoile n’est pas convexe : c’est un polyèdre concave. Catégories de polyèdres (1) Parmi les différentes catégories de polyèdres, on peut distinguer : les polyèdres réguliers et les polyèdres archimédiens. Catégories de polyèdres (2) Un polyèdre régulier est un polyèdre dont les faces sont des polygones réguliers de même nature. Wikipedia – Polyèdres réguliers Un polyèdre archimédien ou semi-régulier est un polyèdre dont les faces sont des polygones réguliers de natures différentes. Wikipedia – Polyèdres archimédiens Dual d’un polyèdre A tout polyèdre est associé un polyèdre appelé dual du premier de sorte que : • le dual du polyèdre dual est le polyèdre initial, • les faces de l'un sont en correspondance avec les sommets de l'autre, en respectant les propriétés d'adjacence. Wikipedia – Dual d’un polyèdre Solides de Platon Nom Constitué par Tétraèdre 4 triangles équilatéraux Cube 6 carrés Octaèdre 8 triangles Dodécaèdre 12 pentagones Icosaèdre 20 triangles Les polyèdres réguliers convexes Les polyèdres réguliers convexes Un polyèdre régulier est un polyèdre dont les faces sont des polygones réguliers de même nature. Il existe cinq polyèdres réguliers appelés Solides de Platon. Démonstration de la limite à 5 (1) Pour que le polyèdre soit régulier, il faut que toutes les faces soient des polygones réguliers identiques. Deux contraintes : • Chaque sommet doit être commun à au moins 3 faces. • La somme des angles en un sommet doit être strictement inférieure à 360°, sinon il ne serait pas convexe. Démonstration de la limite à 5 (2) Les faces peuvent-elle être des triangles ? • 3x60 = 180 Tétraèdre régulier • 4x60 = 240 Octaèdre • 5x60 = 300 Isocaèdre • 6x60 = 360 : Impossible, à fortiori au-delà Des carrés ? • 3x90 = 270 Cube – Rien au-delà Des pentagones ? • 3x108 = 324 Dodécaèdre pentagonal Hexagones et plus : Impossible (3x120 = 360) Tétraèdre Constitué par : • 4 triangles équilatéraux Possède : • 4 faces • 4 sommets • 6 arêtes Cube Constitué par : 6 carrés Possède : 6 faces, 8 sommets, 12 arêtes Octaèdre Constitué par : • 8 triangles Possède : • 8 faces • 6 sommets • 12 arêtes Dodécaèdre pentagonal Constitué par : 12 pentagones Possède : 12 faces, 20 sommets, 30 arêtes Icosaèdre Constitué par : • 20 triangles Possède : • 12 faces • 12 sommets • 30 arêtes Récapitulatif Nom Faces Sommets Arêtes Tétraèdre 4 4 6 Cube 6 8 12 Octaèdre 8 6 12 Dodécaèdre 12 20 30 Icosaèdre 20 12 30 Pourquoi « Solides de Platon »? Platon cite les cinq polyèdres. Attribution aux éléments de la matière : • Cube terre • Tétraèdre feu • Octaèdre air • Icosaèdre eau Le Dodécaèdre : représente les couleurs. Webographie • • • • Wikipedia – Polyèdres Wikipedia – Polyèdres de Platon Geowiki – Solides de Platon Wikipedia – Lien dans le diaporama
