1eS : Polynômes du second degré

Chapitre 1
1eS : Polynômes du second degré
1.0
Rappels
La fonction x 7−→ x2 s’appelle la fonction carré. La représentation graphique de la fonction
carré s’appelle parabole La parabole est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et on
dit que la fonction est paire.
Du fait de l’axe de symétrie, l’abscisse du sommet est la demi-somme de 2 points de même
ordonnée. (La droite verticale passant par le sommet est l’axe de symétrie de la parabole).
f définie sur I :
• f est croissante sur I signifie que pour tout a, b de I, si a < b alors f (a) ≤ f (b).
• décroissante
• constante
f est (st) décroissante sur ] − ∞; 0] et (st) croissante sur [0; +∞[.
On dit qu’une fonction f est une fonction polynôme de degré 2 s’il existe a 6= 0 et b, c tels
que :
f (x) = ax2 + bx + c
ax2 + bx + c est appelée forme développée ou réduite de f (x).
f (x) peut aussi s’écrire : f (x) = a(x − α)2 + β appelée forme canonique de f (x).
[Cette forme est utile pour résoudre f (x) = m].
f (x) peut parfois s’écrire : f (x) = a(x − x1 )(x − x2 ) appelée forme factorisée de f (x).
[Cette forme est utile pour résoudre f (x) = 0 ou chercher le signe de f (x)].
1
2
CHAPITRE 1. 1ES : POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ
*** Feuille d’exercices 1 ***
1
3
a) Quelle est l’image par la fonction carré de − ?
5
b) Quels sont les antécédents par la fonction carré de
9
et de 36 ?
16
2 Résoudre :
4 2
x = 5.
5
b) 2x2 + 3 = 1, 2x2 + 1 = 1.
a) x2 = 100, x2 = −10,
c) (x − 1)2 = 4, (2x − 3)2 = −3, (3x − 1)2 = 0.
3 Comparer x2 et x2 − 2x + 3.
4
a) f (x) = 2(x − 3)2 + 4. Montrer que f est croissante sur [3; +∞[.
b) f (x) = −3(x − 4)2 + 1. Montrer que f est décroissante sur [4; +∞[.
5 Déterminer 2 points différents qui ont la même ordonnée puis écrire le tableau de variations
des fonctions suivantes :
a) f : x 7−→ x2 + 5x + 4.
b) f : x 7−→ −2x2 + 3x.
6 Donner un encadrement de x2 sachant que :
a) 2 < x ≤ 4.
b) −3 < x ≤ −1.
c) −1 < x ≤ 3.
d) x ∈ [2; 3].
e) x ∈ [−2; −1].
f) x ∈ ] − 2; 3].
7 Pour x ∈ R, on pose f (x) = −2(x − 1)2 + 8.
a) Déterminer la forme développée de f (x).
b) Déterminer la valeur maximale de la fonction et écrire le tableau de variations de f
sur R.
c) Vérifier que f (x) peut aussi s’écrire −2(x + 1)(x − 3).
d) Calculer les coordonnées des points d’intersection de la courbe représentative de f
avec les axes des coordonnées.
e) Soit h ∈ R. Calculer f (1 + h) − f (1 − h).
f) Résoudre f (x) = 4 et f (x) < 4.
8 f (x) = 3(x + 2)2 − 27 forme canonique de f (x).
a) Vérifier que f (x) = 3x2 + 12x − 15 ou f (x) = 3(x − 1)(x + 5).
1.1. VOCABULAIRE
3
b) Choisir l’expression pour calculer :
(i) f (0),
(ii) f (1),
(iii) f (−2).
(iv) un antécédent de 0.
(v) un antécédent de −15.
(vi) un antécédent de −27, −24.
(vii) −30 a-t-il un antécédent ?
c) Signe de f (x) ?
d) Tableau de variations de f :
9 On note x la longueur en cm du côté [AB] :
Déterminer l’expression de l’aire du domaine et déterminer la valeur de x pour que l’aire
soit de 110, 25.
1.1
Vocabulaire
Une fonction polynôme est une fonction P de la forme P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
(forme réduite.
ex : P (x) = 5x4 + 6x3 − 3x2 + 2x − 3
polynôme nul
a0 , a1 , · · · , an sont les coefficients du polynôme.
n est le degré du polynôme.
4
CHAPITRE 1. 1ES : POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ
Le terme ai xi est le terme de degré i.
terme de degré 3 de P ? de degré 1 ?
polynômes de degré 1 ?
polynôme de degré 0 ?
Les polynômes de degré 2 sont les trinômes du second degré.
On appelle racine ou zéro du polynôme tout nombre réel α tel que P (α) = 0. On dit que α est
une racine de P (x) = 0.
ex : 1 est racine de (x − 1)(x + 3)(2x − 1). 1 racine de 3x2 − 5x + 2 ?
déclic : ex 15, 17, 18 page 55
1.2
Forme canonique
1 (pas fait)
Résoudre x2 − 3x = 0, x2 + x = 0, −x2 + 1 = 0, (x + 3)(1 − 2x)(5 + x) = 0, x2 − 9 = 0,
−x2 − 9 = 0 et (x − 2)2 = 4.
Résoudre x2 − 3x ≤ 0, −x2 + 1 < 0, (x + 3)(1 − 2x)(5 + x) ≥ 0 et (x − 2)2 ≥ 4.
2 (pas fait) déclic page 40 : On considère la courbe d’équation y = (x − 1)2 − 5.
a) Quelles sont les coordonnées de son sommet ?
b) Par quelles translations passe-t-on de la parabole d’équation y = x2 à cette courbe ?
c) Résoudre algébriquement (x + 1)2 − 5 = 0. Comment peut-on retrouver les solutions
graphiquement ?
d) Donner les solutions de (x + 1)2 − 5 ≤ 0.
3 (pas fait)
On pose f1 (x) = (x − 1)2 − 2, f2 (x) =
−2(x − 3)2 + 4.
1
(x + 5)2 + 2, f3 (x) = −(x + 2)2 et f4 (x) =
2
a) Résoudre algébriquement les équations fi (x) = 0.
b) Déterminer une factorisation de f1 (x) et f4 (x).
c) Peut-on factoriser f2 (x) ?
***
1 f (x) = x2 + 6x + 5.
(x + 3)2 =? donc f (x) =?.
forme canonique du polynôme f (x).
2 Mettre sous forme canonique :
1.3. RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS
5
a) x2 − 6x − 14.
b) x2 + 8x − 33.
c) x2 + 3x − 4.
4
5
d) x2 − x + .
3
3
2
e) 3x + 9x − 7.
1
f) 3x2 − 7x + .
2
3 déclic : ex 22, 23, 24 page 55, ex 40,41,44,45 p 58
1.3
ax2
Résolution d’équations
+ bx + c = .. = a
!
b 2 b2 − 4ac
−
x+
.
2a
4a2
discriminant ∆=, x1 =, x2 =.
4 Repères : ex 47, 49, 50, 41, 51, 54, 55 p 30
5 Repères : ex 58 p 30, interpolation de Lagrange, 56, 52 (53)
6 Déclic : ex 42, 43 page 58
1.4
Représentation graphique et variations
1.4.1
Extremum
P :7−→ ax2 + bx + c = a(..
C est une translatée de la parabole y = ax2 . Sommet : ..
a > 0, a < 0 (allures parabole, tableau de variation
Pour déterminer l’extremum, on détermine le sommet de la parabole.
1 Déclic : ex 70 p 61, 92 p 64 (aire maximale d’un rectangle)
2 Représenter x 7−→ 2x2 + 8x + 7 :
= 2(..)− 1, sommet, translation.
6
1.4.2
CHAPITRE 1. 1ES : POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ
Signe du trinôme
On regarde la position de la courbe par rapport à l’axe des abscisses :
1.5. ÉQUATIONS QUI SE TRANSFORMENT EN UNE ÉQUATION DU 2ND DEGRÉ
7
ax2 + bx + c est du signe opposé de a entre les racines :
1 Repères : ex 72, 74, 75 p 35, ex 83 p 38
2 Déclic : ex 76, 77 page 62, ex 80, 81 page 63
3 Déclic : ex 25 page 55 (identités 3e degré), ex 51 page 59 (éq symétriques) ex 52,53 page
59, ex 106, 88, 89 page 67
*** Feuille d’exercices 2 ***
√
1 On pose g(x) = x2 + 1.
a) Calculer g 2 (x). Donner son degré. g 2 peut-il s’annuler ?
b) On suppose que g est un polynôme. Quel serait son degré ? Montrer que g s’annule.
c) Conclure.
√
√
2 On pose g(x) = (x2 − 2x + 1)(x2 + 2x + 1).
a) Donner la forme réduite de g. Quelles sont ses racines ?
√
b) Montrer que x2 − 2x + 1 ne peut pas s’annuler.
3 ex 100 p 40
4 Donner les variations (et les montrer) des fonctions f définies sur R par :
a) f (x) = x2 − 8x + 7.
b) f (x) = −3x2 + 6x + 1.
5 Montrer que :
a) Il existe x dans R tel que x2 − 5x + 4 = 0. Notation ..
b) Pour tout x dans [4; +∞[, x2 − 5x + 4 ≥ 0. Notation ..
6 ex 1,2 p 18
7 ex 101, 102 p 40
1.5
Équations qui se transforment en une équation du 2nd degré
*** Feuille d’exercices 3 ***
1 Résoudre :
x 3
5
+ = .
3 x
2
x
x
2
b)
−
+
= 0.
x + 1 x − 1 x2 − 1
x2 + x + 1
x+5
c)
=
.
2
x +1
x+3
a)
8
CHAPITRE 1. 1ES : POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ
2 Résoudre :
a) 2x4 − x2 − 6 = 0.
5
2
+
b) 2x2 + 5x + 2 = 0 puis
+ 2 = 0 (pas fait).
2
(x − 1)
x−1
√
c) 4x + 6 x − 18 = 0.
d) Déclic : ex 82, 83, 84, 85, 86 page 63
3 Repères : ex 76, 77, 78, 79, 81 p 36
4 Déclic : ex 91 page 64
a) Déterminer les longueurs des côtés d’un triangle rectangle dont l’hypothénuse mesure
13 cm et l’aire 30cm2 .
b) Déterminer les triangles isocèles d’aire 60cm2 dont les côtés de même longueur mesurent 13 cm.
c) Déterminer h pour que le trapèze ait une surface de 10m2 (hauteur h, grande base
de 6m et angle de 45˚.
5 Déclic : ex 48, 49a, 49c, 53 p 58, ex 96 page 64
1.6
Factorisation
*** Feuille d’exercices 4 ***
1
2x
1 Résoudre : 2
−
=0
2
x + x − 2 −3x − 5x + 2
2 Résoudre : −6x2 − 10x + 3 < −4 + x.
3x − 13
≤ −1.
x2 + x + 2
2
7
5
4 Résoudre :
−
>
.
x + 7 2x − 1
9(x − 1
3 Résoudre :
5 Factoriser :
a) 4x3 − 5x2 − 9x.
b) 2x3 − 5x2 + 4x − 1.
c) 4x3 + 9x2 − 16x − 36 (-2 est racine).
9
d) x3 − 4x2 − x + 9 (4 est racine).
4
4x2 − 5
6 Montrer que : ∀x ∈ R, −6 < 2
<5
x +x+1
7 (E) désigne l’équation : x4 − 4x3 + 2x2 − 4x + 1.
a) Vérifier que 0 n’est pas solution de (E).
1.6. FACTORISATION
9
1
est solution de (E).
x0
4
1
c) Montrer que (E) est équivalente à l’équation : x2 − 4x + 2 − + 2 = 0.
x x
1 2
d) Développer x +
.
x
4 1
1
e) En posant X = x + , montrer que x2 − 4x + 2 − + 2 = 0 se ramène à une équation
x
x x
du second degré.
b) Montrer que si x0 est solution de (E) alors
f) Résoudre cette équation puis en déduire les solutions de (E).
10
CHAPITRE 1. 1ES : POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ
Chapitre 2
Vecteurs
2.1
Rappels
Une translation est une transformation par laquelle l’image d’une figure est obtenue en faisant
glisser la première. La translation qui transforme A en B est :
• selon la direction AB,
• dans le sens de A vers B,
• d’une longueur égale à AB.
−−→
C’est la translation de vecteur AB et est notée t−−→ .
AB
−
−→
Le couple (A; B) définit un vecteur. On dit que AB est un représentant de ce vecteur.
Soient A, B, C, D 4 points du plan.
−−→ −−→
AB = CD ⇐⇒ (ABDC) est un parallélogramme (éventuellement aplati).
−−→
−
Pour tout point A, il existe un unique point M tel que →
u = AM .
−
(On l’obtient en traçant la parallèle à la direction de →
u passant par A et en reportant la
→
−
→
−
norme de u dans le sens de u .)
relation de Chasles :
On note le repère (0,→
ı ,→
 ) un repère orthonormé.
−−→
−
−
Les coordonnées du vecteur →
u sont les coordonnées du point M tq →
u = OM .
Les coordonnées d’un point M sont notées en ligne (x, y) ; les coordonnées d’un vecteur sont
notées en colonne.
p
−−→
→ + y
→ et k →
→
−
−
u = OM = xı
u k= x2 + y 2 .
On prend 2 points A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ).
−−→
AB a pour!coordonnées!xB − xA et yB − yA .
!
!
→
−0 a0
−−−→0 a + a0
a
λa
→
−
→
−
Si u
et u
alors : u + u
et λ u
.
b
b0
b + b0
λb
yA + yB
xA + xB
Si I est le milieu de [AB] avec A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ) alors : xI =
et yI =
.
2
2
11
12
CHAPITRE 2. VECTEURS
2.2
Colinéarité
Définition :
−
−
Deux vecteurs non nuls →
u et →
v sont dits colinéaires ssi il existe un réel k tel que :
→
−
−
v = k→
u
Propriétés :
−−→
−−→
Deux vecteurs AB et CD sont colinéaires ssi (AB) et (CD) sont parallèles.
−−→ −−→
Les point M est sur la droite (AB) ssi AM et AB sont colinéaires.
Dans un repère
quelconque
!
! :
0
→
−
a
a
−
−
−
et u0
alors : →
u et →
v sont colinéaires ssi :
Si →
u
b
b0
xy 0 − x0 y = 0
Tout vecteur s’exprime de façon unique en fonction de 2 vecteurs non colinéaires.
1 Repères : ex 21,23,24,25,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37 p 329
2 Repères : ex 72,73,74,76,77,78,81 p 333
2.3
Équation de droites
Définition : On appelle vecteur directeur d’un droite, tout vecteur non nul dont la direction est
celle de la droite.
Une droite parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme x = k.
Réciproquement, l’ensemble des points M (x; y) tels que x = k est une droite parallèle à l’axe
des ordonnées.
Une droite non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme y = mx + p (m est
le coefficient directeur et p l’ordonnée à l’origine).
Réciproquement, l’ensemble des points M (x; y) tels que y = mx+p est une droite non parallèle
à l’axe des ordonnées.
Théorème :
Toute droite du plan a une équation de la forme ax+by+c = 0 avec a, b, c réels et (a; b) 6= (0; 0).
Réciproquement, si (a; b) 6= (0; 0) alors ax + by + c = 0 est l’équation d’une droite, appelée
équation cartésienne.
3 Repères : ex 44,45,46,48,52,53,54,55, 57, 59, 60,61,62 p 330
2.4. VECTEUR DIRECTEUR
2.4
13
Vecteur directeur
1
m
!
Le vecteur
0
m
!
Le vecteur
−b
a
Le vecteur
est un vecteur directeur de la droite d’équation y = mx + p.
(m quelconque) est un vecteur directeur de la droite d’équation x = k.
!
est un vecteur directeur de la droite d’équation ax + by + c = 0 avec
(a; b) 6= (0; 0).
4 Repères : ex 43,50,51,63,64 p 330
2.5
Intersection de deux droites
Deux droites d’éq respectives ax + by + c = 0 et a0 x + b0 y + c = 0 (avec (a, b) 6= (0, 0) et
(a0 , b0 ) 6= (0, 0)) sont :
• parallèles si et ssi a0 b − ab0 = 0.
• sécantes si et ssi a0 b − ab0 6= 0.
Deux droites d’éq respectives y = mx + p, y = m0 x + p0 (avec m 6= 0 et m0 6= 0) sont :
• parallèles si et ssi a0 = a.
• sécantes si et ssi a0 6= a.
−−→
−
5 Repères : 64,65, 66(→
u = −2AB), 67, 68(−a + b 6= 0, y = 1, x = −b − a),69 p 332
6 D : 2x − y + 5 = 0
−
D0 : A(1; 2) →
v de coordonnées -3 ;1
00
et D : (m − 1)x + (m − 2)y + 3m − 5 = 0.
Déterminer m pour que :
a) D soit parallèle à D00 .
b) D00 soit parallèle à Ox.
c) D00 soit parallèle à Oy.
d) D0 soit parallèle à D00 .
14
CHAPITRE 2. VECTEURS
*** Devoir à rédiger pour le 3 novembre ***
1 Soit (0,→
ı ,→
 ) un repère orthonormé du plan. On considère 3 points A(0; 4), B(−3; −1) et
C(4; −1).
a) Déterminer une équation des médianes du triangle ABC issues de A et de B et les
coordonnées de leur point d’intersection G.
Vérifier que G est bien sur la médiane issue de C.
52 99 b) Soit E
.
;
41 41
(i) Vérifier que E est le pied de la hauteur issue de B.
(ii) Déterminer une équation des hauteurs du triangle ABC issues de A et de B et
les coordonnées de leur point d’intersection H.
c) Déterminer une équation des médiatrices des segments [BC] et [AC] et les coordonnées de leur point d’intersection Ω.
d) Vérifier que les points G, H et Ω sont sur une même droite (droite d’Euler).
2 Repères : ex 103 p 41
3 facultatifs (donc non notés) : ex 105 p 41, ex 110 p 43
Chapitre 3
Etudes de fonctions
3.1
Fonction inverse
La fonction inverse est la fonction définie sur R∗ par x 7−→ 1/x.
Elle est strictement décroissante sur ] − ∞; 0[∪]0; +∞[.
démonstration : a, b...
1 Variations de x 7−→ 1/x − x + 2.
3.2
Fonction racine carrée
La fonction racine carrée est la fonction définie sur R+ par x 7−→
√
x.
Elle est strictement croissante sur [0; +∞[.
démonstration : a, b...
3.3
Fonction valeur absolue
La fonction valeur absolue est la fonction définie sur R par x 7−→ |x| avec :
|x| =
x si x ≥ 0 . fonction affine par morceaux
−x si x < 0
Rem :
une valeur absolue est toujours positive.
Deux
nombres opposés ont la même valeur absolue.
√
x2 = |x|.
15
16
CHAPITRE 3. ETUDES DE FONCTIONS
Propriétés :
|x| = 0 ⇐⇒ x = 0.
|x| = |y| ⇐⇒ x = ±y.
∀x, y ∈ R, |xy| = |x| × |y|.
∀x ∈ R, ∀y 6= 0, |x/y| = |x|/|y|.
∀x, y ∈ R, |x + y| ≤ |x| + |y|.
Elle est strictement décroissante sur ] − ∞; 0] et strictement croissante sur [0; +∞[.
démonstration : sur R+ , f (x) = x
*** Feuille d’exercices 5 ***
√
√
2 Donner la valeur absolue des nombres suivants : −3, 2 − 3, (−2)2 , (−2)21 .
3 Classer dans l’ordre croissant : | − 2|, |4|, | − π|, | − 5|, |1 − π|.
4 À quel intervalle appartien |x| si x ∈ [0; 5[, x ∈ [−2; 7[ ?
√
5 Résoudre : |x| = 2 et |x| = − 2, |x − 2| = 5, | − 5 − x| = 3.
6 Étudier les variations de x 7−→ |x − 6|.
7 Même question avec x 7−→
p
(3x − 6)2 .
8 Même question avec x 7−→ |1 − x| − 2|x + 3|.
9 Résoudre |x + 1| = |x − 4|, |2x + 1| = 2|x − 3|.
10 Repères : ex 94 p 39
3.4
Fonctions associées
u est une fonction définie sur un intervalle I. k ∈ R.
3.4.1
u+k
C’est la fonction définie sur I par : x 7−→ u(x) + k.
Propriétés :
Elle a les mêmes variations que u.
dém : a, b...
Dans un repère orthogonal (O,→
ı ,→
 ), la courbe de u + k est l’image de la courbe de u par la
→
translation de vecteur k .
ex : u(x) = x2 et f (x) = x2 + 2.
Rem : Plus généralement :
la somme de 2 fct croissantes est croissante.
la somme de 2 fct décroissantes est décroissante.
la somme d’une fct décroissante et d’une fonction croissante peut être croissante ou décroissante.
3.4. FONCTIONS ASSOCIÉES
3.4.2
17
ku
ku est la fonction définie sur I par : x 7−→ k × u(x).
Propriétés :
si k > 0, elle a les mêmes variations que u, si k < 0, elle a les variations contraires de celles
de u,
dém : a, b...
Dans un repère orthogonal (O,→
ı ,→
 ), la courbe de ku est obtenue en mulitpliant par k l’ordonnée de chaque point de la courbe de u.
Rem : si k = −1, les courbes de u et −u sont symétriques par rapport à Ox.
ex : u(x) = x2 et v(x) = 2x2 et w(x) = −x2 .
3.4.3
√
u
Si u est une fonction positive sur I,
√
u est la fonction définie sur I par : x 7−→
p
u(x).
Propriété : elle a les mêmes variations que u,
dém : a, b...
ex : f (x) =
3.4.4
√
x2 + 1.
1
u
Si u est une fonction qui ne s’annule pas sur I, 1/u est la fonction définie sur I par : x 7−→
Propriété : elle a les variations contraires de celles de u,
dém : a, b...
ex : f (x) =
x2
1
.
+1
11 Repères : ex 95,96,97,98,99,101,102 p 39
12 **DM : ex 103, 105, 110(facultatif) p 41**
1
.
x
18
3.5
3.5.1
CHAPITRE 3. ETUDES DE FONCTIONS
Fonctions polynômes
Trinôme : ax2 + bx + c avec a 6= 0
Si a > 0, f est strictement croissante sur ] − ∞; α] et strictement décroissante sur [α; +∞[. Si
a < 0, c’est le contraire.
L’extremum a pour coordonnées : (α, β = f (α)) ((a, b) est un minimum si a > 0).
Factorisation :
Si ∆ > 0, on a 2 racines x1 et x2 : ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ).
Rem : x1 × x2 = c/a
Si ∆ = 0, on a une racine x1 : ax2 + bx + c = a(x − x1 )2 .
Si ∆ < 0, ax2 + bx + c ne se factorise pas.
3.5.2
Fonction cube
La fonction cube est la fonction définie sur R par x 7−→ x3 .
Elle est strictement croissante sur R.
démonstration :
Soient a et b 2 réels tels que a < b (a − b < 0).
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ).
Comme a − b < 0 et a2 + ab + b2 > 0, on a : a3 − b3 < 0.
3.5.3
Polynôme
P (x) est de la forme a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · an xn .
Pour les variations, on regarde si P est la somme de fonctions croissantes ou de fonctions
décroissantes. Sinon, on verra plus tard (chapitre 5) ! !
Pour résoudre P (x) = 0 ou P (x) > 0, on essaie de factoriser P . Pour cela, si l’on connaı̂t une
racine α (hasard ou donnée), on écrit :
P (x) = (x − α)Q(x) avec Q un polynôme de degré 1 de moins que celui de P .
ex : Résoudre x3 − 4x2 + 4x − 1 = 0 (voir module).
3.6. POSITIONS RELATIVES
3.6
3.6.1
19
Positions relatives
Cas général
f est supérieure à g sur I, notée f ≥ g si sur I si : ∀x ∈ I, f (x) ≥ g(x).
La courbe de f est au dessus de celle de g sur I.
f est inférieure à g sur I, notée f ≤ g si sur I si : ∀x ∈ I, f (x) ≤ g(x).
La courbe de f est au dessus de celle de g sur I.
14 Étudier les positions relatives de y = 1/x et y = 4x.
15 Repères : ex 80 p 37
3.6.2
Un cas particulier
x 0
x2 0
√
x 0
Si 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ x ≤
√
1
4
1
2
1
2
1
4
1
1
1
√
2 2
2 √
2
x.
Démonstration :
√
Si x = 0, 02 ≤ 0 ≤ 0.
Si 0 < x ≤ 1 :
• On multiplie l’inégalité x ≤ 1 par x qui est strictement positif : cela donne :
x2 ≤ x .
√
√
• Racine
étant strictement croissante sur R+ , 0 < x ≤ 1 donne : 0 < x ≤
√
√
1. c’est-à-dire 0 < x ≤ 1.
√
√
On mulitplie ensuite l’inégalité x ≤ 1 par x qui est strictement positif ;
√
cela donne x ≤ x .
20
CHAPITRE 3. ETUDES DE FONCTIONS
√
x ≤ x ≤ x2 .
√
16 a) Comparer 3, 14, 3,14 et 3, 142 .
√
b) Comparer π − 3, π − 3 et (π − 3)2 .
√
√
√
√
√
17 Soit A = 3 − 2 2. Calculer ( 2 − 1)2 et A2 puis comparer 2 − 1; 3 − 2 2 et 17 − 12 2.
Si x ≥ 1,
3.7
Composée
Proposer un enchaı̂nement de fonctions qui définit : 1/(x − 3), 1/(x + 2)2 .
18 Déterminer f ◦ g et g ◦ f quand cela est possible dans les cas :
a) f (x) = 2x + 3 et g(x) = x2 .
x2
et g(x) = 3x − 2.
x2 + 1
x2
c) f (x) = 2x − 1 et g(x) = 2
.
x +2
1
1
d) f (x) = et g(x) =
.
x
x−2
b) f (x) =
*** Feuille d’exercices 6 ***
√
√
1 Soit A = 3 − 2 2. Calculer ( 2 − 1)2 puis comparer
√
√
√
2 − 1; 3 − 2 2 et 17 − 12 2.
√
2 Pour x ∈ [0; +∞[, on pose f (x) = 2 x et g(x) = x + 1.
Étudier la position relative des 2 courbes.
x2 − 5x + 5
3 Pour x ∈ R − {3}, on pose f (x) =
.
x−3
Étudier la position relative de la courbe de f avec la droite d’éq y = x − 2.
√
x x2
x
4 Pour x ∈ [0; 1], on pose f (x) = x + 1, g(x) = 1 + et h(x) = 1 + − .
2
2
8
a) Comparer (f (x))2 et (g(x))2 .
√
x
b) En déduire que : ∀x ∈ [0; 1], 1 + x ≤ 1 + .
2
c) Montrer que ∀x ∈ [0; 1], f (x) est positif et comparer (f (x))2 et (h(x))2 .
√
x x2
d) En déduire que : ∀x ∈ [0; 1], 1 + x ≥ 1 + − .
2
8
e) Décrire les posityions relatives des courbes de f , g et h.
√
f) Donner un encadrement de 1, 000002 et l’amplitude de cet encadrement.
Chapitre 4
Nombre dérivé
4.1
4.1.1
Nombre dérivé
Définitions taux d’accroissement
Fichier PenteTg2 sous geoplan
f (x) = x2 et A(1; 1). B d’abscisse 1 + h.
La pente de (AB) vaut :
yB − yA
f (1 + h) − f (1)
=
= 2 + h.
xB − xA
1+h−1
h = 0, 75; 0, 1; 0, 0001.
Lorsque B se rapproche de A, h se rapproche de 0 (tend vers 0) et T se rapproche de 2 (tend
vers 2).
Soient f une fct définie sur I et a, a + h 2 réels de I (avec h 6= 0).
Déf 1 :
Le taux de variation ou taux d’accroissement entre a et a + h est : T =
f (a + h) − f (a)
.
h
ex : f (x) = x2 + 1, a = 2. T =.
ex : f (x) = −x2 + 4 et a = 0 ; a = 2.
4.1.2
Limite en 0
ex : h2 + 2h + 3
h
0, 1
0, 01
0, 001
−0, 1 −0, 01 −0, 001
h2 + 2h + 3 3, 321 3, 0301 3, 003001 2, 71 2, 9701 2, 997001
21
22
CHAPITRE 4. NOMBRE DÉRIVÉ
Lorsque h se rapproche de 0, h2 + 2h + 3 se rapprcohe de 3.
On note : lim (h2 + 2h + 3) = 3.
ex 2 :
h−→0
1/(h2 ).
ex 3 : |h|/h.
4.1.3
Nombre dérivé
f est dérivable en a si, le taux d’accroissement de f entre a et a + h a une limite lorque h tend
vers 0.
f (a + h) − f (a)
= L.
On note lim
h−→0
h
Le réel L s’appelle nombre dérivé de la fonction f en a et on le note f 0 (a).
ex : f (x) = x3 et a = 1. T = h2 + 2h + 3 qui tend vers 3 (voir ci-dessus)
1 nombre dérivé de x2 en 1 ; 1/x en 2 ; 2x + 1 en 1 ; 3 en 2.
2 Repères : ex 37,38,39,40 p 74
3
a) Que veut dire ”f dérivable en a” et ”f non dérivable en a”.
√
b) Soit f : x 7−→ x pour x ≥ 0.
(i) Calculer le taux de variation en 0.
(ii) Calculer ce taux pour h = 10−1 , h = 10−2 , h = 10−3 , h = 10−8 , h = 10−16 .
(iii) Comment doit-on choisir h pour que ce taux soit supérieur à 104 , 109 , 1050 ?
(iv) En déduire le comportement de ce rapport quand h tend vers 0.
(v) Qu’en déduit-on pour f ?
(vi) Tracer la courbe de f sur [0, 1].
c) (i) Tracer la fonction f : x 7−→ |x|.
(ii) Peut-on penser que f est dérivable en 0 ?
(iii) Exprimer le taux de variation sans valeur absolue en distinguant les cas h > 0 et
h < 0.
(iv) Que fait ce taux quand h tend vers 0 en restant négatif ?
Que fait ce taux quand h tend vers 0 en restant positif ?
Conclusion :
Le taux n’a pas de limite quand h tend vers 0 : f n’est pas dérivable en 0.
Le taux a une limite quand h tend vers 0 en restant positif : on dit que f est
dérivable à droite en 0.
Le taux a une limite quand h tend vers 0 en restant négatif : on dit que f est
dérivable à gauche en 0.
(v) Quel est le nombre dérivé à droite ?
4.2. FONCTION DÉRIVÉE
4.1.4
23
Interprétation graphique
Fichier PenteTg2 sous geoplan
Déf 3 :
Si f est dérivable en a, la droite passant par le point d’abscisse a et de coef directeur f 0 (a) est
la tangente à la courbe de f en ce point.
Graphiquement, lorsque h tend vers 0, le point B se rapproche du point A et la droite (AB)
tend vers une position ”limite”, la droite tangente à la courbe en A, qui a pour coef directeur
f 0 (a).
éq de cette tangente :
le coef directeur valant f 0 (a), y = f 0 (a)x + b.
Le point d’abscisse a étant sur cette droite, f (a) = f 0 (a)a+b d’où b = f (a)−f 0 (a)a
et y = f 0 (a)x + f (a) − f 0 (a)a.
y=f’(a)(x-a)+f(a)
4 Repères : ex 42,45,(46,47) p 75, 49, (50) p 76
5 *** Module *** ex 52, 53 p 76
6
a) Calculer les nombres dérivés en a de f définie par :
(i) f (x) = x2 en a = 1 et en a qcq.
(ii) f (x) = x en a = 1 et en a qcq.
(iii) f (x) = 3 en a = 2 et en a qcq.
1
(iv) f (x) = en a = 2 et en a qcq.
x
b) Déterminer les équations des tangentes en a à la courbe des fonctions f de la question
précédente.
7 Déclic : ex 10, 11, 12, 13, 15, 9 page 82, ex 60 p 90
4.2
4.2.1
Fonction dérivée
Définition
f est dérivable sur un ens D si f est dérivable en tout point de D.
fct dérivée : f 0 : D −→ R, a 7−→ f 0 (a).
Si on connaı̂t f 0 (x), inutile de revenir à la déf
24
CHAPITRE 4. NOMBRE DÉRIVÉ
4.2.2
Dérivées des fonctions usuelles
fct constante x 7−→ k. taux *** fct identité. taux *** fct carrée.taux *** fct cube. taux *** fct
puissance avec n ≥ 2 *** fct inverse. taux *** fct racine carrée. taux avec quantité conjuguée
*** fct sinus et cosinus
4.2.3
Opérations
dérivées de ku, u + v, uv, 1/v, u/v.
Propriétés :
Les fct affines et polynômes sont dérivables sur R.
Les fct homographiques et rationnelles sont dérivables sur leur ensemble de définition.
8 Repères : ex 56 à,57,58,59,60,61,62,63 p 77
9 Repères : ex 65 (66), 67(68),69,70,71 p 78
4.3. APPROXIMATION AFFINE
4.3
25
Approximation affine
Soit f une fonction dérivable en a.
f (a + h) − f (a)
Pour h 6= 0, on pose (h) =
− f 0 (a) ; h(h) = f (a + h) − f (a) − hf 0 (a).
h
Si f est dérivable en a, lorsque h tend vers 0, (h) tend vers ?, h(h) tend vers ?
Donc f (a) + hf 0 (a) est une valeur approchée de : f (a + h).
On dit que f (a) + hf 0 (a) est l’approximation affine de f (a + h) pour h proche de 0.
h(h) est l’erreur.
10 Soit f (x) = x2 .
a) Déterminer l’approxiamtion affine de f (1 + h).
b) Calculer mentalement (1, 024)2 .
1
1
1
,
,
. (1, 004)3 , (0, 98)3 , (0, 991)3 .
11 Calculer
1, 003 0, 98 0, 991
12 Méthode d’Euler
But : approcher pas à pas une fonction dont on connaı̂t la dérivée (distance parcourue par
un objet dont on connaı̂t le point de départ et sa vitesse instantanée).
1
On connaı̂t f 0 (x) = .
x
a) Sur la moitié supérieure d’une feuille de papier millimitré, tracer un repère orthonormé.
Placer le point M0 = (1, 0).
b) Choisir un pas de 1. Compléter la 1e et 3e ligne du tableau :
x
1 2 3 4 5 6
f (x)
0
0
f (x)
accroissement
c) Tracer la droite passant par M0 et de coefficient directeur f 0 (1).
On assimile la courbe à cette droite sur [1; 2]. Placer le point M1 d’abscisse 2. Quelle
valeur approchée de f (2) obtient-on ? La calculer. En déduire l’accroissement entre
M0 et M1 .
d) Recommencer avec le tracé de la droite passant par M1 et de coefficient directeur
f 0 (2). On trouve M2 . Compléter les 2e et 4e ligne.
Voici les courbes obtenues avec 4 pas différents superposées avec la vraie fonction :
26
CHAPITRE 4. NOMBRE DÉRIVÉ
13 Utiliser la méthode de l’exercice précédent avec un pas de 0,5 sur [0; 3] et la fonction qui
vérifie f (0) = 0 et f (x) =
4.4
1
.
1 + x2
Variations
Soit f une foncton croissante et dérivable sur I.
f (a + h) − f (a)
f (a + h) − f (a)
Si h < 0 alors
est positif. Si h > 0 alors
est positif.
h
h
Donc : Si f est croissante alors pour tout a de I, f 0 (a) ≥ 0.
De même, Si f est décroissante alors pour tout a de I, f 0 (a) ≤ 0.
Si f est constante alors pour tout a de I, f 0 (a) = 0.
Réciproque : Théorème
Si f
si
si
si
est dérivable sur I :
pour tout x de I, f 0 (x) ≥ 0 alors f est croissante.
pour tout x de I, f 0 (x) ≤ 0 alors f est décroissante.
pour tout x de I, f 0 (x) = 0 alors f est constante.
14 Repères : ex 82,83, 84,85,87,88,90,93,94,95,96, 77,78,79,81,81’ p 82
4.5. QUELQUES EXERCICES EN PLUS ...
27
15 ***Module*** : ex 100 p 84
16 En utilisant les fonctions dérivées, trouver les variations de : x 7−→ x2 , x 7−→ x3 .
1
x
17 On pose f (x) = x3 et g(x) = . Existe-t-il un réel x0 où les courbes ont au point d’abscisse
x0 des tangentes parallèles ?
18 Déclic : ex 48 1) page 87, ex 36 p 85, ex 53, 51, 56, 60, 61 p 88
4.5
Quelques exercices en plus ...
***Feuille d’exercices 7 ***
1 Pour x ∈ [0; 1], on pose f (x) =
√
x + 1, g(x) = 1 +
x
x x2
et h(x) = 1 + − .
2
2
8
a) Comparer (f (x))2 et (g(x))2 .
c)
d)
e)
f)
2
√
x
.
2
Montrer que ∀x ∈ [0; 1], f (x) est positif et comparer (f (x))2 et (h(x))2 .
√
x x2
En déduire que : ∀x ∈ [0; 1], 1 + x ≥ 1 + − .
2
8
Décrire les positions relatives des courbes de f , g et h.
√
Donner un encadrement de 1, 000002 et l’amplitude de cet encadrement.
b) En déduire que : ∀x ∈ [0; 1],
1+x≤1+
a) Proposer un enchaı̂nement de fonctions qui définit : 1/(x − 3), 1/(x + 2)2 .
b) Déterminer f ◦ g et g ◦ f quand cela est possible dans les cas :
(i) f (x) = 2x + 3 et g(x) = x2 .
x2
et g(x) = 3x − 2.
x2 + 1
x2
(iii) f (x) = 2x − 1 et g(x) = 2
.
x +2
1
1
(iv) f (x) = et g(x) =
.
x
x−2
(ii) f (x) =
3 Repères : ex 100 p 84
4 Repères : ex 52, 53 p 76
5
a) Que veut dire ”f dérivable en a” et ”f non dérivable en a”.
√
b) Soit f : x 7−→ x pour x ≥ 0.
(i) Calculer le taux de variation en 0.
(ii) Calculer ce taux pour h = 10−1 , h = 10−2 , h = 10−3 , h = 10−8 , h = 10−16 .
(iii) Comment doit-on choisir h pour que ce taux soit supérieur à 104 , 109 , 1050 ?
28
CHAPITRE 4. NOMBRE DÉRIVÉ
(iv) En déduire le comportement de ce rapport quand h tend vers 0.
(v) Qu’en déduit-on pour f ?
(vi) Tracer la courbe de f sur [0, 1].
c) (i) Tracer la fonction f : x 7−→ |x|.
(ii) Peut-on penser que f est dérivable en 0 ?
(iii) Exprimer le taux de variation sans valeur absolue en distinguant les cas h > 0 et
h < 0.
(iv) Que fait ce taux quand h tend vers 0 en restant négatif ?
Que fait ce taux quand h tend vers 0 en restant positif ?
Conclusion :
Le taux n’a pas de limite quand h tend vers 0 : f n’est pas dérivable en 0.
Le taux a une limite quand h tend vers 0 en restant positif : on dit que f est
dérivable à droite en 0.
Le taux a une limite quand h tend vers 0 en restant négatif : on dit que f est
dérivable à gauche en 0.
(v) Quel est le nombre dérivé à droite ?
6 f est la fonction définie par f (x) = x3 et C sa courbe représentative dans un repère
orthonormal.
Soient a un réel et M le point de C d’abscisse a.
On note H le projeté orthogonal de M sur l’axe des ordonnées.
On appelle T la tangente à C au point M ; elle coupe l’axe des ordonnées en I.
a) Quelles sont les coordonnées de H ?
b) Écrire une équation de T .
c) Calculer les coordonnées de I.
−→
−−→
d) Vérifier que OI = −2OH.
e) En déuire une méthode pour construire la tangente en n’importe quel point de C.
7 Un puits a 24,2m de profondeur et il est à sec. On lâche une pierre dans ce puits à l’instant
t = 0.
La loi horaire du déplacment est donnée par d(t) = 5t3 avec d(t) en mètres et t en secondes.
a) À quel instant t0 , la pierre touche-t-elle le fond ?
b) Calculer la vitesse moyenne de la pierre entre les instants t0 − h et t0 avec h > 0.
c) En déduire la vitesse instantanée de la pierre au moment où elle touche le fond.
Chapitre 5
Statistiques
5.1
Vocabulaire
La population est l’ensemble des individus sur lesquels porte l’étude statistique.
L’individu est un ”élément” de la population.
Le caractère d’une série statistique est la propriété étudiée.
Le caractère est dit quantitatif s’il ne prend que des valeurs numériques.
Sinon il est dit qualitatif (ex : langue vivante LV2 étudiée).
Le caractère est dit quantitatif discret s’il ne prend qu’un nombre fini ou dénombrable de
valeurs numériques (ex : notes au dernier devoir).
Le caractère est dit quantitatif continu s’il prend une infinité de valeurs numériques (ex : tailles
des élèves de la classe).
On prend les centres de classe pour les calculs.
L’effectif total de la série est le nombre total d’individus. On le notera en général N .
L’effectif de la valeur xi est le nombre d’individus ayant cette valeur. On le notera en général
ni .
La fréquence de xi est la proportion d’individus ayant cette valeur (quotient de l’effectif par
l’effectif total). On la notera en général fi .
L’effectif cumulé croissant (ECC) de la valeur xi est la somme des effectifs des valeurs
inférieures à xi .
L’effectif cumulé décroissant (ECD) de la valeur xi est la somme des effectifs des valeurs
supérieures à xi .
La fréquence cumulée croissante (FCC) de la valeur xi est la somme des fréquences des valeurs
inférieures à xi .
Lafréquence cumulée décroissante (FCD) de la valeur xi est la somme des fréquences des
valeurs supérieures à xi .
L’étendue d’une série est la différence entre les valeurs extrêmes du caractère.
Le mode d’une série est la valeur ayant l’effectif le plus grand.
29
30
5.2
5.2.1
CHAPITRE 5. STATISTIQUES
Présentation des données
Liste
Exemple 1 : le nombre de battements de coeur de quelques personnes adultes :
53
104
176
188
121
116
83
5.2.2
112
130
99
59
111
79
102
110 79 84 101
118 106 105 89
83 78 111 112
66 81 122 73
103 106 125 79
93 88 101 132
121 99 89 109
97
102
101
92
112
131
95
93
91
76
58
71
86
99
103 78
66 81
135 81
134 103
96 81
105 91
101 70
Tableau avec effectifs
On donne les valeurs avec le nombre d’individus prenant cette valeur.
Exemple 2 : nombre de postes de télé chez quelques familles :
Télévision 0 1 2 3 4
Effectif
7 16 15 2 1
5.2.3
Tableau avec classes
On donne un intervalle de valeurs avec le nombre d’individus dont la valeur du caractère est
dans cet intervalle. Par convention, la borne supérieure de l’intervalle est exclue.
Exemple 3 : Tailles en cm de personnes d’un club :
Taille
[150; 160[ [160; 170[ [170; 180[ [180; 190[
Effectif
3
14
15
8
Pour les calculs, tout se passe comme si on était dans le cas d’un tableau avec effectifs car les
intervalles sont remplacé pas des centres de classes.
En résumé, les valeurs de la série sont notées x1 , x2 , · · · (valeurs ou centre de classes). ni sont
les effectifs ou 1.
5.3
5.3.1
Indicateurs statistiques de tendance
Moyenne
La moyenne d’une série dont les valeurs du caractère sont x1 , x2 , · · · , xk et les effectifs correspondants n1 , n2 , · · · , nk vaut la somme des valeurs divisée par l’eff total :
5.4. DIAGRAMME EN BOÎTES OU BOÎTES DE TURKEY
PN
x=
i=1 ni xi
N
=
N
X
31
fi xi
i=1
ex : 14,17,13,12,15,12 donnent 13,83.
5.3.2
Médiane
La médiane partage la série en 2 groupes de même effectif : 50% au moins des individus ont une
valeur inférieure ou égale à la moyenne.
ex : la médiane de la série ci-dessus est 13,5.
Pour déterminer la médiane, Me :
on range les N valeurs dans l’ordre croissant.
N + 1 ème
Si N est impair, Me est la
valeur.
2
N
N
Si N est pair, Me est la demi-somme de la ème valeur et de
+ 1 ème .
2
2
5.3.3
Quartiles
Les quartiles partagent la série en 4 groupes de même effectif. Q1 est le plus petit nombre tel
que 25% des données sont inférieures ou égales à ce nombre.
N
On range la série dans l’ordre croissant. On appelle n le plus petit entier supérieur ou égal à .
4
Q1 est la nème valeur de la série.
Ex (7 valeurs) : 12,12,14,15,16,16,17
ex2 (6 valeurs) ; ex3 : (5 valeurs) ; ex4 : (4 valeurs)
5.3.4
Déciles/Centiles
Les déciles partagent la série en 10 groupes de même effectif.
5.4
Diagramme en boı̂tes ou boı̂tes de Turkey
On reporte sur un axe graduée le minimum, le 1er quartile, la médiane, le 3e quartile et le
maximum.
voir Repères page 173 n 85
Remarque : parfois, on représente min, D1 , Q1 , Me, Q3 , D9 et max.
1 Repères 50,51,53,55,56 p 166, ex 60 p 167, ex 63 p 168, ex 65,66 p 169
32
CHAPITRE 5. STATISTIQUES
5.5
Indicateurs statistiques de dispersion
Ces notions servent à quantifier la dispersion autour de la moyenne.
5.5.1
Rappels
L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur.
L’écart interquartile est la différence entre Q3 et Q1 .
5.5.2
Variance
x1 , · · · , xk est un échantillon de moyenne x. La variance est la moyenne des carrés des écarts
entre chaque terme de la série et la moyenne :
k
1 X
ni (xi − x)2
var X = V =
N i=1
(Si la série est continue, xi est le centre de classe.)
La variance s’exprime dans les unités des données au carré.
1X
1X
Remarque : var =
ni (xi − x)2 =
ni x2i − (x)2 (plus rapide pour les calculs).
n i
n i
k
k
1 X
1 X ni (xi − x)2 =
ni (xi )2 − 2xi x + (x)2
N i=1
N i=1
k
k
k
1 X
1 X
1 X
ni x2i − 2
ni xi x +
ni (x)2
=
N i=1
N i=1
N i=1
k
k
k
1 X
1 X
1 X
=
ni x2i − 2x
ni xi + (x)2
ni
N i=1
N i=1
N i=1
k
k
1 X
1
1 X
ni x2i − 2x × x + (x)2 × N =
ni x2i − 2(x)2 + (x)2 .
=
N i=1
N
N i=1
5.5.3
Écart-type
√
L’écart-type vaut σ =
V.
L’écart-type s’exprime dans les mêmes unités que les données. Plus l’écart-type est faible, plus
la population est homogène.
2 Repères ex 13,14,15,20,21,22,25,26,28 p 160, ex 30,31,32,34,36,37 p 162, ex 45 p 165
3 Repères ex 33 p 162, ex 41,42,43 p 164, ex 46, 47,48, 49 p 165
5.5. INDICATEURS STATISTIQUES DE DISPERSION
33
1 ex 18 p233. x = 4, 68, var = 9, 098 et σ = 3, 016.
2 ex 19 p 233 (module sur excel) écart à la moyenne : |xi − x|.
3 ex 20 p 233 (module avec en plus médiane, quartiles et déciles)
4 ex 23,25 p 234 (calcul d’écart-type) (pas faits)
5 ex 27 p 235 (calcul d’écart-type en continu) (pas fait)
6 ex 28 p 235 (calcul d’écart-type en continu)
Corrigé :
1) On fait les calculs avec les centres de classe :
xi
7, 5
22, 5
45
90
180
ni
57
135
104
52
12
360
ni xi
427, 5
3037, 5
4680
4680
2160
14985
|xi − x|
34, 125
19, 125
3, 375
48, 375
138, 375
ni (xi − x)2
66377, 39
49378, 36
1184, 63
121687, 31
229771, 69
468399, 38
ni x2i
3206, 25
68343, 75
210600
421200
388800
1092150
P
ni xi
.
n
On calcule sur chaque ligne du tableau ni × xi puis on fait la somme (14985) et
l’on divise par l’effectif total : 360
Donc x = 41, 625. (On peut aussi utiliser le mode Stats-1var de la calculatrice
avec L1 et L2 .)
P
ni (xi − x)2
Formule : var =
.
n
(moyenne des carrés des écarts à la moyenne.)
Pour calculer la variance, on calcule les écarts à la moyenne |xi − x| qui est la
différence qu’a chaque valeur avec la moyenne (en valeur absolue). Par exemple
la 1e valeur est 41,625-7,5.
La variance étant la moyenne des carrés de ces écarts, on fabrique la 5e colonne
du tableau que l’on somme et divise par 360.
Formule : x =
var =
468399, 375
= 1301, 11
360
ni x2i
− x2 .
n
(moyenne des carrés - carrés de la moyenne).
On calcule dans la 6e colonne, les ni x2i . La somme vaut 1092150. En divisant
par 360 , on trouve 3033,75. La moyenne des carrés vaut donc 3033,75. Il reste à
soustraire le carré de la moyenne : 3033, 75 − (41, 625)2 = 1301, 11.
L’écart-type sera la racine carrée de la variance que l’on vient de trouver : σ =
36, 07.
P
Autre méthode : var =
34
CHAPITRE 5. STATISTIQUES
2) L’écart-type valant 36, on n’a, dans la 4e colonne des écarts, seulement la 4e et la 5e
valeur qui sont supérieures à l’écart-type.
Cela concerne donc (52+12) 64 personnes sur 360 ce qui donne :
64
× 100 = 17, 78%.
360
7 ex 29 p 235 (calcul d’écart-type)
Corrigé :
1) On trouve x = 10 et σ = 1, 5.
2) On trouve x = 9, 8 et σ = 2, 64.
3) L’écart-type a varié de 1,14 ;
1, 14
× 100 = 76%.
ce qui représente une hausse de
1, 5
*** fin séance
8 ex 54 p 241 ( *** à rédiger pour le vendredi 4 décembre ***)
5.6. PROPRIÉTÉS DES PARAMÈTRES
5.6
5.6.1
35
Propriétés des paramètres
Fonction affine
Exemple 1 : moyenne des notes : 11
Si on rajoute 1 pt à tout le monde, nouvelle moyenne = ?
Si le coefficient de ce devoir est de 2, quelle est la moyenne sur 40 ?
Exemple 2 : Un chimiste a relevé les températures d’un liquide lors d’une expérience.
Il a obtenu les résultats suivants, exprimés en degrés Celsius :
61,62,62,63,64,64,64,66,68,69,71,71,71,73,73,75,75.
a) Calculer moyenne et écart-type de cette série, médiane et écart interquartile.
b) Pour transmette ses résultats à un collègue américain, il exprime ses températures en degrés
Fahrenheit. (tF = 1, 8tC + 32).
Exprimer les nouvelles températures et calculer les 6 caractéristiques de cette nouvelle série.
Propriété : Soient a et b 2 réels et (x1 , · · · , xn ) une série de taille n et de moyenne x.
La nouvelle série définie par yi = axi + b a pour nouveaux paramètres :
X
Y
moyenne variance écart-type
médiane
écart interquartile
x
VX
σX
Me
Q3 − Q1
2
ax + b
a VX
|a|σX
a × Me + b
|a|(Q3 − Q1)
1 ex 8,9 page 231
2 Sur 30 copies, la moyenne est de 9,5, l’écart-type de 3,5 et la médiane de 10,4.
a) Que deviennent ces paramètres si toutes les notes sont augmentées de 10% ?
b) Le 31e élève a rendu son devoir en retard et a eu 12.
Quelle est la nouvelle moyenne ?
Quelle note aurait pu donner une moyenne de la classe de 9,7 ?
Quelle note aurait pu donner une moyenne de la classe de 10 ?
3 Une agence propose des voyages dont le prix moyen est de 540 euros et le prix médian de
450 euros.
Le voyagiste décide de baisser ses prix de 10% et de demander 50 euros pour frais de
dossier.
a) Le prix moyen augmente-t-il ?
b) Le prix médian augmente-t-il ?
c) Les acheteurs potentiels en tirent-ils bénéfice ?
4 ex 48 p 239
36
CHAPITRE 5. STATISTIQUES
5.6.2
Moyenne par paquets
Une série partagée en sous-séries x1 , · · · xp disjointes de moyennes et effectifs (xi , ni ) a pour
moyenne :
P
ni xi
x = Pi
i ni
1 ex 4,5,6,7 page 231
2 Répartitiion poulation française par classe d’âge et par sexe au 1er janvier 2004 :
Femmes Hommes Total
Total
30788805 29111463
moins de 15 ans
17, 6%
19, 6%
de 15 à 24 ans
12, 5%
13, 6%
de 25 à 34 ans
12, 9%
13, 8%
de 35 à 44 ans
14, 1%
14, 6%
de 45 à 54 ans
13, 7%
14, 1%
de 55 à 64 ans
10, 3%
10, 6%
de 65 à 74 ans
9, 0%
7, 9%
plus de 75 ans
9, 8%
5, 9%
a) Calculer une estimation de l’âge moyen des hommes et de celui des femmes au 1er
janvier 2004.
b) Calculer une estimation de l’âge moyen de l’ensemble de la population au 1er janvier
2004 de 2 façons.
3 ex 52 p 241
4 ex 55 p 241 (DM)
Chapitre 6
Variations et dérivées
6.1
Variations
Soit f une foncton croissante et dérivable sur I.
f (a + h) − f (a)
f (a + h) − f (a)
Si h < 0 alors
est positif. Si h > 0 alors
est positif.
h
h
Donc : Si f est croissante alors pour tout a de I, f 0 (a) ≥ 0.
De même, Si f est décroissante alors pour tout a de I, f 0 (a) ≤ 0.
Si f est constante alors pour tout a de I, f 0 (a) = 0.
Réciproque : Théorème
Si f
si
si
si
est dérivable sur I :
pour tout x de I, f 0 (x) ≥ 0 alors f est croissante.
pour tout x de I, f 0 (x) ≤ 0 alors f est décroissante.
pour tout x de I, f 0 (x) = 0 alors f est constante.
1 En utilisant les fonctions dérivées, trouver les variations de : x 7−→ x2 , x 7−→ x3 .
2 Repères : ex 82,83 p 82
3 Déclic : ex 48 1) page 87, ex 36 p 85, ex 53, 51, 56, 60, 61 p 88
6.2
Extrema
Soit f une fonction définie sur son domaine D. Soit x0 ∈ D.
f admet un maximum local en x0 s’il existe un intervalle J tel que : ∀x ∈ J, f (x) ≤ f (x0 ).
f admet un minimum local en x0 s’il existe un intervalle J tel que : ∀x ∈ J, f (x) ≥ f (x0 ).
f admet un maximum absolu en x0 si : ∀x ∈ D, f (x) ≤ f (x0 ).
37
38
CHAPITRE 6. VARIATIONS ET DÉRIVÉES
f admet un minimum absolu en x0 si : ∀x ∈ D, f (x) ≥ f (x0 ).
Théorème : Si f a un extremum local en x0 alors f 0 (x0 ) = 0.
Graphiquement, on a une tg horizontale en x0 .
! : ce n’est pas équivalent, c’est une CS : f (x) = x3 .
4
Réciproque : Si f est dérivable en x0 , si f 0 (x0 ) ET si f 0 change de signe en x0 alors f a un
extremum local en x0 .
4 84,85,87,88,89, 90,93,94,95,96,
5 Repères : 77,78,79,81 p 82
1
x
6 On pose f (x) = x3 et g(x) = . Existe-t-il un réel x0 où les courbes ont au point d’abscisse
x0 des tangentes parallèles ?
7 ***DM : 104 et 105 p 85***
6.2. EXTREMA
39
***Feuille d’exercices 8 ***
1
a) Que veut dire ”f dérivable en a” et ”f non dérivable en a”.
√
b) Soit f : x 7−→ x pour x ≥ 0.
(i) Calculer le taux de variation en 0 pour h = 10−1 , h = 10−2 , h = 10−3 , h = 10−8 ,
h = 10−16 .
(ii) Comment doit-on choisir h pour que ce taux soit supérieur à 104 , 109 , 1050 ?
(iii) En déduire le comportement de ce rapport quand h tend vers 0.
(iv) Qu’en déduit-on pour f ?
(v) Tracer la courbe de f sur [0, 1].
c) (i) Tracer la fonction f : x 7−→ |x|.
(ii) Peut-on penser que f est dérivable en 0 ?
(iii) Exprimer le taux de variation sans valeur absolue en distinguant les cas h > 0 et
h < 0.
(iv) Que fait ce taux quand h tend vers 0 en restant négatif ?
Que fait ce taux quand h tend vers 0 en restant positif ?
Conclusion :
Le taux n’a pas de limite quand h tend vers 0 : f n’est pas dérivable en 0.
Le taux a une limite quand h tend vers 0 en restant positif : on dit que f est
dérivable à droite en 0.
Le taux a une limite quand h tend vers 0 en restant négatif : on dit que f est
dérivable à gauche en 0.
(v) Quel est le nombre dérivé à droite ?
2 P (x) = 5x2 − 2x + 3.
a) Calculer P 0 (x) et P 00 (x).
b) Calculer P (0) + P 0 (0) + P 00 (0)/2.
3 P est la parabole d’équation y = x2 et A(−1; 1).
a) On appelle d la droite passant par A et non parallèle à l’axe des ordonnées.
Montrer que d a une équaton de la forme y = mx + m + 1 avec m ∈ R.
b) Résoudre x2 = mx + m + 1.
c) En déduire que d coupe P en 2 points distincts sauf pour une certaine valeur de m.
d) Montrer que si m vaut cette valeur alors d est tangente à P.
4 P (x) = x3 − 3x2 + 3x − 3.
Montrer que pour tout x ∈ ]2; 2, 2[, P (x) < −0, 2.
40
CHAPITRE 6. VARIATIONS ET DÉRIVÉES
Chapitre 7
Angles et trigonométrie
7.1
7.1.1
Radian
Cercle trigonométrique
(0,→
ı ,→
k ) est un repère orthonormé direct. C est le cercle trigonométrique de centre O, e rayon
1, d’origine I, orienté dans le sens direct.
7.1.2
Radian
On appelle radian la mesure d’un angle qui intercepte un arc dont la longueur est égale à son
rayon :
Rem : OAB n’est pas équilatéral donc : 1 rad< 60˚ ( 1rad' 57˚).
Propriété : Le smesures en radians et les mesures en degrés d’un angle sont proportionnelles :
deg 360 180 d 90 30 60 45
rad 2π
π α
1 Repères : ex 40 p 288, ex 42,43 p 288
41
180α = πd ⇐⇒ α =
π
d
180
42
CHAPITRE 7. ANGLES ET TRIGONOMÉTRIE
7.1.3
Enroulement autour de C
La droite des réels d est la droite tangente au cercle en I.
En enroulant cette droite autour du cercle, on a une correspondance entre un point de la droite
et un point du cercle.
Un point d’abscisse a sur d se retrouve en M sur C :
Propriété : Si un point d’abscisse a sur d se retrouve en M sur C alors les points d’abscisses
a + 2π, a − 2π, ... se retrouvent en M aussi.
2 Placer sur le cercle les points :
a) repérés par π/6, π/4, π/3, π/2, π.
b) repérés par −5π/4, 10π/3, −7π/6.
c) Représenter les points repérés par les réels de l’intervalle [−3π/4; 2π/3].
3 Repères : ex 50,51,54,55 p 288
4 Déclic : ex 3, 4, 5, 6 p 287
7.2. ANGLES ORIENTÉS DE VECTEURS
7.2
7.2.1
43
Angles orientés de vecteurs
Définitions
−
−
Déf 1 : →
u et →
v sont 2 vecteurs de norme 1.
−−−→ −
−−−→ −
M1 et M2 sont les 2 points de C tels que OM1 = →
u et OM2 = →
v.
Les 2 points de d d’abscisses n1 et n2 qui se retrouvent en M1 et M2 après enroulement de d
autour de C.
−
−
Une mesure de l’angle orienté (→
u,→
v ) vaut n2 − n1 .
→
−
→
−
Rem : Si α est une mesure de ( u , v ), α + 2π aussi et plus généralement α + 2kπ avec k ∈ Z :
−
−
−
−
on dit que (→
u,→
v ) a pour mesure α modulo 2π et on note : (→
u,→
v ) = α [2π].
−
−
Déf 2 : →
u et →
v sont 2 vecteurs non nuls.
−
−
Une mesure de l’angle orienté (→
u,→
v ) est égale à une mesure de
1 →
1 →
−
−
u, →
v
→
−
−
kuk
kvk
−
−
Déf 3 : La mesure de (→
u,→
v ) dans ] − π; π] est sa mesure principale.
5 Dans un carré ABCD de centre O, donner :
−−→ −−→
a) 2 mesures de (AB, AD).
−−→ −−→ −−→ −→
−−→ −−→
b) la mesure principale de (OC, OB), (OC, OA) et de (DA, CO).
6 Repères : ex (46,47),48,(52),53,(56),57 p 288
7 Déclic : ex 13 p 288
7.2.2
Propriétés
−
−
−
−
P1 : (→
u,→
v ) = −(→
v ,→
u ) (2π)
→
−
→
−
→
−
→
−
−
−
( u , v ) + ( v , w ) = (→
v ,→
w ) (2π) (relation de Chasles)
44
CHAPITRE 7. ANGLES ET TRIGONOMÉTRIE
−
−
−
−
−
−
P2 : →
u et →
v sont colinéaires ssi (→
u,→
v ) = 0 (2π) ou (→
u,→
v ) = π (2π).
−
→
−
−
−
−
−
−
−
P3 : (−→
u,→
v ) = (→
u,→
v ) + π (2π) et (−→
u , −v) = (→
u,→
v ) (2π).
−−→ −→
−−→ −−→
−→ −−→
P4 : A, B, C 3 points non alignés. (AB, AC) + (BC, BA) + (CA, CB) = π (2π).
−→ −−→
−−→ −−→
P5 : M, A, B trois points d’un cercle, (OA, OB) = 2(M A, M B) (2π).
8 Repères : ex 61,62,64,65,59 p 289
7.3
Lignes trigonométriques
→
− →
−
(0, i , j ) est le repère orthonormé (direct).
t ∈ R. M image de t sur C :
xM = cos t et yM = sin t
0 π/2 π 3π/2 2π
x
cos x
sin x
Propriétés :
P1 : −1 ≤ cos t ≤ 1. −1 ≤ sin t ≤ 1.
P2 : cos(t + 2kπ) =
.
sin(t + 2kπ) =
P3 : cos2 t + sin2 t = 1.
P4 : cos(−t) =
.
sin(−t) =
P5 : cos(t + π) sin(t + π)
cos(π − t) sin(π − t)
π
π
P6 : cos
−t =
sin
−t =
2 π
2 π
cos t +
=
sin t +
=
2
2
On en déduit :
x
0 π/6 π/4 π/3 π/2 π
cos x
sin x
9 Repères : ex 70,71,(72),73,(74),77 p 290, ex (82),83,84,(85), p 291
10 Déclic : ex 39, 42, 44, 45 p 292, ex 50,51 p 294
7.4. REPÉRAGE POLAIRE
7.4
45
Repérage polaire
−→
→, −
Tout point M peut être repéré par (r, θ) tel que r = 0M et θ = (ı
OM ) (coordonnées polaires).
x = r cos θ. y = r sin θ. r =
p
x2 + y 2 .
Formules d’addition :
cos(a + b) =
.
cos(a − b) =
.
sin(a + b) =
.
sin(a − b) =
.
Formules de duplication :
cos(2a) =
.
Formules de linéarisation :
cos2 (a) =
.
sin2 (a) =
.
11 Repères : ex 89,91,102, (103) p 292. ex 88,(90),(94),96, (97), 100, (101), p292
12 Déclic : ex 56,57 p 295, ex 80 p 298
7.5
Résolution d’équations
Soit a ∈ R.
Tracer les points M (x) et M (−x) :
Proposition 1 : L’équation cos x = cos a équivaut à x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ.
Tracer les points M (x) et M (π − x) :
Proposition 2 : L’équation sin x = sin a équivaut à x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ.
13 Repères : ex 113, 114, (117), 118, (119), 120, **121 (partie 2), 122, 123, 127, 128 p 294
*** Feuille d’exercices 10 ***
4x + 1
x2 + 3
a) Déterminer une équation de la tangente à C en A(0; f (0)).
1 C représente la fonction f définie par f (x) =
b) C admet-elle des tangentes horizontales ? Si oui, en donner les équations.
2 C est la courbe d’équation y = −x4 + 2x2 + x.
a) Déterminer la tangente T à C au point (−1; 0).
b) Montrer que T est aussi tangente à C en un autre point.
46
CHAPITRE 7. ANGLES ET TRIGONOMÉTRIE
3 On pose f (x) = ax2 + bx + c.
1
Déterminer a, b et c pour que la courbe de f admette une tangente horizontale en − , une
3
tangente parallèle à y = 2x − 5 en 0 et pur que la courbe passe par le point (-1 ;2).
*** Feuille d’exercices 9 ***
1 ex 83,84 page 291
2 Soient a et b 2 réels. Soient A et C les 2 points de C associés à a et a + b.
−→ −
−
−
−
On pose →
u = OA et →
n le vecteur tel que (0, →
u,→
n ) soit un repère orthonormé direct.
−→ →
−
On appelle D le point de C tel que 0D = n .
−
a) Exprimer →
u en fonction de →
ı et →
 .
−−→
−
b) Écrire les coordonnées de C dans (0,→
ı ,→
 ). Exprimer →
v = OC en fonction de →
ı et
→
 .
−
−
−
c) Exprimer →
v en fonction de →
u et →
n.
→
→
−
d) Exprimer →
n en fonction de ı et  .
→
−
→
−
−
e) En déduire l’expression de →
v en fonction de i et j .
f) En déduire les formules d’addition.
3 ex 106 p 293
Chapitre 8
Probabilités
8.1
Rappels
“Lancer un dé et noter le résultat obtenu” est une expérience aléatoire car il y a plusieurs
issues possibles et le résultat n’est pas prévisible.
L’univers est l’ensemble des issues possibles : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A : “Obtenir un nombre pair” est un événement : A = {2, 4, 6}.
B : “Obtenir un 2” est un événement élémentaire : B = {2}.
Il y a 6 événements élémentaires.
Si l’on lance un dé et que l’on obtient 4, on dit que A est réalisé et que B n’est pas réalisé.
La probabilité de l’événement B est la valeur théorique que doit avoir la fréquence (modélisation
de l’expérience) ;
Propriété : la proba pi de chaque issue xi est un nombre entre 0 et 1 : 0 ≤ pi ≤ 1.
L’événement certain a pour probabilité 1. ex : “obtenir un entier inférieur à 6”
L’événement impossible Ø a pour proba 0. ex : “obtenir 7”.
Tous les événements élémentaires ont la même probabilité : on dit que l’expérience est équiprobable
1
ou suit une loi équirépartie : pi = (n=nombre d’issues).
n
8.2
Loi de probabilité et variable aléatoire
activité 2 p 180
Définitions :
Une variable aléatoire (v.a.) est une fonction X définie sur Ω et à valeurs dans R.
ex : compter le nombre de valeurs obtenues ou décrire le gain du jeu en fonction de ce que
l’on obtient (on gagne 1 euro si l’on obtient 1, 3 euros si l’on obtient 2, ...)
on note x1 , x2 , · · · , xn les valeurs prises par X.
47
48
CHAPITRE 8. PROBABILITÉS
La loi de probabilité de X est la fonction qui à chaque xi associe sa probabilité notée pi =
P (X = xi ).
L’espérance mathématique de la loi de probabilité X est :
E(X) =
n
X
pi xi
i=1
La variance de la loi de probabilité est :
V (X) =
n
X
pi (xi − E(X))2
i=1
L’écart-type est : σ(X) =
p
V (X).
1 Repères : ex 21, (28), 36, 39, 40, 41, (35), 52, 54, 55, (58), 50, 51, 62, 64, 73 p 196
8.3
Arbre pondéré
Si l’expérience est constituée d’1 seul acte (lancer un dé, piocher une carte), on énumère les
issues dans un ensemble.
Si l’expérience est constituée de 2 actes (lancer 2 dés, piocher 2 jetons), on complète un
tableau.
Si l’expérience est constituée de plus de 2 actes (lancer 3 dés, choisir une personne parmi
plusieurs groupes, répéter une expérience), on complète un arbre.
Si les branches sont affectées de probabilité, l’arbre est pondéré :
un arbre se construit et se lit de gauche à droite.
L’origine est la racine et les traits partant de la racine sont les branches primaires et mènent
à des nœuds.
Les branches joignant 2 nœuds sont secondaires.
Le chemin allant de la racine à une feuille est un trajet.
Règles :
La somme des probabilités sur des branches issues d’un même nœud vaut 1.
La probabilité d’un événement correspondant à un trajet, est égal au produit des probabilités
insxcrites suur chaque branche.
La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des trajets qui y aboutissent.
2 Repères : ex 22, 26, 42, 53, 57, 60, 66, 67, 68, 69, 71, 72 p 196
8.4. PROPRIÉTÉS DES PARAMÈTRES
8.4
49
Propriétés des paramètres
X est un v.a. et a, b 2 réels.
n
X
i=1
pi (axi + b) =
n
X
n
X
i=1
i=1
(api xi + bpi ) = a
p i xi + b
n
X
pi .
i=1
E(aX + b) = aE(X) + b, V (aX + b) = a2 V (X) et σ(aX + b) = |a|σ(X).
3 Repères : ex 79, (82), 84 p 206
50
CHAPITRE 8. PROBABILITÉS
Si l’expérience est “avoir un bébé et voir si c’est un garçon ou une fille”, B= “le bébé est un
garçon” a une probabilité théorique de p(B) = 1/2.
On dit qu’on vient de modéliser l’expérience.
En réalité, un modèle plus fin est : p(B) = 0, 51.
Modéliser une expérience aléatoire consiste à associer un univers, des événements élémentaires
et définir une loi de probabilité, c’est-à-dire associer une probabilité pi à chaque issue possible
xi tels que p1 + p2 + · · · pn = 1 :
xi 1
2
3
4
5
6
pi 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
“Lancer deux fois une pièce (avec ordre des jets)” est un modèle dont la loi est équirépartie
(il y a 4 issues) :
xi P P P F F P F F
pi
“Lancer deux fois une pièce (sans ordre des jets)” est un modèle construit à partir d’une loi
équirépartie (on n’ a que 3 issues) :
xi P P
pi
PF
FF
Dans un sac contenant 6 boules numérotées 1,1,2,3,4,4, “piocher une boule et lire le numéro” a
pour loi de probabilité :
xi
pi
Chapitre 9
Suites
9.1
9.1.1
Exemples
La suite de Fibonacci
Un couple de lapins, né le 1er janvier, donne naissance à un autre couple de lapins chaque mois,
dès qu’il a atteint l’âge de 2 mois ; les nouveaux couples suivent la même loi de reproduction.
On compte le nombre de couples le 1er de chaque mois. On trouve : 1,2,2,3,5,8, ... :
51
52
9.1.2
CHAPITRE 9. SUITES
La suite ”feuille de papier”
On déchire une feuille de papier en 2, on pose les 2 morceaux l’un au dessus de l’autre et on
recommence ..
On compte le nombre de morceaux de papier...
On obtient : 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
9.1.3
La suite ”chocolat”
On sépare les parts d’une tablette de chocolat en :
cassant suivant les traits de séparation
cassant sans superposer les morceaux
On compte le nombre de morceaux (après n cassures).
On trouve : 1,2,3,4,5, ...
9.2
9.2.1
Définitions
Suites
Une suite numérique est une liste infinie de nombres dont chaque terme est numéroté.
On note un , terme de rang n, nommé ”u indice n”.
Le 1er terme up (souvent u0 ou u1 ) s’appelle terme initial (de rang initial).
un+1 est le terme suivant un . un et un+1 sont 2 termes consécutifs.
(up , up+1 , up+2 , · · ·) est la suite de terme général un , notée u ou (un ) ou (un )n≥p .
u est une fonction de N dans R, u : N −→ R
n 7−→ un
La suite est représentée par un nuage de points de coordonnées (n, un ).
9.2.2
Suites définies par une formule explicite
Définition : son terme s’exprime en fonction de son indice. (f , définie sur [p; +∞[, tq pour n ≥ p,
un = f (n)).
ex 1 : suite ”feuille de papier” : un = 2n.
ex 2 : suite ”chocolat” : un = n.
ex 3 : un = n2 .
10
.
ex 4 : un = 2
n +1
9.3. SUITES ARITHMÉTIQUES
9.2.3
53
Suites définies par une relation de récurrence
Son terme s’exprime en fonction du (ou des) précédent : u0 = a et un+1 = f (un ) (relation de
récurrence).
ex 1 : suite de Fibonacci
ex 2 : u0 = 1 et un+1 = 2un − 3.
ex 3 : u0 = 1 et un+1 = 2/un .
1 feuille d’exercices.
2 Déclic : ex 4, 5, 10, 9, 7, (6), (8) p 158. ex 13, 16 p 159. ex 21, (22,23,24) p 160, ex 33 p
162, ex 36, 37, 38 p 162
3 Repères : ex 35 p 123. ex 28, 31 p 122.
9.2.4
Représentation
***module*** La représentation utilise la droite y = x.
√
1
ex : u0 = −1 et un+1 = 2 + un . u0 = 0 et un+1 =
. un+1 = un 2 avec u0 = 0, 9 puis
un + 1
u0 = 1, 1.
4 Déclic : ex 28,29 p 161, ex 30 p 161, ex 41 p 163
5 Repères : ex 37,38,39 p 123
Propriétés : 2 suites sont égales si elles ont le même terme initial et la même relation de récurrence
9.3
Suites arithmétiques
Une suite est arithmétique si, pour passer d’un terme au suivant, on ajoute 1 constante r (appelée
raison).
pour tout n, un+1 = un + r
ex : suite ”chocolat”, suite des impairs
terme général : un = u0 + nr ,un = u1 + (n − 1)r, u − n = up + (n − p)r.
7 Déclic : ex 4, (5) p 182, ex 8, (9),(10),(11), ex 14, 15, 16, 18, 20 p 183, ex 24 (DM).
8 Repères : ex 46, 48, (53), 52, (54*), 55, 57* p 124.
54
CHAPITRE 9. SUITES
9.4
Suites géométriques
Une suite est géométrique si, pour passer d’un terme au suivant, on multiplie par une constante
q : pour tout n, un+1 = un × q .
ex : suite ”feuille de papier”
terme général : un = u0 × q n ,un = u1 × q n−1 , ...
9 Déclic : ex 28, (29,30,31) p 185. ex 33, (34,35), 36, 37, 38 p 186, ex 46, 48, 50 p 188.
10 Repères : ex 65, 66, 68, 75, 76, 80, 81*, 82 p 126. ex 83,85,86(excel) p 128.
9.5
9.5.1
Sens de variation
Définitions
Une suite u est :
croissante si à partir du rang p, un ≤ un+1 .
décroissante si à partir du rang p, un ≥ un+1 .
constante ou stationnaire si à partir du rang p, un = un+1 .
19 Déclic : ex 45, 46, 47, 48 p 163, ex 44, 45 p 187.
20 Repères :
9.5.2
Suites arithmétiques
Si r > 0, r < 0, r = 0 alors la suite est respectivement strictement croissante, strictement
décroissante et constante
9.5.3
Suites géométriques
Si q > 1, 0 < q < 1, q < 0 alors la suite (q n ) est respectivement strictement croissante, strictement
décroissante et pas monotone.
21 Déclic : ex 41, 42 p 186
22 Repères :
9.5.4
Suites récurrentes
23 Déclic : ex 50, 51, 52 p 164
24 Repères
9.6. CALCULS DE SOMMES
9.6
9.6.1
55
Calculs de sommes
Termes consécutifs d’une suite arithmétique
1 + 2 + ··· + n =
n(n + 1)
2
ex : somme des 20 premiers termes de un = 2 + 3n.
25 Déclic : ex 57,58, 59 p 189
26 Repères :
9.6.2
Termes consécutifs d’une suite géométrique
q 6= 1, 1 + q + q 2 + q 3 + · · · + q n =
ex : somme des 10 premiers termes de un = 3n .
27 Déclic : ex 60,61, 62 p 189
28 Repères :
1 − q n+1
1−q
56
9.7
CHAPITRE 9. SUITES
Flocon de von Koch
On part d’un triangle équilatéral de côté 1 et on modifie récursivement chaque côté de la façon
suivante :
on divise chaque côté en 3 parties égales.
on construit, à l’extérieur du précédent, un triangle équilatéral de base le segment médian
on supprime le segment de droite qui était la base du triangle de l’étape précédente.
On réitère le procédé indéfiniment. La figure résultante est auto-similaire.
On note :
Ln la longueur du côté du polygone à l’étape n.
Nn le nombre de côtés du polygone à l’étape n.
Pn le périmètre du polygone à l’étape n.
Tn la somme des aires des triangles ajoutés à l’étape n.
An l’ aire du polygone à l’étape n.
a) Montrer que L et N sont deux suites géométriques. Préciser leurs premiers termes et leurs
raisons.
4 n
b) Montrer que Pn = 3
et calculer sa limite.
3
c) Exprimer Tn en fonction de Ln et de Nn−1 pour n ≥ 1.
d) En déduire que T est une suite géométrique. Préciser son premier terme T1 et sa raison.
√ √
4 n 3 3 3
e) Montrer que An =
+
1−
et calculer sa limite.
4
20
9
Chapitre 10
Produit scalaire
On se place dans un repère orthonormé.
10.1
−
Si →
u =
Rappel
x
y
!
p
−
alors : k →
u k= x2 + y 2 .
Un vecteur est dit unitaire si sa norme vaut 1.
−
−
Propriété : si k ∈ R, k k →
u k= |k| k →
u k.
10.2
Définition
−
−
−
−
−
−
Pour →
u et →
v deux vecteurs du plan, on appelle produit scalaire de →
u par →
v le nombre →
u .→
v.
→
−
−
u .→
v =
(
→
−
→
−
−
−
−
−
−
−
k→
u kk →
v k cos(→
u,→
v ) si →
u 6= 0 et →
v 6= 0
0
si l’un des 2 vecteurs est nul
→
−
−
−
−
−
u .→
u est appelé le carré scalaire de →
u et →
u 2 =k →
u k2
57
58
CHAPITRE 10. PRODUIT SCALAIRE
−−→ −→
Exemples : Calculer AB.AC :
10.3
Propriétés
→
−
−
−
−
u .→
v =→
v .→
u.
→
−
→
−
→
−
−
−
−
−
−
−
−
−
u .( v + w ) = →
u .→
v +→
u .→
w et →
u .(k →
v ) = k→
u .→
v.
2 vecteurs sont orthogonaux si et ssi le produit scalaire est nul.
10.4
Autres expressions du produit scalaire
10.4.1
Projection orthogonale
A, B, C 3 points distincts. H le projeté orthogonal de C sur (AB).
−−→ −→ −−→ −−→
AB.AC = AB.AH.
−−→ −→ −−→ −−→ −−→ −−→
dém : AB.AC = AB.AH + AB.HC.
10.5. APPLICATIONS EN GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE
10.4.2
Base orthonormée
−
Si →
u =
x
y
!
−
et →
v =
x0
y0
!
59
−
−
alors : →
u .→
v = xx0 + yy 0
→ + y
→ et →
−
−
dém : →
u = xı
v = x0→
ı + y 0→
 ...
10.4.3
Avec les normes
1 →
−
→
−
−
k−
u +→
v k2 − k u k2 − k v k2 ).
u .→
v =
2
−
−
dém : (→
u +→
v )2 =
1 Repères (2011) : ex 48, 60, 61, 62, 59, 52, 53 p373
2 Déclic (2007) : ex 6, 16, 21, 11, 15 p 316, 61 p 322, (62), 30, 31 p 318, 63 p 322, ex 24,25,26
p 318, ex 59 p 322
10.5
Applications en géométrie analytique
10.5.1
Coordonnées d’un vecteur
→)ı
→ + (→
→)→.
→
−
−
−
u = (→
u .ı
u .
10.5.2
Équation d’un cercle
de centre A et de rayon R
M ∈ C ⇐⇒ OM = R ⇐⇒ OM 2 = R2 =
ex : A(−1; 2) et R = 2
de diamètre [AB]
−−→ −−→
M est sur le cercle ssi M A.M B = 0.
ex : A(−2; 1) et B(3; 1).
60
CHAPITRE 10. PRODUIT SCALAIRE
10.5.3
Équation de droites
→
−
−
n est un vecteur normal à D si →
n est non nul et de direction perpendiculaire à D.
−−→ →
−
M est sur la droite si AM et n sont orthogonaux : a(x − x0 ) + b(y − y0 ) = 0.
Théorème : la droite a pour vecteur normal n(a, b) ssi son éq est ax + by + c = 0
3 Repères : ex 108, 109,100,103,104,98,102,105/(106),107,(110),(111),112 p379
4 Déclic (2007) : ex 39,41 p 320, 42, 44, 37, 48, 85, 86.
10.6
Applications en géométrie
10.6.1
Angle droit
→
−
−
−
−
u ⊥→
v ⇐⇒ →
u .→
v = 0.
10.6.2
Calcul d’angles
→
−
−
−
−
−
−
u .→
v =k →
u kk →
v k cos(→
u,→
v ).
5 Repères : page 377 ex 124, (86, 88, 90).
10.6.3
Longueur de médiane
I milieu de [AB] dans le triangle ABC :
AB 2
AB 2
−−→ −−→ −−→ −−→
, M A2 − M B 2 = 2IM .AB, M A.M B = M I 2 −
.
2
4
6 Repères : page 382 ex 127.
∀M , M A2 + M B 2 = 2M I 2 +
10.6.4
Dans le triangle
Formules d’Al-Kashi, Pythagore
b b2 = a2 + c2 − 2ac cos B,
b c2 = a2 + b2 − 2ab cos C
b
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A,
−
−
→
−
→
dém : BC 2 = (BA + AC)2 =.
7 Repères : page 382 ex (128),129,(130),131,(132)
10.7. TRIGONOMÉTRIE
Aire d’un triangle
b
bc sin Ab
ac sin B
ab sin Cb
=
=
2
2
2
8 Repères : page 382 ex 139,(140),141,(143)
A=
Sinus (non fait)
a
sin Ab
=
b
=
c
sin Cb
9 Repères : page 382 ex (133),134,(135),(136).
10.7
b
sin B
Trigonométrie
Formule d’addition : cos(a − b) = ...
→, →
→, →
−
−
−
−
(ı
u ) = b ; (ı
v = a. On calcule : →
u .→
v avec le cos et les coordonnées
10.8
Exercices en plus
10 ex 113,(114),118,119, 91,92,94,142 p 381
61
62
CHAPITRE 10. PRODUIT SCALAIRE
10.9
Dernière formule !
1 →
−
−
−
−
−
k−
u +→
v k2 − k →
u k2 − k →
v k2 = →
u .→
v.
2
(u + v).(u + v) − u.u − v.v = ..
1 ex 23 p 318
−−→ −−→
1) En projetant M sur (EF ), EF .EM = EF × EF = 4a2 .
−−→ −−→
En projetant K sur (EH), EH.EK = EH × EH = a2 .
2)a)
−−→ −−→
En projetant K sur (EM ), EK.EM = EL × EM .
−−→ −−→
−−→ −−→
EK.EM = EK × EM × cos(EK.EM ).
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→
EK.EM = (EH + HK).(EF + F M )
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→
= EH.EF + EH.F M + HK.EF + HK.F M
a 2
3a2 8a2
11a2
= 0 + a. + a.2a + 0 =
=
2 3
6
6
17a2
11a2
a2
=
, on en déduit que EL × EM =
d’où
Comme EM 2 = 4a2 +
4
4
6
11
EL = √ a.
3 17
4a2
13a2
11
−−→ −−→
2)b) Comme EK 2 = a2 +
=
, cos(EK.EM ) = √
.
9
9
221
2 ex 56 p 322
1−
−→ −−→
→ −−→ 1 −−→ −→ −−→
AJ.BC = AI.BC = (AB + BI).BC
2
2
1 −−→ −−→ 1 −→ −−→
= AB.BC + BI.BC
2
2
11
1 1 −−→ −−→ 2
−−→
−−→
−−→ −−→
= ×
k AB + BC k − k AB k2 − k BC k2 +
BC .BC
2 2
2 3
1
1 −→ 2
1
2
= k AC k −25 − 36 + BC = 49 − 25 − 36 + 6 = −3 + 6 = 3.
4
6
4
3 *****DM pour le 14 mai : 49 p 321 et 57 p 322 ********
4 module 13 mai : ex 49,50 p 321 (distance à une droite)
10.10. EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT
10.10
63
Exercices d’entraı̂nement
1 ABC est un triangle isocèle en A tel que AB = 3 cm et BC = 4 cm.
−−→ −−→
a) Calculer BA.BC.
−→ −−→
b) Calculer AC.CB.
c) On appelle H le projeté orthogonal de C sur (AB).
Calculer la longueur BH.
2 ABC est un triangle équilatéral inscrit dans un cercle de rayon 3 et de centre O.
−−→ −−→
a) Calculer OB.OC.
−→ −−→
b) Calculer AO.BC.
−−→ −→
c) Calculer OB.AO.
3 ABCD est un carré de côté 1 et AEB est un triangle équilatéral de côté 1 :
−−→ −−→
−−→ −−→
a) Calculer BC.BE et en déduire DA.BE.
−→ −−→
b) Calculer EA.EB.
c) (i) Montrer que BCG est un triangle équilatéral.
−−→ −−→
−−→ −−→
(ii) En déduire BC.BG et DA.EF .
−→ −−→
d) Calculer AE.EF .
−−→ −−→
e) Calculer DE.BF .
f) En déduire que les points D, E et G sont alignés.
4 ABCD est un rectangle tel que AD = 3 cm et AB = 5 cm. H et K sont les projetés
orthogonaux respectifs de B et D sur (AC).
−→ −−→
a) Calculer AC.DB.
b) En déduire la longueur HK.
64
CHAPITRE 10. PRODUIT SCALAIRE
Chapitre 11
Binomiale-Échantillonnage
11.1
Indépendance
Définition : Deux expériences aléatoires sont indépendantes lorsque les résultats de l’une n’influencent pas les probabilités des résultats de l’autre.
Propriété : P (A ∩ B) = P (A) × P (B).
Rem : La répétition d’une expérience dans les mêmes conditions initiales sont des expériences
indépendantes.
1 Repères 2011 : 27,28,30,31 p 243
11.2
Schéma de Bernouilli
Définition : Une épreuve de Bernouilli est une exprience aléatoire à 2 issues possible : échec ou
succès.
p, la proba du succès, est le paramètre de l’épreuve.
Rem : q =
Définition 2 : n ∈ N∗ . Un schéma de Bernouilli est une expérience consistant à répéter n fois
une épreuve de Bernouilli.
n et p sont les 2 paramètres de l’épreuve.
Le schéma se représente par un arbre à 2n branches.
11.3
Coefficients binomiaux
ex : n = 3. X = nombre de succès. p(X = 3) = 1/8, p(X = 0) =...
65
66
CHAPITRE 11. BINOMIALE-ÉCHANTILLONNAGE
Définition 3 : Dans un schéma de Bernouilli de paramètres n et p, le nomre de chemins conduisant
à k succès (0 ≤ k ≤ n), s’appelle coefficient binomial ou combinaison de k parmi n.
n
p
Il se note
!
et se lit ”k parmi n”
!
Propriétés :
n
0
!
Théorème :
n
k
n
n
= 1,
+
n
k+1
!
= 1,
!
=
n
1
!
n+1
k+1
= n,
n
n−k
!
=
n
k
!
(n − k succès=k échecs)
!
.
dém : La n + 1e épreuve est un succès ou un échec
Ce théorème permet de construire le triangle de Pascal :
11.4
n/k 0 1 2
1
2
Loi binomiale
X le nombre de succès dans un schéma de Bernouilli de paramètre n et p.
La loi binomiale de paramètres n et p est la loi de probabilité de la v.a. X, notée B(n, p).
Propriété :
P (X = k) =
n
k
!
pk q n−k
E(X) = np et V (X) = npq.
1 ex 46,48 p 246
11.5. ÉCHANTILLONNAGE
11.5
Échantillonnage
11.5.1
Échantillon
67
Définition : Un échantillon de taille n : on prélève au hasard et successivement avec remise n
éléments d’une population.
ex :
lancer plusieurs fois 1 pièce (et l’on obtient pile ou face),
lancer plusieurs fois 1 dé (et l’on obtient 6 ou pas),
piocher plusieurs boules (et l’on obtient 1 rouge ou pas).
Si l’effectif total est grand, on considère que l’échantillon est constitué avec remise : ex :
pièces avec ou sans défaut dans 1 production (on ne remet pas la mauvaise pièce ! !)
sondage (on n’interroge pas 2 fois la même personne !)
11.5.2
Intervalle de fluctuation
Définition : L’échantillonnage consiste à donner les caractéristiques d’un échantillon à partir de
celles connues de la population.
Propriété : Un caractère a une proportion p dans une population. Dans un échantillon de taille
n, l’effectif des éléments qui présentent ce caractère est une v.a. qui suit la loi binomiale de
paramètres n et p.
Définition : L’intervalle de fluctuation de la fréquence observée au seuil de 95% ou au seuil 0,95
est [a/n; b/n] où a est le plus petit entier tq P (X ≤ a) > 0, 025 et P (X ≤ b) > 0, 975.
Il y a 95% de chance que la fréquence d’un échantillon de taille n soit dans l’intervalle de
fluctuation au seuil 0,95
L’intervalle de fluctuation de l’effectif au seuil 0,95 est [a; b].
Exemple 1 : B(10; 0, 3) : [0/10; 6/10] et [−0, 016; 0, 616].
Exemple 2 : B(30; 0, 3) : [3/30; 12/30] = [0, 1; 0, 4] et [0, 12; 0, 48].
Exemple 3 : B(100; 0, 3) : [a/100; b/100] et [0, 2; 0, 4].
Propriété : pour un échantillon de grande taille (n ≥ 30) ayant une proportion p entre 0,2 et
h
1
1 i
0,8, p − √ ; p + √ est une bonne approximation de l’intervalle de fluctutation au seuil 0,95
n
n
de la fréquence.
1 ex 96 p 254
2 ex 97 p 254
68
CHAPITRE 11. BINOMIALE-ÉCHANTILLONNAGE
11.6
Estimation
L’estimation consiste à induire les caractéristiques de la population à partir de celles d’un
échantillon.
On cherche à accepter ou rejeter l’hypothèse :
”il y a une proportion p de pièces défectueuses dans la production”.
”un dé est équilibré”.
”un candidat a une proportion de voix”.
3
11.6. ESTIMATION
69
Algorihmique
Entrée/sortie
Un algorithme est construit en 3 phases :
phase d’initialisation (déclaration, initialisation des variables)
phase de traitement (instructions, affectation, formules de calcul)
phase de sortie (affichage de la réponse)
1 Calculer le périmètre d’un cercle, l’aire d’un disque.
2 Que fait l’algo :
entrer a et b
mettre a+b dans a
mettre a-b dans b
mettre a-b dans a
afficher a et b
3 100,87,13,74,61,13,48,35,..
a) Trouver le procédé de calcul.
b) Écrire l’algorithme correspondant.
4 Que fait l’algo :
entrer a et b
c=0
mettre a dans c
mettre b dans a
mettre c dans b
afficher a et b
Test conditionnel
1 Demander un nombre.
Si le nombre est positif, afficher ”positif”
Sinon afficher ”négatif”
2 Tester si un nombre est divisible par 2
3 afficher N
Si N < 50 alors IS(N ) sinon ”on a gagné”
4 entrer N
Si N < 10 alors N × 5 sinon N × 5 − 10
70
CHAPITRE 11. BINOMIALE-ÉCHANTILLONNAGE
11.7
Boucle For
répète un certain nombre de fois un enchaı̂nement d’étapes
Pour ”variable” allant de ”début” à ”fin” avec un pas de ”pas”
faire ”instructions”
fin
1 afficher les entiers de 1 à 10
2 afficher la somme des entiers pairs de 0 à 20
0 −→ S
F or(I, 0, 20, 2)
S + I −→ S
END
DISP S
3 afficher la somme des entiers au carré de 1 à 13.
4 Calculer les coordonnées des sommets d’un pentagone régulier de centre O.
A(1; 0), B a pour coord (cos 72; sin 72), ... :
F or(n, 0, 4)
cos(72n) −→ X
sin(72n) −→ Y
DISP X
DISP Y
P AU SE
F IN
5 Tracer les sommets du pentagone.
pt-on(X,Y) dans le menu dessin pour tracer un point
Z orthonorme dans Zomm pour avoir un repère normé
EffDessin pour redémarrer avec un écran vide
6 Tracer le pentagone.
Line(X1,Y1,X2,Y2) pour relier le point 1 au point 2
Ef f Dessin
0 −→ X
0 −→ Y
F or(I, 0, 5)
X −→ A
Y −→ B
cos(72I) −→ X
sin(72I) −→ Y
DISP X
DispY
P ause
P t − on(X, Y )
Ligne(A, B, X, Y )
pause
end
11.7. BOUCLE FOR
7 Tracer un polygone à n côté où n est le nombre de côtés.
71