1eS : Polynômes du second degré

Chapitre 1
1eS : Polynˆomes du second degr´e
1.0 Rappels
La fonction x7−→ x2s’appelle la fonction carr´e. La repr´esentation graphique de la fonction
carr´e s’appelle parabole La parabole est sym´etrique par rapport `a l’axe des ordonn´ees et on
dit que la fonction est paire.
Du fait de l’axe de sym´etrie, l’abscisse du sommet est la demi-somme de 2 points de mˆeme
ordonn´ee. (La droite verticale passant par le sommet est l’axe de sym´etrie de la parabole).
fd´efinie sur I:
•fest croissante sur Isignifie que pour tout a, b de I, si a<balors f(a)≤f(b).
•d´ecroissante
•constante
fest (st) d´ecroissante sur ] − ∞; 0] et (st) croissante sur [0; +∞[.
On dit qu’une fonction fest une fonction polynˆome de degr´e 2 s’il existe a6= 0 et b, c tels
que :
f(x) = ax2+bx +c
ax2+bx +cest appel´ee forme d´evelopp´ee ou r´eduite de f(x).
f(x) peut aussi s’´ecrire : f(x) = a(x−α)2+βappel´ee forme canonique de f(x).
[Cette forme est utile pour r´esoudre f(x) = m].
f(x) peut parfois s’´ecrire : f(x) = a(x−x1)(x−x2) appel´ee forme factoris´ee de f(x).
[Cette forme est utile pour r´esoudre f(x) = 0 ou chercher le signe de f(x)].
1

2CHAPITRE 1. 1ES : POLYN ˆ OMES DU SECOND DEGR ´ E
*** Feuille d’exercices 1 ***
1a) Quelle est l’image par la fonction carr´e de −3
5?
b) Quels sont les ant´ec´edents par la fonction carr´e de 9
16 et de 36 ?
2R´esoudre :
a) x2= 100, x2=−10, 4
5x2= 5.
b) 2x2+ 3 = 1, 2x2+ 1 = 1.
c) (x−1)2= 4, (2x−3)2=−3, (3x−1)2= 0.
3Comparer x2et x2−2x+ 3.
4a) f(x) = 2(x−3)2+ 4. Montrer que fest croissante sur [3; +∞[.
b) f(x) = −3(x−4)2+ 1. Montrer que fest d´ecroissante sur [4; +∞[.
5D´eterminer 2 points diff´erents qui ont la mˆeme ordonn´ee puis ´ecrire le tableau de variations
des fonctions suivantes :
a) f:x7−→ x2+ 5x+ 4.
b) f:x7−→ −2x2+ 3x.
6Donner un encadrement de x2sachant que :
a) 2 < x ≤4.
b) −3< x ≤ −1.
c) −1< x ≤3.
d) x∈[2; 3].
e) x∈[−2; −1].
f) x∈]−2; 3].
7Pour x∈R, on pose f(x) = −2(x−1)2+ 8.
a) D´eterminer la forme d´evelopp´ee de f(x).
b) D´eterminer la valeur maximale de la fonction et ´ecrire le tableau de variations de f
sur R.
c) V´erifier que f(x) peut aussi s’´ecrire −2(x+ 1)(x−3).
d) Calculer les coordonn´ees des points d’intersection de la courbe repr´esentative de f
avec les axes des coordonn´ees.
e) Soit h∈R. Calculer f(1 + h)−f(1 −h).
f) R´esoudre f(x) = 4 et f(x)<4.
8f(x) = 3(x+ 2)2−27 forme canonique de f(x).
a) V´erifier que f(x)=3x2+ 12x−15 ou f(x) = 3(x−1)(x+ 5).

1.1. VOCABULAIRE 3
b) Choisir l’expression pour calculer :
(i) f(0),
(ii) f(1),
(iii) f(−2).
(iv) un ant´ec´edent de 0.
(v) un ant´ec´edent de −15.
(vi) un ant´ec´edent de −27, −24.
(vii) −30 a-t-il un ant´ec´edent ?
c) Signe de f(x) ?
d) Tableau de variations de f:
9On note xla longueur en cm du cˆot´e [AB] :
D´eterminer l’expression de l’aire du domaine et d´eterminer la valeur de xpour que l’aire
soit de 110,25.
1.1 Vocabulaire
Une fonction polynˆome est une fonction Pde la forme P(x) = a0+a1x+a2x2+··· +anxn
(forme r´eduite.
ex : P(x)=5x4+ 6x3−3x2+ 2x−3
polynˆome nul
a0, a1,···, ansont les coefficients du polynˆome.
nest le degr´e du polynˆome.

4CHAPITRE 1. 1ES : POLYN ˆ OMES DU SECOND DEGR ´ E
Le terme aixiest le terme de degr´e i.
terme de degr´e 3 de P? de degr´e 1 ?
polynˆomes de degr´e 1 ?
polynˆome de degr´e 0 ?
Les polynˆomes de degr´e 2 sont les trinˆomes du second degr´e.
On appelle racine ou z´ero du polynˆome tout nombre r´eel αtel que P(α) = 0. On dit que αest
une racine de P(x) = 0.
ex : 1 est racine de (x−1)(x+ 3)(2x−1). 1 racine de 3x2−5x+ 2 ?
d´eclic : ex 15, 17, 18 page 55
1.2 Forme canonique
1(pas fait)
R´esoudre x2−3x= 0, x2+x= 0, −x2+ 1 = 0, (x+ 3)(1 −2x)(5 + x) = 0, x2−9 = 0,
−x2−9 = 0 et (x−2)2= 4.
R´esoudre x2−3x≤0, −x2+ 1 <0, (x+ 3)(1 −2x)(5 + x)≥0 et (x−2)2≥4.
2(pas fait) d´eclic page 40 : On consid`ere la courbe d’´equation y= (x−1)2−5.
a) Quelles sont les coordonn´ees de son sommet ?
b) Par quelles translations passe-t-on de la parabole d’´equation y=x2`a cette courbe ?
c) R´esoudre alg´ebriquement (x+ 1)2−5 = 0. Comment peut-on retrouver les solutions
graphiquement ?
d) Donner les solutions de (x+ 1)2−5≤0.
3(pas fait)
On pose f1(x) = (x−1)2−2, f2(x) = 1
2(x+ 5)2+ 2, f3(x) = −(x+ 2)2et f4(x) =
−2(x−3)2+ 4.
a) R´esoudre alg´ebriquement les ´equations fi(x) = 0.
b) D´eterminer une factorisation de f1(x) et f4(x).
c) Peut-on factoriser f2(x) ?
***
1f(x) = x2+ 6x+ 5.
(x+ 3)2=? donc f(x) =?.
forme canonique du polynˆome f(x).
2Mettre sous forme canonique :

1.3. R ´ ESOLUTION D’ ´ EQUATIONS 5
a) x2−6x−14.
b) x2+ 8x−33.
c) x2+ 3x−4.
d) x2−5
3x+4 3.
e) 3x2+ 9x−7.
f) 3x2−7x+1
2.
3d´eclic : ex 22, 23, 24 page 55, ex 40,41,44,45 p 58
1.3 R´esolution d’´equations
ax2+bx +c=.. =a x+b
2a2−b2−4ac 4a2!.
discriminant ∆=, x1=, x2=.
4Rep`eres : ex 47, 49, 50, 41, 51, 54, 55 p 30
5Rep`eres : ex 58 p 30, interpolation de Lagrange, 56, 52 (53)
6D´eclic : ex 42, 43 page 58
1.4 Repr´esentation graphique et variations
1.4.1 Extremum
P:7−→ ax2+bx +c=a(..
Cest une translat´ee de la parabole y=ax2. Sommet : ..
a > 0, a < 0 (allures parabole, tableau de variation
Pour d´eterminer l’extremum, on d´etermine le sommet de la parabole.
1D´eclic : ex 70 p 61, 92 p 64 (aire maximale d’un rectangle)
2Repr´esenter x7−→ 2x2+ 8x+ 7 :
= 2(..)−1, sommet, translation.