le théor`eme des nombres premiers vu par kahane

LE TH ´ EOR ` EME DES NOMBRES PREMIERS VU PAR KAHANE
ELIMANE BA ET MICHEL RAIBAUT
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2 ELIMANE BA ET MICHEL RAIBAUT
1. Introduction
Soit Pl’ensemble des nombres premiers. Pour x r´eel on d´efinit :
π(x) := #{p∈P|p≤x}
π(x) repr´esente donc le nombre de nombres premiers pr´ecedant x.
Hadamard et de la Vall´ee-Poussin en 1896 ont ´etabli ind´ependamment cet
´equivalent :
π(x)∼
x→+∞
x
logx
Leur preuve repose sur les propri´et´es de la fonction ζde Riemann, d´efinie
pour Re(s)>1 par
ζ(s) = ∞
P
n=1
1
ns.
Par son expression en produit Eul´erien qui la lie aux nombres premiers
ζ(s) = Π
p∈P(1 −1
ps)−1
la fonction ζjoue un rˆole central en th´eorie analytique des nombres. Nous
verrons que cette ´egalit´e permet de prouver que ζne s’annule pas sur le
demi-plan Re(s)>1. Le point essentiel de la d´emonstration d’Hadamard et
de la Vall´ee Poussin est que la fonction ζse prolonge de fa¸con m´eromorphe
sur un voisinage de Re(s)≥1 admettant 1 comme seul pˆole et ne s’annulant
pas sur la droite Re(s) = 1.
Historiquement Riemann est le pr´ecurseur de cette vision analytique : dans
son fameux article de 1859 (cf [2]) il met en ´evidence un lien entre la
distribution des nombres premiers et les z´eros de la fonction ζ. Nous
prouverons en fait que le th´eor`eme des nombres premiers est ´equivalent `a la
non annulation de ζsur Re(s) = 1.
N´eanmoins il existe des preuves n’utilisant pas d’analyse complexe, comme
celle d’Erd¨os et Selberg... cf [4].
Auparavant, la r´epartition des nombres premiers ´etait d´ej`a un probl`eme
ouvert. Euler avait notamment introduit d´es 1737 la restriction de la fonction
ζ`a ]1,+∞[ et son expression en produit ”eul´erien” pour ´etudier les nombres
premiers. L’´equivalent de π(x) donn´e ci-dessus, fut, conjectur´e par Gauss et
Legendre au cours du XVIIIesi`ecle.
En 1852 Tch´ebychev ´etablit par des moyens ´el´ementaires l’encadrement
suivant :
lim inf
x→∞
π(x)
x/log(x)≤1≤lim sup
x→∞
π(x)
x/log(x)
Ainsi si le rapport π(x)log(x)
xa une limite, elle ne peut ˆetre que 1. L’existence
de la limite est donc le r´eel probl`eme.

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Ce m´emoire est largement inspir´e de l’article de Jean-Benoˆıt Bost [0], et des
livres cit´es en bibliographie. Il existe de nombreuses d´emonstrations du
th´eor`eme des nombres premiers, mais celle que nous proposons allie deux
domaines : l’analyse complexe `a travers l’´etude de ζet l’analyse harmonique
pour la preuve.
Le d´ebut suit pas `a pas le sch´ema propos´e par Hadamard et
de la Vall´ee Poussin `a savoir : la non annulation de ζsur Re(s)=1 et
l’introduction de la s´erie de Dirichlet d´efinie sur Re(s)>1 par
ζP(s) = X
p∈P
1
ps.
Cette fonction se prolonge en une fonction m´eromorphe au voisinage de la
droite Re(s) = 1 avec une singularit´e logarithmique en 1. C’´etait ainsi
l’occasion d’inscrire ces r´esultats dans une ´etude de Γ et ζ.
Vers 1930 suite `a des travaux d’analyse harmonique concernant les th´eor`emes
taub´eriens et leurs g´en´eralisation, Wiener obtint une nouvelle preuve utilisant
l’analyse harmonique de la fonction t→ζ(1 + it). Nous pr´esentons la preuve
de Kahane inspir´ee des id´ees pr´ec´edentes (cf annexe). Nous nous sommes
´eloign´es de la structure de l’article de J-B Bost afin de la rendre plus
naturelle. Elle utlise la transform´ee de Fourier et la th´eorie des distributions.

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2. La fonction Gamma d’Euler et la fonction zeta de Riemann.
Cette premi`ere partie est une ´etude ´el´ementaire des fonctions Γ et ζ. Cette
´etude est la r´esolution du probl`eme 3 de [1] que nous avons enrichie avec les
ouvrages [2],[3] et [4].
2.1. La fonction Γ.
D´efinition 2.1. On pose pour tout z∈Ctel que Re(z)>0
Γ(z) = Z+∞
0
e−ttz−1dt
Cette d´efinition a bien un sens : en effet au voisinage de +∞on a
e−ttRe(z)−1=o(1
t2) et au voisinage de 0 on a e−ttRe(z)−1∼1
t1−Re(z)qui est
int´egrable si et seulement si Re(z)>0. Donc t7→| e−ttz−1|est int´egrable sur
R+pour z∈ {z∈C|Re(z)>0}.
Plan : Dans cette sous partie nous allons ´etablir les points suivants :
•Γ est holomorphe sur P={z∈C|Re(z)>0}.
•Γ se prolonge en une fonction holomorphe sur U=C− {0,−1,−2, ...}.
•Les points 0,-1,-2,...,-k,... sont des pˆoles simples de r´esidus
1,−1,1
2, ..., (−1)k k!, ...
•De plus ∀z∈UΓ(z+ 1) = zΓ(z).
•La formule des compl´ements : pour tout z non entier
Γ(z)Γ(1 −z) = π
sin(πz)
•1
Γest une fonction enti`ere dont les seuls z´eros sont simples et situ´es aux
points 0,-1,-2,...et Γ ne s’annule en aucun point de C.
Proposition 2.2. Γest holomorphe sur P={z∈C|Re(z)>0}.
Preuve : z7→ e−ttz−1est holomorphe sur P.
Soit K un compact de P, il existe η > β > 0 tel que pour tout z∈Kon a
η > Re(z)> β.
Donc pour tout t∈]0,+∞[ on a
|e−ttz−1|≤ χ]0,1](t)e−ttβ−1+χ[1,+∞[(t)e−ttη−1∈L1(R)
donc par le th´eor`eme d’analyticit´e de Lebesgue Γ est holomorphe sur P.
Proposition 2.3. ∀z∈PΓ(z+ 1) = zΓ(z).
Preuve : On int`egre par partie Γ(z+ 1) = R+∞
0e−ttzdt.
On a par une r´ecurence imm´ediate le corollaire suivant :
Corollaire 2.4. ∀n∈NΓ(n+ 1) = n!
La fonction Γ interpole donc la fonction factorielle.

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Proposition 2.5. Γse prolonge en une fonction holomorphe sur
U=C− {0,−1,−2, ...}.
Les points 0,-1,-2,...,-k,... sont des pˆoles simples de r´esidus 1,−1,1
2, ..., (−1)k k!, ...
De plus ∀z∈UΓ(z+ 1) = zΓ(z).
Preuve : Soit Γ1:= z∈P7→ R1
0e−ttz−1dt et Γ2:= z∈P7→ R+∞ 1e−ttz−1dt.
Par le th´eor`eme d’analyticit´e de Lebesgue Γ2est enti`ere.
Reste `a prolonger Γ1`a U. Or pour z∈P
Γ1(z) = Z1
0
e−ttz−1dt =Z1
0X
n≥0
(−1)n
n!tn+z−1dt.
La convergence de la s´erie ´etant uniforme sur [0,1] on peut int´egrer terme `a
terme d’o`u ∀z∈PΓ1(z) = P
n≥0
(−1)n
n!
1
n+z.
Soit K un compact de U. Il existe R > 0 tel que K⊂ B(O, R) d’o`u pour
n>R
∀z∈K|(−1)n
n!
1
n+z|≤ 1 n!
1
n−R
donc la s´erie P
n≥0
(−1)n
n!
1
n+zconverge normalement sur K, donc uniform´ement sur
K. De plus z7→ (−1)n
n!
1
n+zest holomorphe sur U pour tout n∈N.
Donc par le th´eor`eme classique sur les s´eries de fonctions holomorphes on en
d´eduit que Γ1est holomorphe sur U.
Ainsi Γ se prolonge en une fonction analytique sur U, comme U est connexe
par le principe du prolongement analytique,le prolongement est unique et on
note encore Γ ce prolongement.
De plus le th´eor`eme des z´eros isol´es appliqu´e `a la fonction
z7→ Γ(z+ 1) −zΓ(z), nulle sur P entraˆıne :
∀z∈UΓ(z+ 1) = zΓ(z)
Etudions maintenant les singularit´es de Γ ; l’etude pr´ec´edente montre que :
Pour k un entier, k≤1ona:
Γ(z) = (−1)k
k!
1
k+z+X
n≥0,n6=k
(−1)n
n!
1
n+z+ Γ2(z)
Or z7→ P
n≥0,n6=k
(−1)n
n!
1
n+z+ Γ2(z) est analytique au voisinage de -k donc -k est
un pˆole simple de Γ de r´esidu (−1)k
k!
Remarque 2.6.Il existe une relation tr´es simple entre la fonction Γ et la
fonction sinus : c’est la formule des compl´ements.
Elle nous permettra entre autres d’´etablir un prolongement holomorphe de la
fonction ζ.