Séries L

S´eminaire th´ematique
Fonction zˆeta et corps quadratiques
S´erie-L de Dirichlet
Chrystel Feller
5 avril 2007
1 Introduction
Dans ce s´eminaire, nous allons aborder la notion de s´erie-L de Dirichlet L(s, χ) dans le but de
d´emontrer le th´eor`eme important suivante :
L(1, χ)6= 0 ∀χ6=χ0
Grˆace `a cela, nous montrerons qu’il existe une infinit´e de nombres premiers dans la suite arithm´etique
{Nk +a}k∈Navec (N, a) = 1.
2 S´erie-L
2.0.1 D´efinition
Soit χun charact`ere de Dirichlet (mod N). La s´erie :
L(s, χ) =
∞
X
n=1
χ(n)
ns(1)
est appel´ee la s´erie-L de Dirichlet associ´ee `a χ.
Comme |χ(n)| ≤ 1 et par un th´eor`eme du premier s´eminaire, on en d´eduit que la s´erie ci-dessus
converge absolument pour σ > 1. En utilisant le produit d’Euler, on obtient :
L(s, χ) = Y
p premier
(1 + χ(p)
ps+χ(p2) p2s+...) = Y
p premier
(1 + χ(p)
ps+(χ(p))2 p2s+...) = Y
p premier
1
1−χ(p)
ps
(2)
Pour le charact`ere principal χ0:L(s, χ0) = Qp|N(1 −p−s)ζ(s)
L(s, χ0) est donc `a un facteur multiplicatif pr`es ´egale `a la fonction z´eta de Riemann. L(s, χ0) peut
donc ˆetre prolong´ee m´eromorphiquement dans le plan complexe entier avec un pˆole unique en s= 1
de r´esidu Qp|N(1 −p−s) = φ(N)
N
1

2S´ ERIE-L 2
2.0.2 Proposition
Pour χ6=χ0: l’absisse de convergence σ0de L(s, χ)est plus petite ou ´egale `a 0.
Preuve
On consid´ere χ6=χ0et x→ ∞ et on borne : |Px
n=1 χ(n)|. On obtient : |Px n=1 χ(n)| ≤ N=O(1)
σ0=limsup log |A(x)|
λx
=inf{α|A(x) = O(xα)} ≤ 0
2
2.0.3 Th´eor`eme
Soit χun charact`ere de Dirichlet diff´erent de χ0. Alors :
L(1, χ)6= 0 (3)
Preuve
Le th´eoreme se montre en 4 ´etapes :
1. On consid`ere la fonction : F(s) = QχL(s, χ), o`u on parcourt tous les charact`eres de Dirichlet
(mod N). En ´etudiant le comportement de cette fonction lorsque s tend vers 0 par le haut, on
d´ecouvre que : lims→1F(s)≥1. On en conclut donc qu’il existe au maximum un charact`ere
χ6=χ0tel que L(1, χ) = 0.
2. On peut restreindre la preuve au charact`ere r´eel car :
L(1,¯χ) = ¯ L(1, χ) et si L(1, χ) = 0 ⇒χ= ¯χi.e. χest r´eel.
3. Soit χ6=χ0r´eel avec L(1, χ) = 0 et soit : φ(s) = L(s,χ)L(s,χ0)
L(2s,χ0).
En d´eveloppant cette fonction et en utilisant le produit d’Euler, on peut ´ecrire φ(s) sous
forme de s´erie (pour σ > 1) : φ(s) = P∞
n=1 an
nsavec an≥0 . Vu que φ(s) est holomorphe en
σ > 1
2, on peut ´ecrire φ(s) comme une s´erie de Taylor autour de 2. Ainsi pour |s−2|<3 2:
φ(s) = P∞
k=0
(s−2)k
k!φk(2) = P∞
k=0
(2−s)k
k!P∞
n=1
an(log n)k
n2. Pour s r´eel, 1
2<s<2, φ(s) est une
fonction monotone d´ecroissante en s :
φ(s)≥φ(2) ≥1 (4)
4. lims→1
2
φ(s) = L(1
2,χ)L(1 2,χ0)
lims→1
2
L(2s,χ0)= 0 car L(2s, χ0) a un pˆole en s=1
2.
Il y a donc contradiction entre le r´esultat de la 3eet 4e´etape. 2
Etudions `a pr´esent une deuxi`eme preuve de ce th´eor`eme en utilisant le th´eor`eme de Landau.
Soit χun caract`ere r´eel et soit :
ψ(s) = L(s, χ)ζ(s) =
∞
X
n=1
χ(n)
ns
∞
X
n=1
1
ns=
∞
X
n=1
ρ(n)
nsavec ρ(n) = X
d|n
χ(d)
En d´eveloppant ψ(s) = L(s, χ)ζ(s), on peut d´emontrer que :
ρ(n)≥0et ρ(n2)≥1 (5)
Donc : ∞
X
n=1
ρ(n)
n1
2
≥
∞
X
n=1
ρ(n2)
n≥
∞
X
n=1
1
n=∞(6)
Si L(1, χ) = 0, alors ψ(s) ne poss`ede pas de singularit´e dans σ > 0. A cause de (5) et du th´eor`eme
de Landau, la s´erie P∞
n=1
ρ(n)
nsdoit converger pour σ > 0, ce qui est en contradiction avec (6). 2

R´ EF ´ ERENCES 3
2.0.4 Corollaire
Soit Nun nombre naturel, (a, N ) = 1. Alors la suite arithm´etique {N k +a}k∈Ncontient un nombre
infini de nombres premiers :
X
p premier |p≡a(modN )
1
p=∞(7)
Preuve
On montre que :
X
p|pr≡a(modN)
X
r≥1
1
rpr=∞
Cependant :
X
p|pr≡a(modN)
X
r>1
1
rpr≤1 2(8)
Ainsi, on en conclut que la somme des termes avec r= 1 diverge. 2
Il existe une preuve ´el´ementaire de ce corollaire pour N= 4 : On consid´ere les suites aritm´etiques
{4k+a}k∈N. Pour k= 0,2, ce sont des suites compos´ees uniquement de nombres paires donc aucun
nombre premier. On consid´ere les deux cas suivant : k= 1 et k= 3 (1 et 3 sont premier avec 4).
A montrer :
1. Il existe une infinit´e de nombres premiers de la forme 4n−1
2. Il existe une infinit´e de nombres premiers de la forme 4n+ 1
Preuve :
1. Supposons qu’il existe qu’un nombre fini de nombre premier de la forme 4k−1 (que l’on peut
aussi ´ecrire 4k+ 3). On consid´ere le produit de ces nombres :
n=Y
p≡3 (mod4)
p
On pose : m= 4n−1. Par hyp. m < ∞. De plus, aucun nombre de la forme 4k+3 ne peut
diviser m, car si c’´etait le cas, la fraction : 4n−1
4k+3 = 4 n 4k+3 −1 4k+3 devrait ˆetre un nombre
naturel. Comme 4k+ 3 divise n, cela impliquerait que 4k+ 3 divise 1, ce qui est impossible.
Vu que tous les nombres premiers sont soit de la forme 4k+ 1, soit de la forme 4k+ 3, alors
cela implique que tous les nombres premiers (impairs) qui divisent m sont donc de la forme
4k+ 1. Cela implique que m est de la forme 4l+ 1 i.e. m≡1 (mod4). Ce qui est impossible
car : m= 4n−1 = 4(n−1) + 3 i.e. m≡3 (mod4). Il y a donc contradiction.
2. Analogue, n=Qp≡1 (mod4) p2et m= 4n+ 1.
R´ef´erences
[1] D.B. Zagier, Zetafunktionen und quadratische K¨orper.