Les nombres premiers et la fonction , l`approche analytique

Nombres premiers, fonction zêta de Riemann
Hypothèse de Riemann, fonction de Möbius
Les nombres premiers et la fonction
ζ, l’approche analytique
Florian Daval
doctorant au laboratoire Painlevé
le 10 septembre 2015
Les nombres premiers, l’approche analytique.

Nombres premiers, fonction zêta de Riemann
Hypothèse de Riemann, fonction de Möbius
Sommes indexées par les nombres premiers.
θ(x) = X
p6x
ln p
On considère tout les nombres premiers pinférieur ou égal à x,
par exemple pour x=7√3=12,124...
[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]
et on fait la somme des ln p
ln(2) + ln(3) + ln(5) + ln(7) + ln(11) = 7,7450...
Les nombres premiers, l’approche analytique.

Nombres premiers, fonction zêta de Riemann
Hypothèse de Riemann, fonction de Möbius
ψ(x) = X
pk6x
ln p=X
16n6x
Λ(n)
Le même type de calcul que pour θmais en considérant toutes les
puissances (entières) de nombres premiers.
π(x) = X
p6x
1
Cette fonction compte combien il y a de nombres premiers entre 1
et x.
Les nombres premiers, l’approche analytique.

Nombres premiers, fonction zêta de Riemann
Hypothèse de Riemann, fonction de Möbius
Un exemple de résultat sur une telle somme :
X
p6x
1
p=lnln(x)+β+R(x)
avec |R(x)|65
ln(x)
et β=0,261 . . . une constante.
Les nombres premiers, l’approche analytique.

Nombres premiers, fonction zêta de Riemann
Hypothèse de Riemann, fonction de Möbius
Fonction zêta de Riemann :
ζ(s) =
∞
X
n=1
n−s
où les puissances complexes se calculent par
ns=exp (ln n×s)
na+ib =nacos(bln n) + i nasin(bln n)
|n−s|=n−<(s)
Les nombres premiers, l’approche analytique.