DISTRIBUTION DES NOMBRES PREMIERS,

SUR LA
DISTRIBUTION DES NOMBRES PREMIERS,
PAR HELGE VON KOCH (Stockholm).
Les résultats dont je vais dire quelques mots concernent la fonc-
tion /(#) de Rîemann et les fonctions numériques analogues (*).
Soit x un. nombre positif donné; désignons par F(#) le nombre des
nombres premiers inférieurs à x et définissons avec Riemann la fonc-
tion f(x) en posant
/(*) = F(*) + IF U*) + j FU«) -H. ...
Définissons encore la fonction numérique fy(œ, /*) par la formule
la première somme s'étendant à tous les nombres premiers inférieurs à x,
la seconde à tous les nombres premiers inférieurs à a? et ainsi de suite.
Ces fonctions^ et ip sont liées par la relation
/
«,
*L(a/; r}dr.
.
Pour trouver une expression de ^(#, /*) nous prenons comme point de
départ la formule d'Euler :
logjo -h S/?~25 log/? -+-... =—
s étant supposé réel et plus grand que i et Ç(s) étant la fonction de
f1) On trouvera la démonstration de ces résultats dans un Mémoire qui sera
publié dans les Mathematische Annalen.

igG SECONDE PARTIE. — CONFÉRENCES ET COMMUNICATIONS. — SECTION I.
Riemann définie, tant que la partie réelle Rs > i, par la formule
T I
_ + _+....
Dans cette formule, remplaçons s par /* -+- os, v étant un nombre positif
entier, et multiplions les deux membres par
x»*.
Faisant la somme de toutes les égalités obtenues en prenant successi-
vement
0 = 1, 2, 3,
et remarquant que la somme des premiers membres est une série multiple
absolument convergente, il vient
Sp-''log/?Li — «"^' J +SJp~2''log/?[i— «V?/ \ •+-. . . = W(x, s, r),
OÙ
On démontre sans difficulté que la série du premier membre converge
uniformément pour les grandes valeurs de s. Pour passer à la limite
(s = (X)) il est donc permis de mettre dans chaque terme s = oo.
Or, on a
(le cB.sp^=x est exclu si, comme nous le supposerons, x n'est pas un
nombre entier).
Le premier membre de notre formule se réduit donc à <}»(#, r) et l'on
obtient
^(a?, r) = lim W(a?, s. /•).
J = oo
On trouve de même
/(a?) = I lim rçr(a?, 5, /')rfr.
./o *=»
Pour ce qui va suivre, il est essentiel d'observer qu'on n'a pas besoin
d^aller jusqu'à la limite s = co : pour avoir une approximation suffisante,
il suffit de prendre

H. VON KOCH. — SUR LA DISTRIBUTION DES NOMBRES PREMIERS. 1 97
On peut démontrer, en effet, que, dès que s satisfait à cette condition,
l'expression
f
«A>
ne diffère de f(x] que par une quantité inférieure à un nombre fixe.
2"
Or, si l'on décompose ^ en éléments simples, en s'appuyant sur le
théorème fondamental de M. Hadamard (Journal de Mathématiques,
1898), nos expressions prennent des formes plus commodes pour le but
que nous nous proposons.
Après des calculs assez longs, mais très élémentaires, on parvient à la
formule suivante :
dx
C*
-l —-
JQ (*2-
i(#) désignant le logarithme intégral de x et la somme Sp s'étendant
à tous les zéros imaginaires de la fonction Ç(.s). Les fonctions a(#, s)
et a(#, s, p) qui figurent dans cette formule sont exprimées par des inté-
grales définies et jouissent des propriétés suivantes :
lim a(o?, s) = o,
lima(o?. s, p)—, = / dr.
r/ploga?
JQ p —r
Si l'on prenait s = 00, la formule (2) se réduirait à la formule de Rie-
mann :
/(*) = Li(«,-loga
qui, comme l'on sait, a été rigoureusement démontrée par les travaux de
M. Hadamard et de M. von Mangoldt. Mais on verra qu'il y a avantage de
prendre s = zx logx au lieu d'aller jusqu'à la limite (s = oo).
On peut démontrer, en effet, que les fonctions a(#, s) et a(#, A1, p)
satisfont aux inégalités
|«(*,f)| <k
tdes que«i*arloga?),
A- désignant une constante. De là et du résultat énoncé plus haut sur la

ig8 SECONDE PARTIE. — CONFÉRENCES ET COMMUNICATIONS. — SECTION I.
différence entre f(x] et l'intégrale (i), il résulte que, pour
l'expression
ne diffère de la fonction f(x] que par une quantité inférieure à un
nombre fixe.
11 est facile de démontrer que la série qui figure dans cette expression
converge absolument et uniformément par rapport à x dans tout inter-
valle fini. Ce sont là des avantages que présente cette série sur celle qui
figure dans la formule de Riemann.
On pourrait se servir de ce résultat pour le calcul de la fonction /(#)•
Mais, pour cela, il faudrait calculer les racines p, ce qui paraît extrême-
ment difficile; et d'ailleurs la série présente encore cet inconvénient que
la convergence devient moins rapide à mesure que x augmente.
Si la formule obtenue n'est pas commode pour le calcul de f(x), elle
est, semble-t-il, intéressante pour V élude des propriétés de cette fonction.
Ainsi, elle permet de démontrer (*) le théorème suivant, sur l'ordre de
grandeur de la différence /(#) — Li(# ) :
Si Von admet, avec Riemann, que la partie réelle de chacun des
zéros p est égale à | (2), on obtient
k désignant une constante.
Comme la différence f(x) — F(#) est de l'ordre de ^x, cette même
formule s'applique à la fonction F(#), qui exprime combien il y a de
nombres premiers inférieurs à x.
(') Une autre démonstration, fondée également sur l'emploi de la fonction
i — e-*1*, se trouve dans mon Mémoire Sur la distribution des nombres premiers
(Acta mathematica, t. XXIV).
(2) On sait que Riemann (Math. Werke, I. Aufl., p. 189) a énoncé comme très
probable ce théorème, qui paraît être d'une importance fondamentale pour la
théorie des nombres premiers. Malgré bien des efforts, on n'a pu encore le démon-
trer rigoureusement. Mais, d'après une Note récente de M. Jensen (Acta inathe-
matica, t. XXII), on peut espérer que cette lacune ne lardera pas à être comblée.