TD n˚5 - Dynamique des fluides en écoulement visqueux

Physique TD no5 : Dynamique des fluides en écoulement visqueux incompressible
TD n˚5 - Dynamique des fluides en écoulement
visqueux incompressible
1 Pluie et brouillard
Déterminer la vitesse limite atteinte dans l’air par :
1. une goutelette spérique de brouillard de 25µm de diamètre
2. une goutte de pluie sphérique de 2.5mm de diamètre
On fera une hypothèse quant à l’expression de la force de traînée utilisée, et on validera
son expression à la vue du résultat obtenu. On donne : µair = 1.3kg.m−3,ηair = 2.10−5P l,
µeau = 103kg.m−3,ηeau = 10−3P l et Cx(sphere) = 0.4.
a) b)
Figure 1: a) Brouillard et b) pluie.
2 Caractéristiques des écoulements laminaires et turbulents
1. Un écoulement laminaire peut-il être :
a) compressible ou incompressible ?
b) visqueux ou non visqueux ?
c) tourbillonnaire ou non tourbillonnaire ?
d) permanent ou non permament ?
2. Un écoulement turbulent peut-il être :
a) compressible ou incompressible ?
b) visqueux ou non visqueux ?
c) tourbillonnaire ou non tourbillonnaire ?
d) permanent ou non permament ?
On donnera un exemple pour chaque réponse affirmative, et on expliquera toute réponse néga-
tive.
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3 Parachutiste
La masse d’un parachutiste avec son équipement est de
120kg. Le coefficient de traînée du parachute ouvert est de
C= 1.2et son diamètre est de 6m.
1. Quelle est la vitesse limite de descente du parachu-
tiste ?
2. Ce parachutiste doit se poser sur l’aéroport de La Paz
en Bolivie, 4200md’altitude. Peut-il garder le même
parachute ?
4 Ecoulement de Poiseuille
Un fluide de viscosité dynamique ηet de masse volumique
µs’écoule en régime stationnaire et incompressible dans une
conduite cylindrique horizontale d’axe Oz, de longueur Let
de rayon R. On négligera l’influence de la pesanteur dans
tout le problème, de sorte que l’écoulement se fait unique-
ment suivant la direction horizontale, et :
−→
v(M) = vz(r, θ, z)−→ uz
1. Justifier pourquoi le champ de vitesses ne dépend ni de la variable θ, ni du temps.
2. Montrer que le champ des vitesses ne dépend en fait pas non plus de la variable z.
On pourra s’aider du formulaire d’analyse vectorielle.
3. Rappeler l’équation de Navier-Stokes.
4. Montrer que la dérivée particulaire de la vitesse est nulle pour une particule de fluide de
l’écoulement.
5. Montrer que la pression Pne dépend ni de r, ni de θ.
6. Etablir l’équation différentielle dont est solution vz(r)et montrer que dP
dz est une constante
C. Expliciter Cet vz(r)en exploitant les conditions aux limites sur la paroi de la conduite.
On pourra utiliser le fait que dvz
dr est bornée.
On pourra là encore s’aider du formulaire d’analyse vectorielle.
7. En déduire l’expression du débit volumique DVen fonctions des pressions P(z= 0) = P1
à l’entrée et P(z=L) = P2à la sortie de la conduite.
8. Comparer le résultat à la loi d’Ohm pour un conducteur filiforme en électrocinétique,
introduire une résistance hydraulique Ret l’exprimer en fonction de η,Ret L.
Comparer l’influence du rayon Rsur la résistance électrique et sur la résistance hydraulique
et commenter.
9. Applications :
a) Calculer la chute de pression dans une artère de longueur L= 1m, de rayon R=
0.5cm, où le débit volumique vaut DV= 80cm3.s−1, sachant que la viscosité du sang
vaut η= 4.10−3P l.
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a) b) c)
Commenter, sachant que le coeur permet d’obtenir une différence de pression ∆P'
4cm de mercure entre la pression maximale au moment de la contraction et la pression
minimale au moment du relachement du coeur. Cette différence de pression artérielle,
symbolisée par "12-8" en médecine pour un patient moyen, vaut ∆P= 12 −8 = 4
centimètres de mercure. On rappelle que 1bar = 760mm de mercure.
Commenter également l’effet d’un petit caillot de sang dans une artère, en considérant
que le débit volumique reste constant pour pouvoir irriguer normalement les organes.
b) Expliquer pourquoi le débit d’eau du robinet d’un particulier peut être très faible
bien que le sommet de son habitation soit situé bien au-dessous du château d’eau
alimentant sa maison.
c) Commenter le texte suivant, et notamment chacune des méthodes pour limiter les
pertes de charges :
La perte de pression dans les lance à incendie est un problème capital car la pres-
sion en bout de lance détermine l’utilisation dette dernière (distance de projection,
nébulisation du jet...). Par exemple, il faut environ 6 bars en sortie d’une lance à
débit mixte réglable. Le conducteur du camion doit ajuster la puissance de la pompe
afin de fournir la bonne pression à la lance.
Pour réduire les pertes de charges, il faut :
– utiliser un tuyau à paroi interne lisse ;
– éviter les coudes et torsions ;
– utiliser des tuyaux de grand diamètre ;
– ajouter à l’eau des adjuvants spécifiques pour modifier ses propriétés rhéologiques
(ces adjuvants étant en général polluants et chers, seul les brigades spécialisées dans
les incendies de gratte-ciel les utilisent pour l’instant).
5 Nombre de Reynolds et force de traînée
5.1 Traînée d’une sphère
Rappeler sans justification les expressions de la traînée d’une sphère de rayon Ren mouvement
uniforme à vitesse −→ vdans un fluide de masse volumique µet de viscosité ηselon que le nombre
de Reynolds est faible ou élevé.
5.2 Application 1 : puissance d’un cycliste
Un cycliste roule sans glisser en ligne droite sur une pente d’angle αà la vitesse v= 36km.h−1.
Pour quelle valeur de αla puissance nécessaire pour vaincre le poids et la puissance nécessaire
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pour vaincre la résistance de l’air sont-elles égales ? Données : viscosité de l’air η= 1,8.10−5P l ;
masse volumique de l’air µ= 1,3kg.m−3; masse totale M= 100kg.
5.3 Application 2 : sédimentation
Dans une usine de traitement des eaux polluées, on veut faire décanter les particules solides
qui se trouvent en suspension dans un bassin de hauteur H= 1m. Il s’agit de faire en sorte
qu’au bout d’un temps de séjour τle plus court possible, toutes les particules se retrouvent au
fond du bassin où elles sont collectées. Les particules sont assimilées à des sphères solides de
rayon r= 1µm, de masse volumique µ= 8.103kg.m−3.
On constate que le temps de séjour nécessaire vaut τ'1jour si r= 1µm, mais que τest
divisé par 100 si on fait floculer les particules, c’est-à-dire si on les force à s’agréger par un
procédé chimique en des particules de rayon dix fois plus élevé. Interpréter cette observation en
utilisant l’expression convenable de la traînée.
6 Ecoulement d’un fluide visqueux le long d’un plan incliné
Un fluide, de masse volumique ρ, de viscosité η, est en écoulement incompressible et permanent
le long d’un plan incliné par rapport à l’horizontale d’un angle α.
h
y
x
P0
g
α
1. Justifier, en utilisant les symétries et les invariances du problème, pourquoi on peut choisir
le champ des vitesses sous la forme :
−→
v=v(y)−→ ux
2. Déterminer le champ de pression et le champ des vitesses.
3. Calculer le débit de fluide à travers une largeur et la vitesse moyenne.
4. Comment peut-on définir le nombre de Reynolds de cet écoulement ? Pour l’eau, on trouve
Re = 1000, et pour l’huile, Re = 1. Pour quel fluide le modèle est-il adapté ?
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7 Ecoulement de Couette
On considère le dispositif de Couette illustré dans la figure
ci-contre (en vue du dessus) : un liquide de viscosité dyna-
mique ηse trouve entre deux cylindres coaxiaux de hauteur
Let de rayon r1et r2'r1; le cylindre (1) est suspendu à
un fil de torsion exerçant sur lui un moment −Cα lorsqu’il
tourne d’un angle αautour de son axe Oz ; un opérateur
impose au cylindre (2) une rotation à vitesse angulaire ω
constante. En régime stationnaire, le cylindre (1) s’immo-
bilise en tournant d’un angle αeq par rapport à sa position
initiale.
O
r1r2
ω
(1)
(2)
uz
1. En quoi cette expérience apporte-t-elle la preuve de l’existence de forces de viscosité ?
Dans toute la suite, l’écoulement est supposé stationnaire, incompressible et homogène de
masse volumique µ, et le champ des vitesses n’a pas de composante selon la verticale −→ uz.
Le champ de pesanteur −→ g=−g−→ uzest uniforme.
2. Utiliser l’équation de Navier Stokes en projection sur l’axe Oz pour montrer que le champ
de pression est le même qu’en statique des fluides. Donner son expression en fonction de
µ,g,zet de la pression P0imposée à la surface libre z= 0 par l’atmosphère. En déduire
que les forces de pression ne contribuent pas au mouvement horizontal du fluide.
3. On suppose dans cette question pour simplifier qu’on peut négliger la courbure des cy-
lindres et les remplacer par des plans infinis d’équations respectives y=r1et y=r2.
On cherche un champ des vitesses de la forme −→ v=v(y)−→ uxsatisfaisant aux conditions
aux limites v(r1) = 0 et v(r2) = r2ω.
Utiliser l’équation de Navier Stokes en projection sur l’axe Ox pour montrer que d2v
dy2= 0,
et déterminer v(y)en fonction de r1,r2et ω.
4. En déduire que le fluide exerce sur un élément de surface dS du cylindre fixe une force :
d−→ F=ηr2ω
r2−r1
dS−→ ux
et que le cylindre mobile exerce sur un élément de surface dS de fluide la même force d−→ F.
5. On revient à la géométrie réelle avec deux cylindres et on admet que la force surfacique
s’écrit désormais d−→ F=dF −→ uθoù dF a la même expression qu’à la question précédente.
Déterminer le moment par rapport à Oz des forces exercées par le fluide sur le cylindre
fixe en fonction de η,r1,r2,ωet L.
Expliquer comment ce dispositif peut servir de viscosimètre.
6. Calculer la puissance fournie par le cylindre mobile au fluide en fonction de η,r2,ω,r1et
L.
En déduire que cette expérience illustre aussi l’existence d’une puissance dissipée par
viscosité.
Quel est l’effet thermodynamique de cette puissance si on suppose que le fluide évolue de
manière adiabatique ?
Quel est son effet thermodynamique si le fluide évolue de manière isotherme au contact
d’un thermostat ?
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