Physique TD no 5 : Dynamique des fluides en écoulement visqueux incompressible TD n˚5 - Dynamique des fluides en écoulement visqueux incompressible 1 Pluie et brouillard Déterminer la vitesse limite atteinte dans l’air par : 1. une goutelette spérique de brouillard de 25µm de diamètre 2. une goutte de pluie sphérique de 2.5mm de diamètre On fera une hypothèse quant à l’expression de la force de traînée utilisée, et on validera son expression à la vue du résultat obtenu. On donne : µair = 1.3kg.m−3 , ηair = 2.10−5 P l, µeau = 103 kg.m−3 , ηeau = 10−3 P l et Cx (sphere) = 0.4. a) b) Figure 1: a) Brouillard et b) pluie. 2 Caractéristiques des écoulements laminaires et turbulents 1. Un écoulement laminaire peut-il être : a) compressible ou incompressible ? b) visqueux ou non visqueux ? c) tourbillonnaire ou non tourbillonnaire ? d) permanent ou non permament ? 2. Un écoulement turbulent peut-il être : a) compressible ou incompressible ? b) visqueux ou non visqueux ? c) tourbillonnaire ou non tourbillonnaire ? d) permanent ou non permament ? On donnera un exemple pour chaque réponse affirmative, et on expliquera toute réponse négative. PSI - Année 2010/2011 1 Lycée Paul Eluard TD no 5 : Dynamique des fluides en écoulement visqueux incompressible Physique 3 Parachutiste La masse d’un parachutiste avec son équipement est de 120kg. Le coefficient de traînée du parachute ouvert est de C = 1.2 et son diamètre est de 6m. 1. Quelle est la vitesse limite de descente du parachutiste ? 2. Ce parachutiste doit se poser sur l’aéroport de La Paz en Bolivie, 4200m d’altitude. Peut-il garder le même parachute ? 4 Ecoulement de Poiseuille Un fluide de viscosité dynamique η et de masse volumique µ s’écoule en régime stationnaire et incompressible dans une conduite cylindrique horizontale d’axe Oz, de longueur L et de rayon R. On négligera l’influence de la pesanteur dans tout le problème, de sorte que l’écoulement se fait uniquement suivant la direction horizontale, et : − → → v (M ) = vz (r, θ, z)− uz 1. Justifier pourquoi le champ de vitesses ne dépend ni de la variable θ, ni du temps. 2. Montrer que le champ des vitesses ne dépend en fait pas non plus de la variable z. On pourra s’aider du formulaire d’analyse vectorielle. 3. Rappeler l’équation de Navier-Stokes. 4. Montrer que la dérivée particulaire de la vitesse est nulle pour une particule de fluide de l’écoulement. 5. Montrer que la pression P ne dépend ni de r, ni de θ. dP est une constante dz C. Expliciter C et vz (r) en exploitant les conditions aux limites sur la paroi de la conduite. dvz On pourra utiliser le fait que est bornée. dr On pourra là encore s’aider du formulaire d’analyse vectorielle. 6. Etablir l’équation différentielle dont est solution vz (r) et montrer que 7. En déduire l’expression du débit volumique DV en fonctions des pressions P (z = 0) = P1 à l’entrée et P (z = L) = P2 à la sortie de la conduite. 8. Comparer le résultat à la loi d’Ohm pour un conducteur filiforme en électrocinétique, introduire une résistance hydraulique R et l’exprimer en fonction de η, R et L. Comparer l’influence du rayon R sur la résistance électrique et sur la résistance hydraulique et commenter. 9. Applications : a) Calculer la chute de pression dans une artère de longueur L = 1m, de rayon R = 0.5cm, où le débit volumique vaut DV = 80cm3 .s−1 , sachant que la viscosité du sang vaut η = 4.10−3 P l. PSI - Année 2010/2011 2 Lycée Paul Eluard Physique TD no 5 : Dynamique des fluides en écoulement visqueux incompressible a) b) c) Commenter, sachant que le coeur permet d’obtenir une différence de pression ∆P ' 4cm de mercure entre la pression maximale au moment de la contraction et la pression minimale au moment du relachement du coeur. Cette différence de pression artérielle, symbolisée par "12-8" en médecine pour un patient moyen, vaut ∆P = 12 − 8 = 4 centimètres de mercure. On rappelle que 1bar = 760mm de mercure. Commenter également l’effet d’un petit caillot de sang dans une artère, en considérant que le débit volumique reste constant pour pouvoir irriguer normalement les organes. b) Expliquer pourquoi le débit d’eau du robinet d’un particulier peut être très faible bien que le sommet de son habitation soit situé bien au-dessous du château d’eau alimentant sa maison. c) Commenter le texte suivant, et notamment chacune des méthodes pour limiter les pertes de charges : La perte de pression dans les lance à incendie est un problème capital car la pression en bout de lance détermine l’utilisation dette dernière (distance de projection, nébulisation du jet...). Par exemple, il faut environ 6 bars en sortie d’une lance à débit mixte réglable. Le conducteur du camion doit ajuster la puissance de la pompe afin de fournir la bonne pression à la lance. Pour réduire les pertes de charges, il faut : – utiliser un tuyau à paroi interne lisse ; – éviter les coudes et torsions ; – utiliser des tuyaux de grand diamètre ; – ajouter à l’eau des adjuvants spécifiques pour modifier ses propriétés rhéologiques (ces adjuvants étant en général polluants et chers, seul les brigades spécialisées dans les incendies de gratte-ciel les utilisent pour l’instant). 5 Nombre de Reynolds et force de traînée 5.1 Traînée d’une sphère Rappeler sans justification les expressions de la traînée d’une sphère de rayon R en mouvement − uniforme à vitesse → v dans un fluide de masse volumique µ et de viscosité η selon que le nombre de Reynolds est faible ou élevé. 5.2 Application 1 : puissance d’un cycliste Un cycliste roule sans glisser en ligne droite sur une pente d’angle α à la vitesse v = 36km.h−1 . Pour quelle valeur de α la puissance nécessaire pour vaincre le poids et la puissance nécessaire PSI - Année 2010/2011 3 Lycée Paul Eluard Physique TD no 5 : Dynamique des fluides en écoulement visqueux incompressible pour vaincre la résistance de l’air sont-elles égales ? Données : viscosité de l’air η = 1, 8.10−5 P l ; masse volumique de l’air µ = 1, 3kg.m−3 ; masse totale M = 100kg. 5.3 Application 2 : sédimentation Dans une usine de traitement des eaux polluées, on veut faire décanter les particules solides qui se trouvent en suspension dans un bassin de hauteur H = 1m. Il s’agit de faire en sorte qu’au bout d’un temps de séjour τ le plus court possible, toutes les particules se retrouvent au fond du bassin où elles sont collectées. Les particules sont assimilées à des sphères solides de rayon r = 1µm, de masse volumique µ = 8.103 kg.m−3 . On constate que le temps de séjour nécessaire vaut τ ' 1 jour si r = 1µm, mais que τ est divisé par 100 si on fait floculer les particules, c’est-à-dire si on les force à s’agréger par un procédé chimique en des particules de rayon dix fois plus élevé. Interpréter cette observation en utilisant l’expression convenable de la traînée. 6 Ecoulement d’un fluide visqueux le long d’un plan incliné Un fluide, de masse volumique ρ, de viscosité η, est en écoulement incompressible et permanent le long d’un plan incliné par rapport à l’horizontale d’un angle α. y h P0 g α x 1. Justifier, en utilisant les symétries et les invariances du problème, pourquoi on peut choisir le champ des vitesses sous la forme : − → → v = v(y)− ux 2. Déterminer le champ de pression et le champ des vitesses. 3. Calculer le débit de fluide à travers une largeur ` et la vitesse moyenne. 4. Comment peut-on définir le nombre de Reynolds de cet écoulement ? Pour l’eau, on trouve Re = 1000, et pour l’huile, Re = 1. Pour quel fluide le modèle est-il adapté ? PSI - Année 2010/2011 4 Lycée Paul Eluard Physique TD no 5 : Dynamique des fluides en écoulement visqueux incompressible 7 Ecoulement de Couette On considère le dispositif de Couette illustré dans la figure ci-contre (en vue du dessus) : un liquide de viscosité dynamique η se trouve entre deux cylindres coaxiaux de hauteur L et de rayon r1 et r2 ' r1 ; le cylindre (1) est suspendu à un fil de torsion exerçant sur lui un moment −Cα lorsqu’il tourne d’un angle α autour de son axe Oz ; un opérateur impose au cylindre (2) une rotation à vitesse angulaire ω constante. En régime stationnaire, le cylindre (1) s’immobilise en tournant d’un angle αeq par rapport à sa position initiale. uz ω (2) (1) O r1 r2 1. En quoi cette expérience apporte-t-elle la preuve de l’existence de forces de viscosité ? Dans toute la suite, l’écoulement est supposé stationnaire, incompressible et homogène de → masse volumique µ, et le champ des vitesses n’a pas de composante selon la verticale − u z. → − − → Le champ de pesanteur g = −g u z est uniforme. 2. Utiliser l’équation de Navier Stokes en projection sur l’axe Oz pour montrer que le champ de pression est le même qu’en statique des fluides. Donner son expression en fonction de µ, g, z et de la pression P0 imposée à la surface libre z = 0 par l’atmosphère. En déduire que les forces de pression ne contribuent pas au mouvement horizontal du fluide. 3. On suppose dans cette question pour simplifier qu’on peut négliger la courbure des cylindres et les remplacer par des plans infinis d’équations respectives y = r1 et y = r2 . − → On cherche un champ des vitesses de la forme → v = v(y)− u x satisfaisant aux conditions aux limites v(r1 ) = 0 et v(r2 ) = r2 ω. d2 v Utiliser l’équation de Navier Stokes en projection sur l’axe Ox pour montrer que 2 = 0, dy et déterminer v(y) en fonction de r1 , r2 et ω. 4. En déduire que le fluide exerce sur un élément de surface dS du cylindre fixe une force : ηr2 ω − → − dF = dS → ux r2 − r1 − → et que le cylindre mobile exerce sur un élément de surface dS de fluide la même force d F . 5. On revient à la géométrie réelle avec deux cylindres et on admet que la force surfacique − → − s’écrit désormais d F = dF → u θ où dF a la même expression qu’à la question précédente. Déterminer le moment par rapport à Oz des forces exercées par le fluide sur le cylindre fixe en fonction de η, r1 , r2 , ω et L. Expliquer comment ce dispositif peut servir de viscosimètre. 6. Calculer la puissance fournie par le cylindre mobile au fluide en fonction de η, r2 , ω, r1 et L. En déduire que cette expérience illustre aussi l’existence d’une puissance dissipée par viscosité. Quel est l’effet thermodynamique de cette puissance si on suppose que le fluide évolue de manière adiabatique ? Quel est son effet thermodynamique si le fluide évolue de manière isotherme au contact d’un thermostat ? PSI - Année 2010/2011 5 Lycée Paul Eluard Physique TD no 5 : Dynamique des fluides en écoulement visqueux incompressible 8 Ecoulement dans une cellule de Hele-Shaw On considère le dispositif de la figure ci-dessous (vue de dessus et vue de côté), appelé cellule de Hele-Shaw. De l’eau s’écoule entre deux plaques transparentes parallèles séparées d’une distance a, en passant autour d’un disque fixe de centre O, d’épaisseur a et de rayon R a, coincé entre les deux plaques. L’axe Oz du disque est perpendiculaire aux plaques, et on prend l’origine O au milieu des deux plaques. On néglige les forces de pesanteur. L’écoulement est supposé incompressible et stationnaire. 1. En exploitant l’incompressibilité de l’écoulement et en raisonnant sur les ordres de grandeur, justifier que l’on peut négliger vz devant vx et vy , ce que l’on fera dans la suite. Ainsi, − → v est contenue dans le plan xOy dans la suite du problème. 2. En raisonnant à nouveau sur les ordres de grandeurs, justifier qu’on peut faire l’approximation suivante : → ∂2− v − →→ − ∆v ' ∂z 2 3. Montrer que l’équation de Navier-Stokes se réduit à : → ∂2− v −−→ gradP = η 2 ∂z si une condition sur V , R ν et a, que l’on précisera, est vérifiée (V correspond à l’ordre de grandeur de la vitesse de l’écoulement). VR Montrer qu’il n’est pas nécessaire que le nombre de Reynolds Re = soit faible pour ν que cette équation soit valable. −−→ → 4. Montrer que P ne dépend pas de z et expliciter − v en fonction de z, a, η et gradP . Montrer − que la moyenne spatiale de la vitesse → v sur l’épaisseur a permet d’obtenir : 2 a −−→ → h− v i = − gradP 6η Loi de Darcy 5. Monter que l’écoulement autour du cylindre peut être considéré comme globalement irrotationnel entre les deux plaques. PSI - Année 2010/2011 6 Lycée Paul Eluard Physique TD no 5 : Dynamique des fluides en écoulement visqueux incompressible 9 Régulateur de débit Un fluide visqueux de viscosité dynamique η, incompressible, de masse volumique µ0 , alimente un récipient R. z l R 2e B x L Ce fluide s’écoule par l’intermédiaire d’une buse B parallélipédique de hauteur 2e, de longueur L et de largeur `, avec L e et ` e. On étudie l’écoulement dans la buse B en faisant les hypothèses suivantes : → → . l’écoulement est stationnaire, laminaire, avec un champ des vitesses défini par : − v = v− ux; . en x = 0 (entrée de la buse), la pression est uniforme et vaut Pe ; . en x = L (sortie de la buse), la pression est uniforme et vaut Ps ; . les effets de la pesanteur seront négligés dans tout le volume de la buse. 1. Expliquer pourquoi le champ des vitesses dans la buse peut s’écrire sous la forme : → − → v = v(z)− ux 2. Montrer que le champ des vitesses dans la buse est donné par : ! v(z) = Pe − Ps z(2e − z) 2ηL 3. Tracer le profil des vitesses et déterminer la vitesse maximale v0 . 4. Déterminer le débit volumique DV du fluide à travers la buse, sachant que la vitesse maximale du fluide dans la buse B vaut v0 = 1.5m.s−1 . Données : µ0 = 880kg.m−3 ; e = 2mm ; L = 50cm ; ` = 30cm ; η = 0.2P l. PSI - Année 2010/2011 7 Lycée Paul Eluard