Tout est nombre

Cahier du «Monde»N
o22105 daté Mercredi10février 2016 -Nepeut êtrevenduséparément
Le trésor volé de la «Jeanne-Elisabeth»
Au terme d’une enquête associantarchéologuesetdouaniers, despilleurs d’un brick suédois coulé en1755 au larged’une plagedel’Hérault
viennentd’êtrecondamnés. La fouillescientifique du navire continue tandis qu’une partiedubutin esttoujours dans la nature.
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Tout estnombre
U
nnouveau record aété validéle7janvier:
2àlapuissance 74 207281 moins 1est le plus
grand nombrepremier connuàcejour.
Ce nombres’écrit avec 22338618 chiffres.
En soi, ce n’estpas une grandenouvelle. Depuis les
années 1950, le nombredechiffres du record suitde
près le progrèsdes ordinateurs. Il estmultipliépar 10 à
peuprèstous lesdix ans et on devraitdonc atteindre
le milliarddechiffres d’iciune quinzaine d’années.
Pourquoi cettecourseeffrénée?On pourraitparlerde
l’usagedes nombres premiers en cryptologie, ou de
l’intérêtdecetterecherche pour tester lesordinateurs,
mais il s’agitavant tout d’un de ces«problèmes plai-
sants et délectables qui se font par les nombres»,selon
le titred’un livredeBachet de Mériziac, publiéàLyon
en 1612. La vraiemotivation de nombreux mathéma-
ticiens esteneffet le plaisir et la délectation.
C’estl’occasion de présenter auxlecteurs du Monde
une démonstrationmathématique.Ilnes’agitcertes
pas d’une nouveauté puisqu’onlatrouvedans Les
Eléments, d’Euclide, composé il yaplusdedeux mille
ans. Mais elle représentepour beaucoupleparadigme
de la beautémathématique. Certains neurobiologistes
ontmême enfermé desmathématiciens dans destun-
nels IRMpour «mesurer»leurs émotions esthétiques.
Un nombreentierest premier s’iln’est divisible que
par deux nombres:1etlui-même. Parexemple,6n’est
pas premier car il estégal à2fois 3, alorsque 5nepeut
se décomposerque comme 5fois 1ou1fois 5, donc
5est premier.Siunentiern’est pas premier,ilpeut se
décomposerenunproduit de deux nombres plus
petits, quipeuvent àleur tour se décomposers’ils ne
sont pas premiers, etc. Au bout du compte,tout nom-
breentiersedécompose en un produitdenombres
premiers. C’estd’ailleurs ce quifaitleur intérêt:ce
sont lesbriquesélémentaires quipermettentde
construiretous lesnombres.Par exemple, 2016est
égal à2×2×2×2×2×3×3×7.
Euclideaffirme qu’ilexiste une infinité de nombres
premiers et voicicommentilledémontre. Prenez quel-
ques nombres premiers, par exemple5,13et31. Multi-
pliez-les:vous obtenez 2015. Ajoutez 1. Vous obtenez
un nombreentierN,égal à2016dans notreexemple.
Evidemment, Nn’est divisible par aucun desnombres
premiers dont on estparti puisquelereste de la divi-
sion estégal à1.Tous lesdiviseurs premiers de Nsont
donc différents de ceux dont on estparti. Pour toute
listefiniedenombres premiers, on peut ainsitrouver
un nombrepremier quin’est pas dans la liste.Ilya
donc une infinité de nombres premiers. CQFD.Pour
battrelerecord du 7janvier,il«suffirait» de multiplier
tous lesnombres premiers plus petits quelechampion
du moment, d’ajouter 1, et de choisir un diviseur
premier du résultat. Hélas, de tels calculs dépassent
très largementles capacités desordinateurs lesplus
puissants, et il faut développer d’autres stratégies.
L’un desproblèmesdelarecherche scientifique est
qu’elleest devenuesitechnique qu’ellenelaissepres-
queplusdeplace auxamateurs. Il estvraique certains
astronomesamateurs découvrentencore de nouvelles
comètes.Delamême manière, la quêtedenouveaux
nombres premiers estaccessible auxamateurs. Tout le
mondepeut téléchargergratuitementlelogicielGIMPS
(GreatInternet Mersenne Prime Search) et participer à
la recherche collective de nouveauxnombres premiers.
«Toutest nombre», enseignaitPythagore.p
Mélange d’objets et de pièces découvertsdans l’épave du naviresuédois. TEDDYSEGUIN/DRASSM
PORTRAIT
CARL ELLIOTT,BIOÉTHICIEN
ET LANCEUR D’ALERTE
→PAGE 7
NEUROLOGIE
RÉORGANISER SONCERVEAU
GRÂCE AU NEUROFEEDBACK
→PAGE 3
BIODIVERSITÉ
LE PARTAGEDES DONNÉES
SUSCITE DESRÉSISTANCES
→PAGE 2
carte blanche
Etienne Ghys
Mathématicien, directeur
de recherche au CNRS àl’Ecole
normale supérieuredeLyon.
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(PHOTO:FABRICE CATERINI)
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