L3 ALGÈBRE 1 NOTES DE COURS
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ALGÈBRE 1
NOTES DE COURS
7 janvier 2013
L3
ALGÈBRE 1
NOTES DE COURS
TABLE DES MATIÈRES
Références bibliographiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1. Groupes..................................................................... 9
1.1. Généralités sur les groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Groupesopérantsurunensemble......................................... 16
1.3. Produitsemi-direct....................................................... 21
1.4. Groupesabéliensdetypefini.............................................. 25
1.5. Groupes simples et suites de composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2. Groupes classiques........................................................... 33
Préliminairessurlescorps..................................................... 33
2.1. Legroupelinéaire........................................................ 34
2.2. Formessesquilinéaires.................................................... 39
2.3. Orthogonalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4. LethéorèmedeWitt...................................................... 44
2.5. Le groupe symplectique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6. Legroupeorthogonal..................................................... 49
2.7. Legroupeunitaire........................................................ 51
2.8. Quaternions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3. Algèbre tensorielle........................................................... 57
3.1. Produittensoriel......................................................... 57
3.2. Algèbretensorielle........................................................ 60
3.3. Algèbreextérieure........................................................ 62
3.4. Pfaffien.................................................................. 66
3.5. Algèbresymétrique....................................................... 68
4. Représentations des groupes finis............................................. 71
4.1. Représentations.......................................................... 71
4.2. Caractères. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3. Structure de K[G]......................................................... 80
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