La théorie des algèbres de Lie sans algèbre

La théorie des algèbres de
Lie sans algèbre
Mémoire de première année de FIMFA
Sous la direction de Philippe Gille
Yue YU, Thibault MANNEVILLE
2 juillet 2011

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Table des matières
1 Panorama 4
2 Notations et pré-requis 4
3 L’espace P(n)5
3.1 Calculdecourbure.......................... 5
3.2 Généralités sur le bord à l’infini d’un espace CAT(0) . . . . . . . 7
3.3 Etude de ∂P (n)............................ 8
4 Existence de points critiques 10
5 Retour à l’algèbre de Lie 11
5.1 Existence de l’involution de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.2 Conjugaison des involutions de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.3 Décomposition de Cartan compatible . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6 Discussion 19
6.1 D’autresapproches.......................... 19
6.2 Réciproque .............................. 19
6.3 Conclusion .............................. 19
7 Appendice : Rappels sur la théorie des groupes et algèbres de
Lie 20
7.1 Définitions premières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7.2 Représentation adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7.3 Groupe des automorphismes d’une algèbre de Lie . . . . . . . . . 22
7.4 FormedeKilling ........................... 23
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Suivant l’article de Simon Donaldson [Don09], nous présentons une démons-
tration géométrique de l’existence de la décomposition de Cartan d’une algèbre
de Lie semi-simple, qui est l’un des fondements de la théorie de Lie. Nous ex-
pliquons ici brièvement la méthode, et explorons des idées similaire. Nous re-
mercions chaleureusement notre tuteur Philippe Gille et notre professeur Pierre
Pansu, dont les conseils et la patience nous ont été précieux.
1 Panorama
La première étape de la preuve consiste à transformer le problème en la re-
cherche d’une certaine structure euclidienne sur l’algèbre de Lie g. Pour cela, on
considère une fonction sur l’ensemble de toutes les structures euclidiennes pos-
sibles, que l’on munit lui-même d’une métrique adéquate. Les points critiques
de cette fonction correspondent aux structures euclidiennes que l’on souhaite
obtenir. Le nœud de la démonstration est ainsi réduit à l’existence de points
critiques pour cette fonction. C’est aussi ce qui constitue réellement la partie
géométrique de ce mémoire. Dans le même esprit, nous fournissons une démons-
tration d’un théorème de Mostow sur la décompositon de Cartan compatible
(théorème 5.11) à la fin de l’article.
Notons que deux aspects de ce mémoire diffèrent de la présentation originale
de Donaldson :
1. On opère avec le groupe linéaire général GL(V)au lieu du groupe linéaire
spécial SL(V). Bien sûr, cela ne change pas fondamentalement les peuves,
mais permet d’éviter quelques vérifications fastidieuses1sur des détermi-
nants.
2. Nous avons choisi de mettre la discussion de l’espace symétrique GL(V)/O(V)
dans un cadre plus général, dans le but de rendre la structure plus claire
conceptuellement.
Signalons que toutes les notions rattachées aux groupes et algèbres de Lie
sont ”rappelées” dans l’appendice.
2 Notations et pré-requis
Dans le mémoire, gsignifie toujours une algèbre de Lie semi-simple de di-
mension finie sur R.
Définition 2.1. Une involution θ∈Aut(g)est appelée involution de Cartan si
la forme bilinéaire symétrique < X, Y >θ:= −κ(X, θY )est définie positive, (où
κest la forme de Killing). La décomposition g=k⊕pcomme somme d’espaces
propres de θpar rapport aux valeurs propres +1,−1respectivement est appelée
la décomposition de Cartan.
Une structure euclidienne < , > sur ginduit une transposition sur End(g).
Pour simplifier l’écriture, on dit que la structure euclidienne < , > est bonne si
l’image de ad est stable par cette transposition.
Constatons d’abord un lien entre l’involution de Cartan de get la structure
euclidienne < , > sur g. Nous pouvons énoncer la proposition suivante :
1Vérifications qui ne sont d’ailleurs pas faites non plus dans l’article.
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