ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES 1

6-10- 2010 J.F.C. p. 1
ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LIN´ EAIRES 1
Exercice 1 Intersection d’hyperplans.
Eest un espace vectoriel de dimension nsur K(n∈[[2,+∞[[).
Q1. Montrer que si Fet Gsont deux sous-espaces vectoriels de E: dim(F∩G)>dim F+ dim G−n.
Q2. D´eterminer la dimension de l’intersection de deux hyperplans distincts de E.
Q3. Soient H1,H2, ..., Hrrhyperplans de E. Montrer que dim(H1∩H2∩. . . ∩Hr)>n−r.
Q4. Montrer par r´ecurrence que si pappartient `a [[1, n]] et si Fest un sous-espace vectoriel de dimension n−palors
Fest l’intersection de phyperplans de E.
Exercice 2 fest une application lin´eaire de Edans E0et gune application lin´eaire de E0dans E00.
rg f+ rg g−dim E06rg(g◦f)6Min(rg f, rg g).
Exercice 3 fest une application lin´eaire de Edans E0et gune application lin´eaire de E0dans E00.
g◦f= 0L(E,E00 )´equivaut `a Im f⊂Ker g .
Exercice 4 Si fest une application lin´eaire de Edans E0, tout suppl´ementaire de Ker fest isomorphe `a Im f.
Exercice 5 Op´erations sur les endomorphismes nilpotents.
Soient fet gdeux endomorphismes nilpotents de Equi commutent. Montrer que f+get f◦gsont nilpotents.
Exercice 6 FCommutant d’un endomorpisme nilpotent.
Eest un espace vectoriel de dimension non nulle nsur K.
fest un ´el´ement de S.pest le plus petit ´el´ement de Ntel que fp= 0L(E).
Q1. Montrer qu’il existe un ´el´ement ade Etel que la famille B=a, f (a), f 2(a), . . . , f p−1(a)soit libre.
En d´eduire que : p6n.
Q2. On suppose que p=n. On se propse d’´etudier l’ensemble Gdes ´el´ements de L(E) qui commutent avec f.
a) Montrer que B=a, f (a), f 2(a), . . . , f n−1(a)est une base de Eet ´ecrire la matrice de fdans cette base.
b) Montrer que Gest un sous-espace vectoriel de L(E) qui contient : Vect(IdE, f, f 2, ..., f n−1).
c) R´eciproquement soit gun ´el´ement de G.g(a) est un ´el´ement de Edonc s’´ecrit comme combinaison lin´eaire des
´el´ements de B.∃(λ0, λ1,· · · , λn)∈Kn, g(a) =
n−1
X
k=0
λkfk(a).
Montrer alors que g=
n−1
X
k=0
λkfk. Conclure.
Exercice 7 Encore un peu de nilpotence.
Soit fun endomorphisme de Etel qu’il existe un ´el´ement rde N∗v´erifiant fr= 0L(E).
Montrer que g= IdE−fest un automorphisme de Eet d´eterminer g−1. Illustrer.

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Exercice 8 FDiff´erence de deux projecteurs.
pet qsont deux projections de E.f=p−q.
Q1. On suppose que fest une projection. Montrer que : p◦q+q◦p= 2qet que : p◦q=q◦p=q.
Q2. R´eciproquement on suppose que p◦q=q◦p=q. Montrer que fest une projection parall`element `a Ker p+ Im q.
D´eterminer Im f.
Exercice 9 FEndomorphisme dont le carr´e est −Id.
Eest un espace vectoriel sur Rde dimension nnon nulle.
Q1. fest un endomorphisme de Etel que f2=−IdE.
a) Montrer que si (e1, e2, . . . , ep) est une famille d’´el´ements de Etelle que (e1, f (e1), e2, f (e2), . . . , ep, f (ep)) soit libre
et non g´en´eratrice alors il existe un ´el´ement ep+1 de Etel que (e1, f(e1), e2, f (e2), . . . , ep+1, f (ep+1)) soit libre.
b) En d´eduire que nest pair. Repr´esenter fpar une matrice simple.
Q2. On suppose que nest pair. Montrer qu’il existe un endomorphisme fde Etel que f2=−IdE.
Exercice 10 FF Noyaux et images it´er´es.
Eest de dimension finie et non nulle n et fun endomorphisme de E. Pour tout kdans Non pose :
Nk= Ker fket Ik= Im fk.
Q1. Montrer que la suite (Nk)k>0est croissante au sens de l’inclusion et que la suite (Ik)k>0est d´ecroissante (toujours
au sens de l’inclusion).
Q2. Montrer que S={k∈N|Nk+1 =Nk}est une partie non vide de N. On note pson plus petit ´el´ement.
Montrer que la suite (Nk)06k6pest strictement croissante et la suite (Nk)k>pconstante. Qu’en est-il pour la suite des
images ?
Montrer que p6n.
Q3. Montrer que E=Np⊕Ip.
Exercice 11 FEspaces vectoriels isomorphes. Interpolation de Lagrange.
fest une application de Idans R.x0,x1, ..., xnsont n+ 1 points distincts de I.
On se propose de montrer qu’il existe un unique polynˆome P, de degr´e au plus n, qui co¨ıncide avec fen x0,x1, ...,
xn.
Q1. Version 1. On pose ∀P∈Rn[X], ϕ(P) = P(x0), P (x1), . . . , P (xn).
Montrer que ϕest un isomorphisme de Rn[X] sur Rn+1. Conclure.
Q2. Version 2. Pour tout ´el´ement kde [[0, n]], Ukest le quotient de U=
n
Y
i=0
(X−xi) par X−xket Lk=1
Uk(xk)Uk.
a) Montrer que (L0, L1, . . . , Ln) est une base de Rn[X]. Trouver les coordonn´ees d’un ´el´ement Pde Rn[X] dans cette
base.
b) Retouver le r´esultat.
Exercice 12 Endomorphisme d’une espace vectoriel de polynˆomes.

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E=R3[X], A=X4−1 et B=X4−X.
A tout P´el´ement de Eon associe le reste f(P) dans la division de AP par B.
Q1. Montrer que fest un endomorphisme de E.
Q2. Montrer que Ker fest une droite vectorielle.
Q3. Fest l’ensemble des ´el´ements de Edivisibles par X−1. Montrer que Fest un sous espace vectoriel de Ede
dimension 3. Montrer que Im f=F.
Exercice 13 Comparaison des spectres de g◦fet de f◦g.
Q1. fet gsont deux endomorphismes de Etel que ϕ= IdE−f◦gsoit un automorphisme de E.
On se propose de montrer que ψ= IdE−g◦fest ´egalement un automorphisme de E.
Soit yun ´el´ement de E. On suppose que xest un ant´ec´edent de ypar ψdans E.
Montrer que f(x) = ϕ−1f(y)puis que x=y+gϕ−1(f(y)). Indiquer ce que cela prouve.
Conclure et exprimer ψ−1`a l’aide de ϕ−1.
Q2. fet gsont deux endomorphismes d’un K-espace vectoriel Ede dimension finie.
a) λest un ´el´ement non nul de K. Montrer en utilisant Q1 que f◦g−λIdEest bijectif si et seulement si g◦f−λIdE
est bijectif.
b) On suppose que g◦fest bijectif. Montrer que fest injectif et que gest surjectif. En d´eduire que f◦gest bijectif.
c) Comparer le spectre de g◦fet le spectre de f◦g.
Exercice 14 Eest un espace vectoriel de dimension nsur K.fest un endomorphisme de Ede rang r.
Q1. ∀u∈ L(E), ϕ(u) = f◦u. Montrer que ϕest un endomorphisme de L(E) et donner son rang en fonction de r
(consid´erer le noyau).
Q2. Mˆeme chose en posant : ∀u∈ L(E), ϕ(u) = u◦f.
Exercice 15 ESCP 2002 Soit E=R[X] l’espace vectoriel des polynˆomes `a coefficients r´eels. Pour tout
endomorphisme ude Eet pour tout m∈N, l’endomorphisme umest d´efini par :
u0=IdEet ∀m∈[[1,+∞[[, um=u◦um−1.
On note Dl’application d´erivation qui `a tout Pde Eassocie le polynˆome d´eriv´ee P0.
Soit fun endomorphisme de Etel qu’il existe deux ´el´ements ket mv´erifiant : fk=Dm.
Q1. Montrer que Dest un endomorphisme surjectif de E. En d´eduire que fest un endomorphisme surjectif de E.
Q2. D´eterminer Ker Dm.
Q3. Montrer que pour tout ´el´ement pde ∈[[0, k]], Ker fpest de dimension finie.
Q4. Soit p∈[[1, k]] et ϕl’application d´efinie sur Ker fppar ϕ(P) = f(P).
a) Montrer que ϕest une application lin´eaire de Ker fpdans Ker fp−1.
b) D´eterminer son noyau et montrer que ϕest surjective.
c) D´eterminer une relation entre la dimension de Ker fpet celles de Ker fp−1et de Ker f.
Q5. En d´eduire la dimension de Ker fken fonction de ket de la dimension de Ker f.

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Q6. Soit ket mdeux ´el´ements de N∗. D´eterminer une condition n´ecessaire et suffisante portant sur (k, m) pour qu’il
existe un endomorphisme fde Etel que fk=Dm.
Exercice 16 Q1. Eest un espace vectoriel sur K,ϕet ψsont deux formes lin´eaires non nulles sur E.
Q1 Montrer que Ker ϕ= Ker ψsi et seulement si, il existe un ´el´ement non nulle λde Ktel que ψ=λ ϕ.
Q2 Application B= (e1, e2, . . . , en) est une base d’un espace vectoriel Esur K.Hest un hyperplan de E.
a1x1+a2x2+· · · +anxn= 0 et b1x1+b2x2+· · · +bnxn= 0 sont deux ´equations de Hdans B.
Montrer qu’il existe un ´el´ement non nul λde Ktel que : ∀i∈[[1, n]], bi=λ ai.
Exercice 17 Eest un espace vectoriel de dimension nsur K.uet vsont deux endomorphismes de Etels que :
u2=v2= IdEet Ker(u−IdE) = Ker(v−IdE).
Q0 fet gsont deux endomorphismes de E. Montrer que g◦f= 0L(E)si et seulement si Im f⊂Ker g.
Q1 Montrer que Ker(u−IdE) et Ker(u+IdE) sont suppl´ementaires (c’est du cours mais je veux qu’on le red´emontre).
Q2 a) Montrer que Im(u+ IdE)⊂Ker(u−IdE) = Ker(v−IdE).
b) Montrer en fait que : Im(u+ IdE) = Ker(u−IdE) = Ker(v−IdE).
c) Que dire de (v−IdE)◦(u+ IdE) ?
Q3 On pose f=v◦u−IdE. Montrer que f=u−v. Prouver que f2= 0L(E)(on pourra sans doute remarquer que
le probl`eme est sym´etrique en uet v).
Q4 Montrer que u◦v=v◦usi et seulement si u=v.
Exercice 18 aest un r´eel et Eest l’espace vectoriel des applications de Rdans Rde classe C∞sur R.
Fest l’ensemble des applications fde Rdans R, deux fois d´erivable sur Ret telles que f00 +a f = 0A(R,R).
Q1 a) Soit fun ´el´ement de F. Montrer que fest de classe C∞sur Ret exprimer ses d´eriv´ees successives en fonction
de fou de f0(... et de a).
b) Montrer que Fest un sous-espace vectoriel de E.
Dans la suite on se propose de montrer que Fest de dimension 2 et d’en trouver une base.
Q2 Examiner le cas o`u aest nul. Dans la suite a est non nul.
Q3 On consid`ere l’application ϕde Fdans R2d´efinie par : ∀f∈F, ϕ(f) = (f(0), f0(0)).
a) Montrer que ϕest lin´eaire.
b) Soit fun ´el´ement de Ker ϕ.
Montrer que ∀p∈N∗,∀x∈R,|f(x)|6|x|2p
(2 p)! |a|pMax
t∈[0,x]|f(t)|. En d´eduire que fest la fonction nulle.
En d´eduire que la dimension de Fest inf´erieure ou ´egale `a deux.
Q4 a) On suppose que aest strictement n´egatif. Trouver l’ensemble des r´eels λtels que x→eλ x appartienne `a F.
Achever alors de r´esoudre le probl`eme pos´e.
b) On suppose que aest strictement positif. Soit cun r´eel.
Trouver l’ensemble des r´eels non nuls λtels que x→cos(λ x +c) appartienne `a F. Achever alors de r´esoudre le
probl`eme pos´e.