Mouvement des planètes

Physique - 7 ème année - Ecole Européenne
Ecole Européenne de Francfort Page 159
Approfondissement n° 2 : MOUVEMENT DES PLANETES
I) La pomme et la Lune
- Les prédécesseurs de Newton et notamment Képler, pensaient à tort que le mouvement d'une
planète est dû à une action mécanique exercée dans la direction du mouvement.
:
- Tout le monde connaît l'histoire de la pomme de Newton : une pomme se détache de la
branche sur laquelle elle est accrochée et tombe. D'une façon générale tout objet situé près
de la Terre et privé d'attache ou de support tombe vers le centre de la Terre.
Qu'en est-il de la Lune ? Dépourvue d'attache elle doit également tomber vers la terre !
- Analogie avec la "fronde" : la pierre tenue par la fronde tourne autour de la main du lanceur.
Le mouvement est pratiquement circulaire uniforme. Si le lanceur lâche un brin de la fronde,
la pierre quitte tangentiellement sa trajectoire circulaire. De même, si la Lune n'était pas
attirée par la Terre elle poursuivrait son chemin tout droit dans l'espace.
- Newton pense que c'est l'attraction terrestre qui incurve la trajectoire de la Lune. La Lune
"tombe" vers la Terre mais sa vitesse tangentielle est si grande que sa chute incurve juste
assez sa course pour la maintenir à la même distance de la Terre.
- Traitement mathématique du problème :
Les données numériques sur le mouvement de la Lune et les expériences réalisées sur la
chute des corps permettent à Newton de montrer que :
L'attraction terrestre est inversement proportionnelle au carré de la distance de l'objet (la
pomme ou la Lune) au centre de la Terre.
Newton érige en loi universelle ses conclusions énoncées pour la terre. Les lois de Képler
trouvent leur explication dans cette loi. Des mesures de la constante de gravitation ont été
effectuées par Cavendish en 1798 à l'aide d'une balance de torsion. Plus tard, des mesures
plus précises ont été effectuées par Boys en 1895.
II) Le mouvement des planètes
1)
:
Les principaux éléments d'une orbite
La plupart des orbites sont elliptiques. Les orbites des planètes sont presque circulaires.
Celles des comètes sont souvent des ellipses très allongées (par exemple celle de la comète
de Halley), quelques unes sont même paraboliques ou légèrement hyperboliques.
:
On appelle périhélie le point de l'orbite le plus rapproché du Soleil. Le point le plus éloigné,
qui y est diamétralement
opposé, est l'aphélie. Dans le
cas de l'orbite de la Lune
autour de la Terre, les points
correspondants portent les
noms de périgée et apogée
L'orientation de l'orbite d'une
planète dans l'espace est
déterminée par les trois
éléments suivants :
.
- l'inclinaison
- la
i de l'orbite sur le plan de l'orbite terrestre (l'écliptique). Pour Mars i = 2°, pour
Mercure 7°, pour Pluton 17°.
longitude
Soit N1N2 l'intersection du plan de l'orbite avec celui de l'écliptique (ligne des nœuds).
Ω du nœud ascendant est l'angle compris entre la direction du point vernal
(longitude 0°) et la direction du nœud ascendant, vu du Soleil. Cet angle est mesuré dans
le plan de l'écliptique.

Mouvement des planètes
Page 160 Christian BOUVIER
Si la planète traverse le plan de l'écliptique au point P, en allant du Sud vers le Nord, ce
point P, (ou N) est appelé le nœud ascendant. Le point P2 (ou N2) qui lui est
diamétralement opposé, et où se trouve le corps lorsqu'il passe du Nord au Sud de
l'écliptique, est le nœud descendant.
- l'argument du périhélie
Le mouvement de chaque planète est soumis à des perturbations dues à l'attraction des
autres planètes. On distingue des perturbations séculaires et des variations périodiques, de
plus courte période. Par exemple, l'excentricité de l'orbite de la Terre est égale à 0,0161 en
2000 et sera de 0,01662 en 2200 !
est l'angle ω vu du Soleil, entre la direction du nœud ascendant et
celle du périhélie. Cet angle est mesuré dans le plan de l'orbite. Le Soleil se trouve à l'un
des foyers de l'orbite elliptique. La vitesse d'une planète est maximale au périhélie,
minimale à l'aphélie.
2) Les lois de Képler
Tycho Brahé (1546-1601) a rassemblé, au cours de sa vie, un grand nombre de données
précises sur la position des planètes. Il a obtenu ces mesures, avant la découverte de la
lunette astronomique, grâce aux grands instruments dont il équipa l'observatoire
astronomique qu'il fit édifier à partir de 1576 sur l'île de Hveen au Danemark.
:
Johannes Képler (1571-1630) qui fut l'assistant de Tycho, établît, à partir des données
recueillies, trois lois sur le mouvement des planètes :
- 1ère loi établie en 1609 :
La trajectoire de chaque planète est une ellipse dont le Soleil occupe l'un des foyers.
- 2ème loi établie en 1609 :
Les aires balayées par le rayon vecteur sont proportionnelles aux temps mis à les balayer.
- 3ème loi établie en 1619 :
Les carrés des durées de révolution sont proportionnels au cube des demi grands axes.
Le soleil occupe un foyer de l'ellipse décrite par la planète.
Les aires A et A' balayées en des intervalles de temps
égaux sont égales : la planète se déplace donc plus vite vers
son périhélie que vers son aphélie.
Newton pense que les planètes suivent une trajectoire
elliptique sous l'influence de l'attraction du Soleil.
3) La loi de Newton
La trajectoire étant plane, la force sous l'action de laquelle la planète la décrit est située dans
son plan. Dans le plan où a lieu le mouvement, utilisons des coordonnées polaires :
:
r = SM et θ = (
→
i
,
→
r
). On a d'une part :
→
r
= r.
→
r
u
La 2ème loi de Képler exprime que l'aire balayée par le rayon vecteur par unité de temps
(vitesse aréolaire) est une constante. Notons dA l'aire du triangle SMM', M' étant la position
de la planète à l'instant de date t + dt. On a :dA =
2
1
.r.(r + dr).sin(dθ) ≈
2
1
.r2.dθ
d'où 2ème loi de Képler ⇐⇒
dt
dA
=
2
1
.r2.
dt
dθ
=
2
C
= cte
En particulier, l'aire de l'ellipse est A = π.a.b et elle est décrite par la planète en une période
T, on en déduit que
2
C
=
Tb.a.π
:
La valeur de la constante aréolaire est C =
Tb.a..2 π

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Dans le référentiel héliocentrique de Képler RS, considéré comme galiléen, le moment
cinétique de la planète est :
→
L
= m.
→
r
Λ
→
v
→
v
=
→
dt
rd
=
dt
dr
.
→
r
u
+ r.
→
dt
ud
r
=
dt
dr
.
→
r
u
+ r.
dt
dθ
.
→
θ
u
donc
→
m
L
= r.
→
r
uΛ (
dt
dr
.
→
r
u
+ r.
dt
dθ
.
→
θ
u
) = r2.
dt
dθ
.
→
z
u
La deuxième loi de Képler qui implique que r2.
dt
dθ
= C donne donc
→
L
= m.C.
→
z
u
=
→
0
L
Le moment cinétique
→
L
de la planète est constant.
La dérivée du moment cinétique est donc nulle :
→
dt
Ld
= m.
→
dt
rd
Λ
→
v
+ m.
→
r
Λ
→
dt
vd
= m.
→
v
Λ
→
v
+ m.
→
r
Λ
→
a
=
→
0
→
r
Λ (m.
→
a
) =
→
0
, le théorème du centre d'inertie s'écrit : m.
→
a
=
→
F
soit
→
r
Λ
→
F
=
→
0
On en déduit que la force ne peut être que dirigée suivant
→
r
, c'est-à-dire suivant
→
r
u
.
La force que subit la planète de la part du Soleil est une force centrale :
→
F
= f(r).
→
r
u
Nous allons essayer de déterminer l'expression de f(r).
L'ellipse C est caractérisée par (§ : V) :
- un demi-grand
- un demi-petit axe OB = OB' =b,
axe OA = OA' = a,
- une distance OF = OF' = c = 22 ba −,
- une excentricité
a
c
e = < 1,
- un paramètre
a
b2
p = = a.(1 − e2)
- une aire A = π.a.b
L'équation de l'ellipse en coordonnées cartésienne est : 2
2
a
x
+ 2
2
b
y = 1.
Avec x =
OF
+
FN
= a.e + r.cosθ et y =
NM
= r.sinθ
En portant ces valeurs dans l'équation cartésienne de l'ellipse, on obtient :
2
2
a
)cos.re.a( θ+ +
)e1.(a)sin.r( 22
2
−
θ
= 1 soit a2.(1 − e2).(a.e + r.cosθ)2 + a2.r2.sin2θ = a4.(1 − e2)
r2.(cos2θ + sin2θ) = a2.(1 − e2)2 − 2.a.(1 − e2).e.r.cosθ + e2.r2.cos2θ
r2 = [a.(1 − e2) − e.r.cosθ]2
et enfin r = a.(1 − e2) − e.r.cosθ
que l'on peut écrire
r
1
= )e1.(acos.e1 2
−
θ+ [1]
Dérivons deux fois cette expression en fonction de θ :
2
2
d)r/1(d θ
= )e1.(acos.e 2
−
θ− [2]
La formule de Binet (§ : IV) nous indique que lorsqu'un corps de masse m est soumis à une
force centrale
→
F
= f(r).
→
r
u
, il existe une relation faisant intervenir les coordonnées polaires du
corps, l'intensité de cette force f(r), la masse m et la constante aréolaire C .
f(r) = −
2
2
rC.m
.[
2
2
d)r/1(d θ
+
r
1
]

Mouvement des planètes
Page 162 Christian BOUVIER
En remplaçant par [1] et [2], on a : f(r) = −
2
2
rC.m
.
)e1.(a12 −
La constante aréolaire donne : C2 =
2
222
Tb.a..4 π
=
2
242
T)e1.(a..4 −π
D'où f(r) = −
2
r.m
.
2
32
Ta..4 π
D'après la 3ème loi de Képler,
2
32
Ta..4 π
= k prend la même valeur pour toutes les planètes.
f(r) = − k. 2
r.m
Ainsi, il résulte des trois lois de Képler que les planètes sont soumises à des forces dirigées
vers le Soleil, proportionnelles à leurs masses, et inversement proportionnelles au carré de
leurs distances au Soleil.
4) Attraction universelle
On considère deux objets ponctuels (A) et (B), de masses mA et mB et placés en des points
A et B à une distance r l'un de l'autre.
:
L'objet (A) exerce sur l'objet (B) une force attractive
→
→BA
F
et l'objet (B) exerce sur l'objet (A)
une force attractive
→
→AB
F
Ces deux forces sont appelées forces gravitationnelles.
D'après le principe d'interaction :
→
→BA
F
= −
→
→AB
F
et
→
→BA
F
et
→
→AB
F
sont colinéaires.
L'intensité commune des deux forces gravitationnelles est donnée par l'expression :
F
A B→ =
F
B A→ = K.
2BA
rm.m
K est la constante de gravitation universelle : K = 6,67.10−11 N.m2.kg−2
Désignons par
→
AB
u
le vecteur unitaire de la droite (AB) orienté de A vers B.
La force
→
→BA
F
qu'exerce l'objet (A) sur l'objet (B) s'écrit :
→
→BA
F
= − K.
2BA
rm.m
.
→
AB
u
= mB.
→)B(GA
→)B(GA
= − K.2
A
r
m
.
→
AB
u
est le champ de gravitation créé au point B par l'astre placé en A.
Soit un objet "étendu" sphérique (M) et homogène ou constitué de couches sphériques
concentriques et homogènes (cas de la plupart des astres).
Nous admettrons que (M) est équivalent, du point de vue des forces de gravitation qu'il
exerce ou qu'il subit, à un objet quasi-ponctuel de même masse, placé en son centre.
III) Mouvement d'un satellite
1)
:
Système isolé
On considère le système formé de deux astres en interaction. Les deux astres étant très
éloignés de tout autre astre nous pouvons considérer que le système est isolé.
:
Soit Rg un référentiel galiléen auquel on lie un repère (O,
i
→
,
j
→
,
k
→
), et soit RG le référentiel
lié au barycentre G du système. Le repère (G,
→
G
i
,
→
G
j
,
→
G
k), lié à RG, est tel que, à chaque
instant
→
G
i
=
i
→
,
→
G
j
=
j
→
et
→
G
k
=
k
→
, RG est donc en translation par rapport à Rg (on peut
toujours le choisir ainsi).

Physique - 7 ème année - Ecole Européenne
Ecole Européenne de Francfort Page 163
On démontre alors que :
Pour un système isolé, le référentiel barycentrique RG, en translation par rapport à un
référentiel galiléen Rg, est, en fait, en translation rectiligne uniforme par rapport à Rg :
Le référentiel barycentrique RG, en translation par rapport à un référentiel galiléen Rg, est
un référentiel galiléen.
2) Réduction canonique
On considère le système isolé formé de deux astres (M1) et
(M2) de masses m1 et m2, centrés en des points M1 et M2 et en
interaction.
:
On désigne par
F1 2→
→
la force que subit (M2) sous l'action de
l'astre (M1) et par
F2 1→
→
, la force que subit l'astre (M1) sous
l'action de l'astre placé (M2).
D'après le principe de l'action et la réaction on a, bien sûr, F1 2→
→
= − F2 1→
→
.
Soit G le centre d'inertie du système et soit R* le référentiel barycentrique et galiléen
Soit .
→
u
le vecteur unitaire ayant pour direction la droite (M1M2) et dirigé de M1 vers M2.
On appelle réduction canonique du problème à deux corps (M1) et (M2), l'opération qui
consiste à étudier, dans le référentiel R* barycentrique et galiléen
- de masse m =
, le mouvement d'un point
matériel "fictif" M :
21
21 mm m.m
+
, appelée masse réduite du système,
- de vecteur position
→
GM
=
→
r
=
→
2
1MM
,
- de vecteur vitesse
→
v
égale à la vitesse relative de M2 par rapport à M1,
- en mouvement sous l'action de la force centrale
F1 2→
→
= f(r).
→
r
u
.
Par définition du centre d'inertie, d'une part : m1.
→
1
GM
+ m2.
→
2
GM
=
→
0
[1]
D'autre part
→
GM
=
→
2
1MM
= −
→
1
GM
+
→
2
GM
[2]
En combinant [1] et [2], on a :
→
1
GM
= −
21
2
mmm +
.
→
GM
et
→
2
GM
= +
21
1
mm m +
.
→
GM
3) Cas d'un satellite
Si la masse m2 de l'un des deux astres est très petite devant la masse m1 de l'autre, on
parlera d'un satellite en orbite autour d'un astre.
:
Si m2 << m1 :
-
→
2
GM
= +
21
1
mm m +
.
→
GM
≈
→
GM
, M2 est pratiquement confondu avec M,
-
→
1
GM
= − 21
2
mm
m
+.
→
GM
≈
→
0
, M1 est pratiquement confondu avec G,
- m =
21
21 mm m.m
+
=
1
2
2
m
m
1
m
+ ≈ m2, m est pratiquement égal à m2.