PGCD - PPCM

PGCD - PPCM
1
Plus grand diviseur commun de deux entiers
1.1
Définition - Exemples
Définition 1 Soient a et b deux éléments de Z. aZ+bZ est un sous-groupe de Z donc il existe δ ∈ N
tel que aZ + bZ = δZ. On appelle δ le plus grand diviseur commun de a et b et on note δ =pgcd(a, b)
ou δ = a ∧ b.
Exemple 2 On a vu dans le chapitre précédent pgcd(2, 3) = 1 et pgcd(10, 25) = 5.
Remarque 3
• pgcd(0, 0) = 0.
• Comme pour tout a ∈ Z, aZ = |a| Z on a pgcd(a, 0) = |a|
• Pour tout a et b dans Z, pgcd(a, b) = pgcd(b, a) = pgcd(|a| , |b|).
• Soient a, b ∈ N alors
a|b ⇐⇒ pgcd (a, b) = a
Démonstration. Les trois premiers points sont très faciles. Montrons le dernier on a
a|b ⇐⇒ bZ ⊂ aZ ⇐⇒ aZ + bZ = aZ ⇐⇒ pgcd (a, b) = a
Proposition 4 Soient a et b deux entiers relatifs. Soit δ ∈ N. Alors δ = pgcd(a, b) si et seulement
si
l’entier δ divise a et b
si d est un diviseur de a et de b alors d divise δ
Cela explique le nom de plus grand diviseur commun pour δ.
Démonstration. Notons δ = pgcd (a, b). On a aZ ⊂ δZ donc δ|a, de même bZ ⊂ δZ donc δ|b.
Donc δ est un diviseur commun à a et b.
Soit d un diviseur de a et b, alors aZ ⊂ dZ et bZ ⊂ dZ donc aZ ∪ bZ ⊂ dZ donc (par définition
de la somme de deux sous-groupes) aZ + bZ ⊂ dZ donc δZ ⊂ dZ et donc d|δ.
Réciproquement soit δ un entier positif vérifiant :
l’entier δ divise a et b
si d est un diviseur de a et de b alors d divise δ
Il faut montrer que δ = pgcd (a, b).
On a aZ ⊂ δZ et bZ ⊂ δZ donc aZ + bZ ⊂ δZ et aZ + bZ = pgcd (a, b) Z donc δ |pgcd (a, b).
D’autre part pgcd (a, b) est un diviseur de a et de b donc par définition de δ on a pgcd (a, b) |δ, et
donc l’égalité souhaitée.
Exemple 5
• On a pgcd(4, 6) = 2 , pgcd(4, 7) = 1
• pgcd(5 × 7, 7 × 11) = 7
• pgcd(312 , 319 ) = 312
• pgcd(215 × 38 × 52 , 29 × 320 × 7) = 29 × 38
1.2
Méthode de calcul : Algorithme d’Euclide
Proposition 6 Soit a et b deux entiers naturels non nuls. Soit r le reste de la division euclidienne
de a par b. Alors pgcd(a, b) = pgcd(b, r).
Démonstration. On va montrer que l’ensemble des diviseurs de a et b : Da ∩ Db et l’ensemble
des diviseurs de b et r : Db ∩ Dr sont égaux, ce qui donnera le résultat.
Écrivons la division euclidienne de a par b, donc a = bq + r avec 0 ≤ r < b. Comme
r = a − bq
si un nombre d divise a et b alors d divise r. Donc Da ∩ Db ⊂ Db ∩ Dr .
Réciproquement, si d divise b et r alors d divise a = bq + r donc Db ∩ Dr ⊂ Da ∩ Db .
Proposition 7 Algorithme d’Euclide. Soit a et b deux entiers naturels non nuls. On construit
par récurrence une suite d’entiers naturels (rn )n∈N de la façon suivante : r0 = a, r1 = b, r2 est le
reste de la division euclidienne de r0 par r1 , et de proche en proche, tant que rn 6= 0, rn+1 est égal
au reste de la division euclidienne de rn−1 par rn . Alors il existe un entier N tel que rN 6= 0 et
rN +1 = 0. Alors pgcd(a, b) est égal au dernier reste non nul rN .
Démonstration. Tant que les restes sont non nuls, on définit une suite telle que 0 ≤ rn < rn−1 <
· · · < r2 < r1 . Il s’agit donc d’une suite d’entiers naturels strictement décroissante. Au bout d’un
nombre fini d’étapes on obtient alors un reste nul (on a N ≤ b). En utilisant le lemme précédent, on
obtient
pgcd(a, b) = pgcd(b, r2 ) = pgcd(r2 , r3 ) = · · · = pgcd(rN −1 , rN ) = pgcd(rN , 0) = rN
Exemple 8 Soient a = 144 et b = 84. On calcule
144 = 1 × 84 + 60 r2 = 60
84 = 1 × 60 + 24 r3 = 24
60 = 2 × 24 + 12 r4 = 12
24 = 2 × 12 + 0
r5 = 0
On a donc pgcd(144, 84) = 12.
1.3
Relation de Bézout
Théorème 9 Relation de Bézout.
Soient a et b deux entiers relatifs. Alors il existe des entiers relatifs u et v tels que pgcd(a, b) =
au + bv.
Démonstration. Notons δ = pgcd (a, b) on a δ ∈ δZ = aZ + bZ donc il existe u et v tels que
δ = au + bv.
Remarque 10 Soit δ ∈ N. Nous venons de montrer que si δ = pgcd(a, b) alors il existe un couple
d’entiers (u, v) tel que δ = au + bv. La réciproque est fausse dans le cas général. Par exemple, pour
a = 4, b = 2 et δ = 6, on a 6 = 4 × 1 + 2 × 1 et 6 6= pgcd(4, 2) = 2. Plus généralement, s’il existe un
couple d’entiers (u, v) tel que d = au + bv alors pgcd(a, b) divise d.
Exemple 11 Soient a = 63 et b = 37. On calcule
63 = 37 × 1 + 26 r2 = 26
37 = 26 × 1 + 11 r3 = 11
26 = 11 × 2 + 4 r4 = 4
11 = 4 × 2 + 3
r5 = 3
4=3×1+1
r6 = 1
On part de la dernière relation et on remplace les restes en utilisant les formules de bas en haut de
la façon suivante :
1=4−3×1
1= 4− (11 − 4 × 2) = −11 + 4 × 3
1 = −11 + (26 − 11 × 2) × 3 = −7 × 11 + 26 × 3
1 = −7 × (37 − 26 × 1) + 26 × 3 = −7 × 37 + 26 × 10
1 = −7 × 37 + (63 − 37 × 1) × 10 = −17 × 37 + 10 × 63
Départ
On a remplacé
On a remplacé
On a remplacé
On a remplacé
r5
r4
r3
r2
Finalement la relation de Bézout est :
10 × 63 − 17 × 37 = 1 = pgcd(63, 37)
Proposition 12 Soient a et b deux entiers relatifs. Alors pour tout k ∈ N,
pgcd(ka, kb) = k × pgcd(a, b)
Démonstration. Si k = 0 l’égalité est vérifiée. Supposons k 6= 0. Soit D = pgcd (ka, kb) et δ =
pgcd (a, b). Comme δ divise a et b, kδ divise ka et kb donc kδ divise D.
Par ailleurs, k divise ka et kb donc k divise D. Il existe q ∈ Z tel que D = kq. Comme kq divise
ka et kb, q divise a et b donc q divise δ. On en déduit que D divise kδ.
Finalement on a donc kδ = D.
Exemple 13 pgcd(42, 56) = 7× pgcd(6, 8) = 7 × 2 = 14.
2
Eléments premiers entre eux
Définition 14 On dit que les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si pgcd(a, b) = 1
(noté aussi a ∧ b = 1).
Proposition 15 Soient a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls. Soit δ un diviseur positif
de a et de b. Il existe a0 ∈ Z tel que a = δa0 et il existe b0 ∈ Z tel que b = δb0 . Alors δ est le pgcd de
a et b si et seulement si a0 et b0 sont premiers entre eux.
Démonstration. Le diviseur δ est nécessairement non nul. Comme a = δa0 et b = δb0 ,
pgcd(a, b) = pgcd(δa0 , δb0 ) = δ × pgcd(a0 , b0 )
Par conséquent, pgcd (a, b) = δ ⇐⇒ pgcd (a0 , b0 ) = 1.
Théorème 16 Théorème de Bézout. Les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement
s’il existe deux entiers relatifs u et v tels que 1 = au + bv.
Démonstration. Si pgcd (a, b) = 1 alors il existe un couple d’entiers (u, v) tel que 1 = au + bv
(relation de Bezout). Réciproquement, supposons qu’il existe deux entiers u et v tels que 1 = au+bv.
Soit d un diviseur de a et de b. Alors d divise 1 donc |d| = 1. D’où pgcd (a, b) = 1.
Proposition 17 Soit n ∈ N, n ≥ 2. Soit a1 , . . . , an des entiers relatifs. Si a est premier avec chacun
des ai (i = 1 . . . n) alors a est premier avec leur produit.
Démonstration. Comme pgcd (a, a1 ) = 1, il existe des entiers u1 et v1 tels que 1 = au1 + a1 v1 .
De même, il existe u2 et v2 tels que 1 = au2 + a2 v2 . En multipliant ces deux termes, on obtient
1 = a × (au1 u2 + u1 a2 v2 + a1 v1 u2 ) + a1 a2 × (v1 v2 ). D’où pgcd (a, a1 a2 ) = 1. La propriété est donc
vraie pour n = 2.
Supposons la propriété vraie à l’ordre n. Soit a1 , . . . , an+1 n + 1 entiers premiers séparément avec
a. En utilisant l’hypothèse de récurrence avec a1 , . . . , an , on obtient que a est premier avec le produit
a1 · · · an . On conclut en utilisant la propriété avec les deux entiers a1 · · · an et an+1 .
Exemple 18 Comme pgcd(3, 5) = 1 et pgcd(3, 8) = 1, on a pgcd(3, 40) = 1.
Corollaire 19 Soient a et b deux entiers relatifs. Si a et b sont premiers entre eux alors pour tout
n ∈ N∗ et p ∈ N∗ , an et bp sont premiers entre eux.
Théorème 20 Théorème de Gauss. Soit a, b et c trois entiers relatifs. Si a divise bc et si a et
b sont premiers entre eux alors a divise c.
Démonstration. Comme pgcd (a, b) = 1, il existe un couple d’entiers (u, v) tels que 1 = au + bv.
En multipliant cette égalité par c, on obtient c = a(cu) + (bc)v. Comme a divise bc, a divise c.
Proposition 21 Soit n ∈ N, n ≥ 2. Soit a1 , . . . , an des entiers relatifs premiers entre eux deux à
deux. Si a est divisible par chacun des ai (i = 1 . . . n) alors a est divisible par leur produit.
Démonstration. La démonstration se fait par récurrence sur n. Pour n = 2, il existe deux
entiers q1 et q2 tels que a = a1 q1 = a2 q2 . Donc a2 divise a1 q1 . Mais comme pgcd (a2 , a1 ) = 1, on
obtient que a2 divise q1 . Il existe donc q3 ∈ Z tel que q1 = a2 q3 . Par conséquent, a = a1 a2 q3 et a1 a2
divise a. La fin de la démonstration se fait sans difficulté.
Exemple 22 L’entier 90 est divisible par 3 et par 5 qui sont premiers entre eux donc est divisible
par 15.
Mais bien que 20 soit divisible par 4 et par 10 il n’est pas divisible par 40 (car 4 et 10 ne sont pas
premiers entre eux).
Proposition 23 Soit ẋ ∈ Z/nZ on a
ẋ inversible ⇐⇒ x ∧ n = 1
˙ ẏ = 1̇ ssi ∃y, k tels que x × y = 1 + kn ssi
Démonstration. ẋ est inversible ssi ∃ẏ tel que ẋ×
∃y, k tels que xy − kn = 1 ssi x ∧ n = 1.
Proposition 24 Soit φ la fonction indicatrice d’Euler, φ (n) est égal au nombre de nombres entiers
positifs inférieurs à n et premiers avec n.
En particulier si p est un nombre premier φ (p) = p − 1.
3
Plus petit multiple commun de deux entiers
Définition 25 Soient a et b ∈ Z, il existe µ ∈ N tel que aZ ∩ bZ = µZ.
µ est appelé le plus petit multiple commun de a, b, noté ppcm(a, b) (ou a ∨ b).
Exemple 26 On a vu dans le chapitre précédent ppcm(2, 3) = 6 et ppcm(10, 25) = 50.
Remarque 27
• ppcm(0, 0) = 0.
• Pour tout a ∈ Z, on a ppcm(a, 0) = 0
• Pour tout a et b dans Z, ppcm(a, b) = ppcm(b, a) = ppcm(|a| , |b|).
• Soient a, b ∈ N alors
a|b ⇐⇒ ppcm (a, b) = b
Démonstration. On montre le dernier point. On a
a|b ⇐⇒ bZ ⊂ aZ ⇐⇒ aZ ∩ bZ = bZ ⇐⇒ ppcm (a, b) = b
Proposition 28 Soient a et b deux entiers relatifs. Soit µ ∈ N. Alors µ = ppcm(a, b) si et seulement
si
l’entier µ est un multiple de a et b
si m est un multiple de a et de b alors µ divise m
Cela explique le nom de plus petit multiple commun pour µ.
Démonstration. Notons µ = ppcm(a, b). On a µZ ⊂ aZ donc a|µ, de même µZ ⊂ bZ donc b|µ.
Donc µ est un multiple de a et b.
Soit m un multiple de a et b, alors mZ ⊂ aZ et mZ ⊂ bZ donc mZ ⊂ aZ ∩ bZ donc mZ ⊂ µZ
donc µ|m.
Réciproquement soit µ un entier positif vérifiant :
l’entier µ est un multiple de a et b
si m est un multiple de a et de b alors µ divise m
Il faut montrer que µ = ppcm(a, b).
On a µZ ⊂ aZ et µZ ⊂ bZ donc µZ ⊂ aZ ∩ bZ = ppcm(a, b) Z donc ppcm(a, b) |µ.
D’autre part ppcm(a, b) est un multiple de a et de b donc par définition de µ on a µ| ppcm(a, b).
Exemple 29
• On a ppcm(4, 6) = 12 ; ppcm(4, 7) = 28
• ppcm(5 × 7, 7 × 11) = 5 × 7 × 11
• pgcd(312 , 319 ) = 319
• pgcd(215 × 38 × 52 , 29 × 320 × 7) = 215 × 320 × 52 × 7
Proposition 30 Soient a et b deux entiers naturels, on a la relation :
pgcd(a, b) × ppcm(a, b) = ab
Démonstration. Notons µ = ppcm(a, b) et δ = pgcd (a, b). Il existe a0 et b0 tel que a = δa0 et
b = δb0 On va montrer que µ = δa0 b0 le résultat en découle immédiatement en multipliant par δ.
δa0 b0 est un multiple de a et de b donc par définition µ divise δa0 b0 .
Réciproquement notons u et v les entiers tels que µ = au = bv donc
µ = δa0 u = δb0 v
et donc
a0 u = b 0 v
donc b0 divise a0 u or a0 et b0 sont premiers entre eux donc d’après le théorème de Gauss b0 divise u
donc il existe q tel que u = b0 q et donc en remplaçant ci dessus
µ = δa0 b0 q
et donc δa0 b0 divise µ.
Exemple 31 Pour a = 4 et b = 6 ppcm(4, 6) = 12. Par ailleurs, pgcd(4, 6) = 2. On a bien
pgcd(4, 6)×ppcm(4, 6) = 24.
Corollaire 32 Soit a et b deux entiers relatifs. Alors pour tout k ∈ N,
ppcm(ka, kb) = k × ppcm(a, b)
Démonstration. la formule précédente donne
pgcd(ka, kb) × ppcm(ka, kb) = ka.kb
comme pgcd (ka, kb) = k× pgcd (a, b) on obtient
ppcm(ka, kb) =
4
kab
= k × ppcm(a, b)
pgcd(a, b)
Plus grand diviseur commun et plus petit multiple commun de n entiers
Définition 33 Soit n ∈ N, n ≥ 3. On définit le plus grand diviseur commun de a1 , . . . , an par
récurrence sur n grâce à la formule suivante :
pgcd (a1 , . . . , an ) = pgcd (pgcd (a1 , . . . , an−1 ) , an ))
Définition 34 Soit n ∈ N, n ≥ 3. On définit le plus petit multiple commun de a1 , . . . , an par
récurrence sur n grâce à la formule suivante :
ppcm (a1 , . . . , an ) = ppcm (ppcm (a1 , . . . , an−1 ) , an ))
Exemple 35
• pgcd(30, 15, 12) = 3, pgcd(300, 10, 60, 3) = 1
• ppcm(30, 15, 12) = 60, ppcm(300, 10, 60, 3) = 300
Remarque 36 pour calculer le pgcd ou le ppcm de plusieurs nombres, on peut les prendre dans
l’ordre que l’on veut.