PGCD - PPCM

PGCD - PPCM
1 Plus grand diviseur commun de deux entiers
1.1 D´efinition - Exemples
D´efinition 1 Soient aet bdeux ´el´ements de Z.aZ+bZest un sous-groupe de Zdonc il existe δ∈N
tel que aZ+bZ=δZ. On appelle δle plus grand diviseur commun de aet bet on note δ=pgcd(a, b)
ou δ=a∧b.
Exemple 2 On a vu dans le chapitre pr´ec´edent pgcd(2,3) = 1 et pgcd(10,25) = 5.
Remarque 3 •pgcd(0,0) = 0.
•Comme pour tout a∈Z,aZ=|a|Zon a pgcd(a, 0) = |a|
•Pour tout aet bdans Z, pgcd(a, b) = pgcd(b, a) = pgcd(|a|,|b|).
•Soient a, b ∈Nalors
a|b⇐⇒ pgcd (a, b) = a
D´emonstration. Les trois premiers points sont tr`es faciles. Montrons le dernier on a
a|b⇐⇒ bZ⊂aZ⇐⇒ aZ+bZ=aZ⇐⇒ pgcd (a, b) = a
Proposition 4 Soient aet bdeux entiers relatifs. Soit δ∈N. Alors δ=pgcd(a, b)si et seulement
si l’entier δdivise aet b
si dest un diviseur de aet de balors ddivise δ
Cela explique le nom de plus grand diviseur commun pour δ.
D´emonstration. Notons δ=pgcd(a, b). On a aZ⊂δZdonc δ|a, de mˆeme bZ⊂δZdonc δ|b.
Donc δest un diviseur commun `a aet b.
Soit dun diviseur de aet b, alors aZ⊂dZet bZ⊂dZdonc aZ∪bZ⊂dZdonc (par d´efinition
de la somme de deux sous-groupes) aZ+bZ⊂dZdonc δZ⊂dZet donc d|δ.
R´eciproquement soit δun entier positif v´erifiant :
l’entier δdivise aet b
si dest un diviseur de aet de balors ddivise δ
Il faut montrer que δ=pgcd(a, b).
On a aZ⊂δZet bZ⊂δZdonc aZ+bZ⊂δZet aZ+bZ=pgcd(a, b)Zdonc δ|pgcd(a, b).
D’autre part pgcd(a, b) est un diviseur de aet de bdonc par d´efinition de δon a pgcd(a, b)|δ, et
donc l’´egalit´e souhait´ee.
Exemple 5 •On a pgcd(4,6) = 2 , pgcd(4,7) = 1
•pgcd(5 ×7,7×11) = 7
•pgcd(312,319) = 312
•pgcd(215 ×38×52,29×320 ×7) = 29×38

1.2 M´ethode de calcul : Algorithme d’Euclide
Proposition 6 Soit aet bdeux entiers naturels non nuls. Soit rle reste de la division euclidienne
de apar b. Alors pgcd(a, b) = pgcd(b, r).
D´emonstration. On va montrer que l’ensemble des diviseurs de aet b:Da∩ Dbet l’ensemble
des diviseurs de bet r:Db∩ Drsont ´egaux, ce qui donnera le r´esultat.
´
Ecrivons la division euclidienne de apar b, donc a=bq +ravec 0 ≤r < b. Comme
r=a−bq
si un nombre ddivise aet balors ddivise r. Donc Da∩ Db⊂ Db∩ Dr.
R´eciproquement, si ddivise bet ralors ddivise a=bq +rdonc Db∩ Dr⊂ Da∩ Db.
Proposition 7 Algorithme d’Euclide. Soit aet bdeux entiers naturels non nuls. On construit
par r´ecurrence une suite d’entiers naturels (rn)n∈Nde la fa¸con suivante : r0=a,r1=b,r2est le
reste de la division euclidienne de r0par r1, et de proche en proche, tant que rn6= 0,rn+1 est ´egal
au reste de la division euclidienne de rn−1par rn. Alors il existe un entier Ntel que rN6= 0 et
rN+1 = 0. Alors pgcd(a, b)est ´egal au dernier reste non nul rN.
D´emonstration. Tant que les restes sont non nuls, on d´efinit une suite telle que 0 ≤rn< rn−1<
· · · < r2< r1. Il s’agit donc d’une suite d’entiers naturels strictement d´ecroissante. Au bout d’un
nombre fini d’´etapes on obtient alors un reste nul (on a N≤b). En utilisant le lemme pr´ec´edent, on
obtient
pgcd(a, b) = pgcd(b, r2) = pgcd(r2, r3) = · · · =pgcd(rN−1, rN) = pgcd(rN,0) = rN
Exemple 8 Soient a= 144 et b= 84. On calcule
144 = 1 ×84 + 60 r2= 60
84 = 1 ×60 + 24 r3= 24
60 = 2 ×24 + 12 r4= 12
24 = 2 ×12 + 0 r5= 0
On a donc pgcd(144,84) = 12.
1.3 Relation de B´ezout
Th´eor`eme 9 Relation de B´ezout.
Soient aet bdeux entiers relatifs. Alors il existe des entiers relatifs uet vtels que pgcd(a, b) =
au +bv.
D´emonstration. Notons δ=pgcd(a, b) on a δ∈δZ=aZ+bZdonc il existe uet vtels que
δ=au +bv.
Remarque 10 Soit δ∈N. Nous venons de montrer que si δ=pgcd(a, b)alors il existe un couple
d’entiers (u, v)tel que δ=au +bv. La r´eciproque est fausse dans le cas g´en´eral. Par exemple, pour
a= 4,b= 2 et δ= 6, on a 6 = 4 ×1 + 2 ×1et 66=pgcd(4,2) = 2. Plus g´en´eralement, s’il existe un
couple d’entiers (u, v)tel que d=au +bv alors pgcd(a, b)divise d.

Exemple 11 Soient a= 63 et b= 37. On calcule
63 = 37 ×1 + 26 r2= 26
37 = 26 ×1 + 11 r3= 11
26 = 11 ×2+4 r4= 4
11 = 4 ×2+3 r5= 3
4 = 3 ×1+1 r6= 1
On part de la derni`ere relation et on remplace les restes en utilisant les formules de bas en haut de
la fa¸con suivante :
1 = 4 −3×1D´epart
1= 4−(11 −4×2) = −11 + 4 ×3On a remplac´e r5
1 = −11 + (26 −11 ×2) ×3 = −7×11 + 26 ×3On a remplac´e r4
1 = −7×(37 −26 ×1) + 26 ×3 = −7×37 + 26 ×10 On a remplac´e r3
1 = −7×37 + (63 −37 ×1) ×10 = −17 ×37 + 10 ×63 On a remplac´e r2
Finalement la relation de B´ezout est :
10 ×63 −17 ×37 = 1 = pgcd(63,37)
Proposition 12 Soient aet bdeux entiers relatifs. Alors pour tout k∈N,
pgcd(ka, kb) = k×pgcd(a, b)
D´emonstration. Si k= 0 l’´egalit´e est v´erifi´ee. Supposons k6= 0. Soit D=pgcd(ka, kb) et δ=
pgcd(a, b). Comme δdivise aet b,kδ divise ka et kb donc kδ divise D.
Par ailleurs, kdivise ka et kb donc kdivise D. Il existe q∈Ztel que D=kq. Comme kq divise
ka et kb,qdivise aet bdonc qdivise δ. On en d´eduit que Ddivise kδ.
Finalement on a donc kδ =D.
Exemple 13 pgcd(42,56) = 7×pgcd(6,8) = 7 ×2 = 14.
2 El´ements premiers entre eux
D´efinition 14 On dit que les entiers aet bsont premiers entre eux si et seulement si pgcd(a, b) = 1
(not´e aussi a∧b= 1).
Proposition 15 Soient aet bdeux entiers relatifs non tous les deux nuls. Soit δun diviseur positif
de aet de b. Il existe a0∈Ztel que a=δa0et il existe b0∈Ztel que b=δb0. Alors δest le pgcd de
aet bsi et seulement si a0et b0sont premiers entre eux.
D´emonstration. Le diviseur δest n´ecessairement non nul. Comme a=δa0et b=δb0,
pgcd(a, b) = pgcd(δa0, δb0) = δ×pgcd(a0, b0)
Par cons´equent, pgcd(a, b) = δ⇐⇒ pgcd(a0, b0) = 1.
Th´eor`eme 16 Th´eor`eme de B´ezout. Les entiers aet bsont premiers entre eux si et seulement
s’il existe deux entiers relatifs uet vtels que 1 = au +bv.
D´emonstration. Si pgcd(a, b) = 1 alors il existe un couple d’entiers (u, v) tel que 1 = au +bv
(relation de Bezout). R´eciproquement, supposons qu’il existe deux entiers uet vtels que 1 = au+bv.
Soit dun diviseur de aet de b. Alors ddivise 1 donc |d|= 1. D’o`u pgcd(a, b) = 1.

Proposition 17 Soit n∈N,n≥2. Soit a1, . . . , andes entiers relatifs. Si aest premier avec chacun
des ai(i= 1 . . . n)alors aest premier avec leur produit.
D´emonstration. Comme pgcd(a, a1) = 1, il existe des entiers u1et v1tels que 1 = au1+a1v1.
De mˆeme, il existe u2et v2tels que 1 = au2+a2v2. En multipliant ces deux termes, on obtient
1 = a×(au1u2+u1a2v2+a1v1u2) + a1a2×(v1v2). D’o`u pgcd(a, a1a2) = 1. La propri´et´e est donc
vraie pour n= 2.
Supposons la propri´et´e vraie `a l’ordre n. Soit a1, . . . , an+1 n+ 1 entiers premiers s´epar´ement avec
a. En utilisant l’hypoth`ese de r´ecurrence avec a1, . . . , an, on obtient que aest premier avec le produit
a1· · · an. On conclut en utilisant la propri´et´e avec les deux entiers a1· · · anet an+1.
Exemple 18 Comme pgcd(3,5) = 1 et pgcd(3,8) = 1, on a pgcd(3,40) = 1.
Corollaire 19 Soient aet bdeux entiers relatifs. Si aet bsont premiers entre eux alors pour tout
n∈N∗et p∈N∗,anet bpsont premiers entre eux.
Th´eor`eme 20 Th´eor`eme de Gauss. Soit a,bet ctrois entiers relatifs. Si adivise bc et si aet
bsont premiers entre eux alors adivise c.
D´emonstration. Comme pgcd(a, b) = 1, il existe un couple d’entiers (u, v) tels que 1 = au +bv.
En multipliant cette ´egalit´e par c, on obtient c=a(cu)+(bc)v. Comme adivise bc,adivise c.
Proposition 21 Soit n∈N,n≥2. Soit a1, . . . , andes entiers relatifs premiers entre eux deux `a
deux. Si aest divisible par chacun des ai(i= 1 . . . n)alors aest divisible par leur produit.
D´emonstration. La d´emonstration se fait par r´ecurrence sur n. Pour n= 2, il existe deux
entiers q1et q2tels que a=a1q1=a2q2. Donc a2divise a1q1. Mais comme pgcd(a2, a1) = 1, on
obtient que a2divise q1. Il existe donc q3∈Ztel que q1=a2q3. Par cons´equent, a=a1a2q3et a1a2
divise a. La fin de la d´emonstration se fait sans difficult´e.
Exemple 22 L’entier 90 est divisible par 3et par 5qui sont premiers entre eux donc est divisible
par 15.
Mais bien que 20 soit divisible par 4et par 10 il n’est pas divisible par 40 (car 4et 10 ne sont pas
premiers entre eux).
Proposition 23 Soit ˙x∈Z/nZon a
˙xinversible ⇐⇒ x∧n= 1
D´emonstration. ˙xest inversible ssi ∃˙ytel que ˙x˙ ×˙y=˙ 1 ssi ∃y, k tels que x×y= 1 + kn ssi
∃y, k tels que xy −kn = 1 ssi x∧n= 1.
Proposition 24 Soit φla fonction indicatrice d’Euler, φ(n)est ´egal au nombre de nombres entiers
positifs inf´erieurs `a net premiers avec n.
En particulier si pest un nombre premier φ(p) = p−1.

3 Plus petit multiple commun de deux entiers
D´efinition 25 Soient aet b∈Z, il existe µ∈Ntel que aZ∩bZ=µZ.
µest appel´e le plus petit multiple commun de a, b, not´e ppcm(a, b)(ou a∨b).
Exemple 26 On a vu dans le chapitre pr´ec´edent ppcm(2,3) = 6 et ppcm(10,25) = 50.
Remarque 27 •ppcm(0,0) = 0.
•Pour tout a∈Z, on a ppcm(a, 0) = 0
•Pour tout aet bdans Z, ppcm(a, b) = ppcm(b, a) = ppcm(|a|,|b|).
•Soient a, b ∈Nalors
a|b⇐⇒ ppcm (a, b) = b
D´emonstration. On montre le dernier point. On a
a|b⇐⇒ bZ⊂aZ⇐⇒ aZ∩bZ=bZ⇐⇒ ppcm (a, b) = b
Proposition 28 Soient aet bdeux entiers relatifs. Soit µ∈N. Alors µ=ppcm(a, b)si et seulement
si l’entier µest un multiple de aet b
si mest un multiple de aet de balors µdivise m
Cela explique le nom de plus petit multiple commun pour µ.
D´emonstration. Notons µ=ppcm(a, b). On a µZ⊂aZdonc a|µ, de mˆeme µZ⊂bZdonc b|µ.
Donc µest un multiple de aet b.
Soit mun multiple de aet b, alors mZ⊂aZet mZ⊂bZdonc mZ⊂aZ∩bZdonc mZ⊂µZ
donc µ|m.
R´eciproquement soit µun entier positif v´erifiant :
l’entier µest un multiple de aet b
si mest un multiple de aet de balors µdivise m
Il faut montrer que µ=ppcm(a, b).
On a µZ⊂aZet µZ⊂bZdonc µZ⊂aZ∩bZ=ppcm(a, b)Zdonc ppcm(a, b)|µ.
D’autre part ppcm(a, b) est un multiple de aet de bdonc par d´efinition de µon a µ|ppcm(a, b).
Exemple 29 •On a ppcm(4,6) = 12 ; ppcm(4,7) = 28
•ppcm(5 ×7,7×11) = 5 ×7×11
•pgcd(312,319) = 319
•pgcd(215 ×38×52,29×320 ×7) = 215 ×320 ×52×7
Proposition 30 Soient aet bdeux entiers naturels, on a la relation :
pgcd(a, b)×ppcm(a, b) = ab