Géométrie - Michel Rigo

Facult´e des sciences
G´eom´etrie
1ers Bacheliers en sciences physiques
Ann´ee acad´emique 2006–2007
Michel Rigo

Introduction
Ce texte contient les notes du cours de g´eom´etrie1destin´e aux premiers
bacheliers en sciences physiques.
On y pr´esente les concepts fondamentaux de la g´eom´etrie affine. Ceux-
ci peuvent ˆetre utilis´es pour donner une premi`ere repr´esentation du monde
physique environnant. Pour ce faire, on commence par rappeler quelques
r´esultats et d´efinitions d’alg`ebre lin´eaire sur les espaces vectoriels (vecteurs,
ind´ependance lin´eaire, base, sous-espace vectoriel,. . . ). Une fois ces con-
cepts pr´esent´es, il nous sera possible d’introduire les notions fondamentales
d’espace affin construit sur un espace vectoriel et de vari´et´e affine. On insiste
en particulier sur les espaces affins R2et R3et sur les aspects analytiques
du calcul en composantes dans un rep`ere. En effet, on peut voir R3comme
une bonne mod´elisation de l’espace physique `a trois dimensions `a une ´echelle
macroscopique.
Pour compl´eter cette mod´elisation, on pr´esente la notion de produit
scalaire et d’espace vectoriel euclidien associ´e. De cette mani`ere, on pourra
parler d’angles, de perpendicularit´e, d’orthogonalit´e, de longueur, etc... On
d´efinit en particulier le concept d’orientation du plan et de l’espace ainsi que
le produit mixte et le produit vectoriel en dimension 3. (Les d´efinitions ren-
contr´ees ici ne seront pas descriptives mais a priori plus abstraites. Cette
abstraction a un but : permettre d’obtenir directement les propri´et´es des
objets ´etudi´es. Il sera tr`es simple, grˆace `a ce point de vue, de d´emontrer
le caract`ere intrins`eque de ces d´efinitions, i.e., l’ind´ependance par rapport `a
la base positive choisie.) Se donner un espace affin construit sur un espace
vectoriel euclidien d´ebouche sur la g´eom´etrie affine euclidienne. Encore une
fois, on s’attardera plus sp´ecialement sur les cas de R2et de R3, les concepts
pr´esent´es ´etendant leur champ d’application par exemple `a la m´ecanique
ou `a l’´electricit´e (pensez au mouvement d’une particule charg´ee dans un
champ ´electrique qui s’exprime `a l’aide d’un produit vectoriel). Le chapitre
consacr´e `a la g´eom´etrie euclidienne est clos par une pr´esentation des poly`e-
dres r´eguliers qui interviennent entre autres dans l’´etude des agencements
possibles de la mati`ere comme par exemple, les cristaux.
Les chapitres suivants sont d´edi´es aux applications affines, aux courbes et
aux surfaces. Dans le premier, on pr´esente des transformations classiques de
l’espace comme les translations, les homoth´eties, les sym´etries (par rapport
`a une droite ou un hyperplan) et les rotations (en dimension 2 et 3).
Ensuite, on ´etudie en d´etail les courbes et plus particuli`erement les arcs
r´eguliers de courbe. On rencontre les courbes par exemple dans l’´etude des
mouvements. On insistera d`es lors sur leur param´etrage et on pr´esentera
1Il s’agit d’une des deux parties du cours d’Alg`ebre et G´eom´etrie de la premi`ere ann´ee
de bachelier en sciences physiques.

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les formules de Frenet que l’on retrouve dans les cours de m´ecanique analy-
tique. Les deux derni`eres sections du chapitre abordent les coniques que l’on
rencontre notamment en m´ecanique c´eleste (pensez par exemple aux lois de
Kepler) ou en optique (r´eflexion de rayons lumineux).
Le dernier chapitre ne fait qu’effleurer la notion de surface et passer en
revue plusieurs grandes familles en insistant sur la param´etrisation de ces
surfaces. On donnera en fin de chapitre une classification des quadriques.
Dans ces notes, le lecteur trouvera de nombreux exemples illustrant les
diff´erentes notions introduites. Signalons qu’en appendice sont repris les
r´esultats sur les syst`emes d’´equations lin´eaires ainsi qu’un petit lexique de
g´eom´etrie ´el´ementaire.
Enfin, on trouvera tout au long de ce texte, de nombreuses notes en bas
de page. Elles ont pour but de fournir des compl´ements d’information. Le
d´etail de ces notes pourra ˆetre pass´e en revue lors d’une seconde lecture du
texte.

Table des mati`eres
Introduction i
Chapitre I. Introduction aux espaces vectoriels 1
1. Premi`eres d´efinitions 1
2. Ind´ependance lin´eaire 6
3. Base d’un espace vectoriel 10
4. Changement de base 15
5. Sous-espaces vectoriels 18
6. Equations param´etriques d’un sous-espace vectoriel 21
7. Equations cart´esiennes d’un sous-espace vectoriel 22
8. Cas de la dimension 2 26
9. Cas de la dimension 3 26
Chapitre II. Espace affin model´e sur un espace vectoriel r´eel 33
1. D´efinitions 33
2. Vecteurs li´es 36
3. Combinaisons affines 38
4. Vari´et´es affines 42
5. Intersection et parall´elisme 47
6. Rep`eres et coordonn´ees 50
7. Equations param´etriques et cart´esiennes de vari´et´es affines 52
8. Cas de la dimension 2 54
9. Cas de la dimension 3 57
Chapitre III. Espace vectoriel euclidien 65
1. Produit scalaire 65
2. Angle non orient´e 67
3. Vecteurs orthogonaux 67
4. Base orthonorm´ee 69
5. Orientation 71
6. Produit vectoriel 76
7. Compl´ement orthogonal 80
Chapitre IV. G´eom´etrie affine euclidienne 85
1. Rep`ere orthonorm´e 85
2. Angles 86
3. Distance de deux points 89
4. Vari´et´es affines orthogonales 90
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