loi binomiale

LOI BINOMIALE
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Généralités :
1
C On suppose que la variable aléatoire X suit une loi binomiale B 
10
1
;50
1) Calculer P(X = 0) ; P(X = 1) ; P(X = 2) ; P(X = 3) ; P (X = 10) ; P (X ≤ 1) ; P(X ≥ 4).
2) Calculer E(X) et σ(X)
2
C On suppose que la variable aléatoire X suit une loi binomiale B 
100
1
;n
1) Déterminer n pour que P(X = 0) ≤ 0,02.
2) Déterminer n pour que P(X ≥ 1) ≤ 0,90.
3
C
La variable X suit la loi binomiale n = 10 et p = 0,8.
Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants : A : (X ≤ 4) ; B : (X < 8)?
4
C Démontrer que pour une loi binomiale de paramètres n et p, on a : p1
p
1k
kn
)kX(P
)1kX(P
−
×
+
−
=
=+=
Application :
Pour la loi binomiale telle que n = 5 et p = 0,2, calculer : P(X = 1), P(X = 2), P(X = 3), P(X = 4) et P(X = 5).
Quelle est pour X la valeur la plus probable ?
5
C
Calcul de l’espérance et de la variance de la loi binomiale
On considère une variable aléatoire X suivant une loi binomiale B(n ;p) où : p
k
= P(X=k)=
(
)
n
k
p
k
(1-p)
n-k
.
On pose f(x)=(px+1-p)
n
.
1) Calculer f’(x) et f’’(x) puis f’(1) et f’’(1).
2) Vérifier que
∑
=
=
n
0k
k
k
xp)x(f . Calculer de nouveau f’(x) et f’’(x) puis f’(1) et f’’(1).
3) Déduire des calculs précédents les valeurs de E(X) et Var(X).
6
C Une variable aléatoire X suit une loi binomiale 
n
1
;nB avec n entier supérieur ou égal à 2.
1) Montrer que
n
n
1n
)0X(P 
−
== .
2) Montrer que
1n
n
1n
)1X(P
−
−
==
3) En étudiant ces suites à l’aide de la calculatrice, déterminer leurs variations et une valeur approchée de leur limite.
4) Montrer que )1X(P
)0X(P
=
= converge vers 1. Interpréter ce résultat.
7
C
Voici le tableau incomplet d’une loi de probabilité :
X
i
0 1 2 3
P
i
125
27
125
8
Sachant que c’est une loi binomiale, retrouver les paramètres n et p et compléter le tableau.
Indice : Le paramètre n étant le nombre de répétitions, c’est aussi le nombre maximum de succès. Pour n répétitions, la
probabilité de n succès est p
n
.

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Exercices et problèmes :
1
C
On lance 5 fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de « piles »
obtenus.
1) Montrer que la loi de X est une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2) Donner les valeurs de P(X=k) dans un tableau.
3) Quelle est la probabilité d’obtenir 4 fois « pile » ? La probabilité de n’obtenir aucun « pile » ? La probabilité d’obtenir
2 « faces » ?
2 On choisit une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes.
1) Quelle est la probabilité de tirer un cœur ?
2) On répète n fois cette expérience avec remise dans le jeu après chaque tirage. Préciser la loi de probabilité de la
variable aléatoire X égale au nombre des cœurs obtenus au cours des n tirages.
3) Déterminer n pour que la probabilité de tirer au moins un cœur au cours de ces n tirages soit au moins égale à 0,5.
3
C
A la sortie d’une chaine de fabrication, on a constaté que 2% des pièces fabriquées sont défectueuses.
1) Quelle est la probabilité pour que dans un lot de 20 pièces, 3 exactement soient défectueuses ?
2) Quelle est la probabilité pour que 3 au moins soient défectueuses dans ce lot ?
3) Quelle est la probabilité pour qu’une pièce au plus soit défectueuses ?
4 1) On lance deux dés équilibrés : quelle est la probabilité d’obtenir un double six ?
2) On lance ces deux dés 15 fois de suite. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins trois fois un double six ?
3) Quelle est la probabilité d’obtenir au moins trois fois un double quelconque ?
5 Une roue de loterie comporte 10 numéros de 0 à 9. Tous les numéros ont la même probabilité de « sortir ».
On joue le n°7 dix fois de suite : X désigne le nombre de fois où le 7 sort.
1) Quelles valeurs peuvent prendre X ? Quelle est la loi de X ?
2) Quelle est la valeur la plus probable ? Calculer E(X) et V(X).
6
C
Dans une entreprise, un quart du personnel a suivi un stage de formation. On choisit au hasard 10 personnes de cette
entreprise et on suppose que l’effectif est suffisamment important pour que ce choix soit assimilable à un tirage avec remise.
Calculer la probabilité, à 10
-4
près que 4 personnes choisies aient suivi un stage de formation.
7
C
Un démarcheur propose des appareils ménagers à domicile.
Des études statistiques ont montré que la probabilité qu’un client passe commande est 0,07. Il visite 10 clients par jour.
1) Soit X la variable aléatoire égale au nombre d’appareils ménagers vendus en une journée : déterminer la loi de X.
2) Calculer E(X)
3) Un appareil ménager coûte 800 €.
Le vendeur reçoit une commission de 10 % pour chaque appareil vendu. Ses frais journaliers s’élèvent à 25€.
Soit Y la variables aléatoire égale à son gain journalier. Déterminer la loi de Y et E(Y).
8
C
1) Une grande enveloppe contient les douze figures d’un jeu de carte. On tire simultanément et au hasard 5 cartes de
l’enveloppe. Soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de rois obtenus. Déterminer la loi de
probabilité de X.
2) Dans la même enveloppe, on effectue successivement 5 fois le tirage au hasard d’une carte que l’on remet à chaque
fois dans l’enveloppe. Soit Y la variable aléatoire dont la valeur est égale au nombre de rois obtenus au cours des 5
tirages. Déterminer la loi de probabilité de Y.
3) Calculer les espérances mathématiques de X et Y.
9
C
Un sac contient 36 boules indiscernables au toucher avec équiprobabilité de tirages : 2 blanches, 2 rouges, les autres étant
vertes.
1) On tire simultanément et au hasard, trois boules du sac. Calculer la probabilité des évènements suivants :
A : on obtient une boule de chaque couleur.
B : il n’y a pas de verte parmi les trois boules tirées.
C : il n’y a qu’une seule verte parmi les trois boules tirées.
2) On tire maintenant trois fois de suite une boule dans le sac avec remise à chaque fois. Soit X la variable aléatoire
égale au nombre de boules rouges obtenues après ces trois tirages. Donner la loi de probabilité de X.
3) On suppose maintenant que le sac contient encore 36 boules, dont n blanches et n rouges et les autres vertes ( n
quelconque avec 1 ≤ n ≤ 17 ) et on tire simultanément trois boules sans remise du sac.
Calculer P(A) en fonction de n ; déterminer n pour que cette probabilité soit maximum.
Calculer P(B) ; à partir de quelle valeur de n a-t-on : P(B) > 0,6 ?
Calculer P(C) ; trouver n pour que P(C) > 0,5.

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10 Un joueur participe à un jeu défini de la façon suivante : on lance 3 pièces de monnaies simultanément.
- on gagne 10 € s’il apparaît 3 faces
- on gagne 7 € s’il apparaît 2 faces
- on gagne 3 € s’il apparaît 1 face
- on perd 30 € s’il n’apparaît que des cotés piles
On suppose que les pièces de monnaies sont bien équilibrées.
On désigne par X la variable aléatoire représentant le résultat obtenu.
1) Etablir la loi de probabilité de X.
2) Déterminer la probabilité d’obtenir un résultat strictement inférieur à 7
3) Déterminer la probabilité d’obtenir un résultat strictement supérieur à 4.
4) Calculer l’espérance de X.
5) Ce jeu est-il équitable, favorable ou défavorable pour le joueur ?.
6) Combien le joueur devrait-il perdre lorsqu’il n’obtient que des piles pour que le jeu lui soit équitable ?
11 Des études statistiques montrent que lors d’une naissance, la probabilité d’avoir un garçon est d’environ 51 %.
On choisit au hasard une famille de 4 enfants où l’on suppose les fécondations indépendantes.
1) Expliquer pourquoi cette situation peut être modélisée par une loi binomiale.
2) Calculer la probabilité que dans cette famille il y ait au moins 1 garçon.
12 On lance une pièce de monnaie équilibrée 10 fois de suite.
Calculer la probabilité d’obtenir exactement 6 fois piles.
13
C
Une chaine de supermarché vend des sacs à ses clients pour le transport de leurs achats.
On suppose que la probabilité qu’un sac soit défectueux est 0,03. Les sacs sont livrés par lots de 10 et leurs défectuosités sont
supposées indépendantes.
X est la variable aléatoire qui compte le nombre de sacs défectueux dans un lot de 10.
1) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2) Calculer la probabilité pour que dans un lot de 10 sacs 2 au maximum soient défectueux. Donner le résultat à 10
-2
près.
3) Calculer l’espérance de la variable aléatoire X.
14 Une compagnie bancaire propose des placements sous forme de produits financiers.
La banque constate que le produit de type A a intéressé 10% de sa clientèle par le passé.
Un sondage est effectué auprès d’un échantillon de 10 clients.
On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de clients dans l’échantillon ayant choisi le produit A.
1) Préciser la loi de probabilité de X. Justifier. Donner les valeurs de ses paramètres.
2) Calculer la probabilité, arrondie au centième, qu’au moins deux clients de l’échantillon aient choisi le produit A.
3) Calculer la probabilité, arrondie au centième, que moins de 5 clients de l’échantillon aient choisi le produit A.
15
C
Dix composants électroniques identiques sont mis en service simultanément. La probabilité pour que l'un quelconque de ces
composants soit encore en service au bout d'un an est 0,8.
1) Quelle est la probabilité pour qu'il y ait encore 7 composants en fonctionnement au bout d'un an ?
2) au moins 7 ?
16 Un service après-vente dispose d'équipes de dépannage qui interviennent auprès de la clientèle sur appel téléphonique. Les
appels se produisent de façon indépendante, et la probabilité qu'un retard se produise dans le dépannage à la suite d'un
appel est p = 0,25.
1) Un même client a appelé le service à 8 dates différentes. Soit X le nombre de retards que ce client a subi.
a) Définir la loi de probabilité de X. Calculer E(X) et V(X).
b) Calculer (à 0,01 près au plus proche) les probabilités des événements :
-le client a subi au moins un retard ;
-le client a subi moins de 4 retards ;
-le client a subi moins de 4 retards sachant qu'il en a subi au moins un.
2) On considère un ensemble de 8 clients différents. 2 d'entre eux sont mécontents parce qu'ils ont subi un retard. On
contacte 4 clients parmi les 8. Soit M le nombre de clients mécontents parmi les 4 contactés.
Définir la loi de M. La donner explicitement.
Calculer E(M).

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17 Un jeu de 32 cartes est truqué : on a remplacé une carte autre que l'as de pique par un deuxième as de pique. On tire au
hasard une main de n cartes, n < 32.
1) Quelle est la probabilité de déceler la supercherie ?
2) On suppose n = 4 et on renouvelle l'expérience consistant à tirer 4 cartes du jeu (en remettant les 4 cartes tirées
à chaque fois). Quel est le nombre minimum d'expériences à réaliser pour que la supercherie soit découverte avec une
probabilité au moins égale à 0,95 ?
18 Soit X la variable la variable aléatoire associant à une pièce choisie au hasard dans la production son poids.
On suppose que X est une variable aléatoire discrète de loi :
Poids 320 330 340 350 360 370 380
Probabilité 0.06 0.12 0.20 0.25 0.14 0.14 0.06
1) Calculer à 10
-2
près l’espérance et l’écart-type de X.
2) On prélève au hasard et avec remise 10 pièces dans la production. Soit Y la variable aléatoire qui à chaque
prélèvement associe le nombre de pièces de 320g.
a) Déterminer la loi de Y ainsi que son espérance et sa variance.
b) Calculer la probabilité qu’au moins une pièce ait un poids de 320 g.
c) Quelle est la valeur minimale du nombre de pièces à prélever dans la production pour que la probabilité d’obtenir au
moins une pièce de 320 g soit supérieure à 0,90.
19 Une machine produit des pièces dont 5 % sont défectueuses. Soit X la variable aléatoire associant à chaque échantillon de 30
pièces le nombre de pièces défectueuses de cet échantillon.
1) Quelle est la loi de probabilité de X ?
2) Calculer la probabilité que l’échantillon ne comporte aucune pièce défectueuse.
3) Calculer la probabilité que toutes les pièces soient défectueuses.
4) Calculer la probabilité que l’échantillon comporte au plus deux pièces défectueuses.
20
C
Un fournisseur livre deux catégories de câbles C1 et C2.
Dans chaque livraison, figurent 20 % de câbles C1 et 80 % de câbles C2. On prélève au hasard 4 câbles dans une livraison de
1000 câbles.
1) Préciser la probabilité de l’évènement E : « les 4 câbles sont de type C1 »
2) Préciser la probabilité de l’évènement F : « 1 câble est de type C1 et 3 câbles sont de type C2.»
3) Préciser la probabilité de l’évènement G : « au moins un câble est de type C1 »
21 On lance 4 fois de suite une pièce de monnaie équilibrée.
On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de « piles » obtenus.
1) Montrer que la loi de X est une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2) Donner les valeurs de P(X=k) dans un tableau.
3) Quelle est la probabilité d’obtenir 4 fois « pile » ?
4) La probabilité de n’obtenir aucun « pile » ?
5) La probabilité d’obtenir 2 « faces » ?
22 Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules blanches. On tire une boule au hasard et on regarde si elle est rouge.
1) Expliquer pourquoi cette expérience est une expérience de Bernoulli. Préciser quel en est le succès et sa probabilité.
2) Calculer l’espérance de la loi de Bernoulli associée.
23
Un QCM (questionnaire à choix multiples) comporte cinq questions indépendantes et, pour chaque question, quatre réponses
sont proposées dont une seule est exacte.
Un élève répond au hasard à ce QCM.
On nomme X la variable aléatoire comptant le nombre de réponses exactes obtenues par cet élève.
1) Donner la loi de probabilité de X ainsi que son espérance mathématique.
2) Calculer la probabilité que cet élève obtienne exactement deux réponses exactes.
3) Calculer la probabilité que cet élève obtienne au moins quatre réponses exactes.

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24 Un atelier met en peinture une série d’objets identiques. On estime que la probabilité p pour qu’un objet présente un défaut
de peinture à sa sortie de l’atelier est égale à 5
2.
On prélève 3 objets sur cette production.
On considère que le nombre d’objets est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
On compte le nombre d’objets, parmi ceux qui sont prélevés, présentant un défaut.
1) Expliquer pourquoi la loi de probabilité du nombre d’objets présentant un défaut de peinture est une loi binomiale
dont on précisera les paramètres.
2) Calculer l’espérance de cette loi.
3) Calculer la probabilité, arrondie au millième, d’obtenir exactement 2 objets présentant un défaut de peinture.
4) Calculer la probabilité, arrondie au millième, d’obtenir au moins un objet présentant un défaut de peinture.
5) Calculer la probabilité, arrondie au millième, d’obtenir exactement au maximum un objet présentant un défaut de
peinture.
25 Un atelier met en peinture une série d’objets identiques. On estime que la probabilité p pour qu’un objet présente un défaut
de peinture à sa sortie de l’atelier est égale à 10
3.
On prélève 4 objets sur cette production. On considère que le nombre d’objets est suffisamment important pour assimiler ce
prélèvement à un tirage avec remise.
On compte le nombre d’objets, parmi ceux qui sont prélevés, présentant un défaut.
1) Expliquer pourquoi la loi de probabilité du nombre d’objets présentant un défaut de peinture est une loi binomiale
dont on précisera les paramètres.
2) Calculer l’espérance de cette loi.
3) Calculer la probabilité, arrondie au millième, d’obtenir exactement 3 objets présentant un défaut de peinture.
4) Calculer la probabilité, arrondie au millième, d’obtenir au moins un objet présentant un défaut de peinture.
5) Calculer la probabilité, arrondie au millième, d’obtenir exactement au maximum un objet présentant un défaut de
peinture.
26 Une enquête statistique dans un magasin a montré que :
- 10 % des personnes achètent une table et un lot de chaises
- 9 % des personnes achètent uniquement un lot de chaises
On note T l’évènement « la personne achète une table » et C l’évènement « la personne achète un lot de chaise ».
Les résultats seront arrondis au centième près.
1) Une personne entre dans le magasin. Déterminer la probabilité que la personne achète un lot de chaises.
2) Une personne entre dans le magasin. Déterminer la probabilité que la personne n’achète rien.
3) Quatre personnes entrent successivement dans le magasin. On suppose que leurs achats s’effectuent de manière
indépendante les uns des autres.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de lots de chaises achetés.
a) Quelles sont les valeurs prises par X ?
b) Quelle est la loi de X ?
c) Calculer la probabilité qu’une personne exactement achète un lot de chaises.
d) Calculer la probabilité qu’au plus deux personnes achètent un lot de chaises.
e) Calculer la probabilité qu’au moins une personne achète un lot de chaises.
4) A la fin de la journée, le directeur du magasin constate qu’il a réalisé en moyenne un bénéfice de 6.70 € par personne
entrant dans le magasin.
On sait que le directeur a fait un bénéfice de 50 € par table vendue et 10 € par lot de chaises.
On note B la variable aléatoire égale au bénéfice réalisé par le directeur du magasin.
a) Calculer P(B = 60).
b) Compléter le tableau ci-dessous :
i
b
0 50
P(B = b
i
) 0.81 0.02
c) Calculer l’espérance de B. Le directeur a-t-il raison ?