Nombres premiers 2 (décomposition en facteurs premiers)

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Nombres premiers 2
Questions de cours
On ne consid`ere ici que des nombres entiers naturels strictement positifs.
1. Tout nombre entier n(n>2) se d´ecompose en produits de nombres premiers, et
cette d´ecomposition est unique `a l’ordre des facteurs pr`es.
Cette d´ecomposition a la forme : ...?
Pour trouver cette d´ecomposition, on peut ...? (d´ecrire un algorithme, c’est-`a-dire
un proc´ed´e de calcul).
2. Dire que adivise b´equivaut `a dire que, pour tout facteur premier pfigurant avec
un exposant αdans la d´ecomposition de a,pfigure dans la d´ecomposition de bavec
un exposant ...?
3. Si un nombre na pour d´ecomposition en facteurs premiers ...? , alors les diviseurs
de nsont tous les nombres de la forme ...?
Il y en a ...?
Exemples
1. D´ecomposer 4067 en produit de facteurs premiers (sans calculatrice)
On effectue des divisions par les nombres premiers successifs.
4067 n’est pas divisible par 2 (le dernier chiffre est impair)
4067 n’est pas divisible par 3 (la somme des chiffres est 17, non divisible par 3)
4067 n’est pas divisible par 5 (le dernier chiffre n’est pas 5 ni 0)
4067 est divisible par 7 (on effectue la division : 4067 = 581×7)
581 est divisible par 7 (on effectue la division : 581 = 83×7). Donc 4067 = 72×83.
83 n’est pas divisible par 7 (83 = 11 ×7 + 6)
Le nombre premier suivant est 11, avec 11 >√83 (car 112= 121). Donc 83 n’est
divisible par aucun nombre premier inf´erieur ou ´egal `a √83, donc 83 est premier.
Donc on a obtenu tous les facteurs premiers de 4067 : 4067 = 72×83
2. Quel est le plus petit entier naturel par lequel il faut multiplier 4312 pour obtenir un
carr´e d’un nombre entier ?
Soit mtel que 4312msoit le carr´e d’un nombre entier n(4312m=n2). On consid`ere
la d´ecomposition de nen facteurs premiers :
n=pα1
1pα2 2pα3 3. . . pαk
k, o`u p1, p2, . . . , pksont des nombres premiers.
Alors n2= (pα1
1pα2 2pα3 3. . . pαk
k)2= (pα1
1)2(pα2 2)2(pα3 3)2. . . (pαk
k)2
n2=p2α1
1p2α2 2p2α3 3. . . p2αk
k.
Donc, si un nombre est un carr´e, tous les exposants de sa d´ecomposition en facteurs
premiers sont pairs, et la r´eciproque est vraie aussi d’apr`es les calculs pr´ec´edents.
On d´ecompose 4312 : 4312 = 237211.
On augmente les exposants jusqu’`a ce qu’ils soient pairs : n2= 2472112. Donc la
r´eponse est m= 2 ×11 = 22, car 4312 ×22 = (22×7×11)2= 3082
3. aet bsont deux entiers naturels sup´erieurs ou ´egaux `a 2 tels que a2divise b2. D´emontrer
que adivise b(utiliser les d´ecompositions de aet de ben facteurs premiers)
On va montrer que, pour tout diviseur premier pde a,pest aussi un diviseur
premier de bet qu’il figure dans la d´ecomposition de bavec un exposant sup´erieur
ou ´egal `a celui qu’il a dans a(c’est ´equivalent `a dire que adivise b).
Soit pun diviseur premier de a, et soit αson exposant dans la d´ecomposition de
a. Alors, dans la d´ecomposition de a2,pfigure avec l’exposant 2α.
Donc, puisque a2divise b2,pdoit figurer dans la d´ecomposition de b2avec un
exposant sup´erieur ou ´egal `a 2α. Or tout diviseur premier qui figure dans la
d´ecomposition de b2figure aussi dans celle de b(sinon il y aurait contradiction).
Donc n´ecessairement pfigure dans la d´ecomposition de b, avec un certain exposant
β. Alors, dans la d´ecomposition de b2,pfigure avec l’exposant 2β.
Mais on sait que a2divise b2. Cela implique donc que 2α62β, donc que α6β.
Donc l’exposant de pdans aest inf´erieur ou ´egal `a son exposant dans b.
Cela ´etant vrai pour tous les diviseurs premiers de a, cela prouve que adivise b.
4. D´eterminer le nombre des diviseurs positifs de 484, sans en faire la liste. Puis faire la
liste de ces diviseurs
484 = 22112. Donc d’apr`es une propri´et´e il poss`ede (2 + 1)(2 + 1) = 9 diviseurs
positifs.
Ils sont de le forme 2α11βavec 0 6α62 et 0 6β62 (c’est ce qui explique leur
nombre : 3 possibilit´es pour α, 3 possibilit´es pour β, 3 ×3 = 9).
En donnant syst´ematiquement toutes les valeurs possibles `a αet β(on peut dessiner
un arbre `a deux niveaux), on obtient la liste : 1,2,4,11,22,44,121,242,484