Géométrie plane, notions de base

Géométrie plane, notions de base : points, droites,
angles, cercles, polygones (triangles, quadrilatères,
...), polygones réguliers
Denis Vekemans ∗
1 Droites, demi-droites, segments (définitions)
Ces notions se passeront ici de définitions.
Notations.
— On note (AB) la droite passant par les points Aet B.
— On note [CD] le segment ayant pour extrémités Cet D.
— On note [EF ) la demi-droite issue de E, passant par F.
— On note GH la longueur du segment [GH].
Quand trois points sont sur la même droite, on les dit alignés.
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais
cedex ; France
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Exercice 1 Si AB =AC, a-t-on forcément [AB] = [AC] ?
Solution 1 Non ! Pour s’en convaincre, il suffit de construire un triangle ABC isocèle en Aavec B
et Cdistincts. On a AB =AC (parce que le triangle est isocèle), mais on n’a pas [AB] = [AC] (car ces
segments ne sont pas confondus, leur seule intersection étant le point A).
Exercice 2 Si les segments [AB] et [CD] sont sans point commun, en est-il forcément de même pour les
droites (AB) et (CD) ?
Solution 2 Non ! Pour s’en convaincre, il suffit de construire un triangle ACE (A,Eet Cdistincts)
avec Bmilieu de [AE] et Dmilieu de [CE]. Les segments [AB] et [CD] sont sans point commun, mais les
droites (AB) et (CD) se coupent en E.
2 Droites perpendiculaires, droites parallèles
La notion de droites perpendiculaires n’est pas définie ici.
dest perpendiculaire à d′est noté d⊥d′.
Définition. Deux droites sont dites parallèles si elles n’ont aucun point commun ou sont confondues.
dest parallèle à d′est noté d//d′.
Définition. Deux droites sont dites sécantes si elles ont un point commun.
Théorème 2.1
Par un point donné,
1. il passe une unique droite parallèle à une droite donnée,
2. il passe une unique droite perpendiculaire à une droite donnée.
Théorème 2.2
Transitivité du parallélisme
Si d//d′et si d′//d′′, alors d//d′′ .
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Théorème 2.3
Composition de perpendicularité et de perpendicularité
Si d⊥d′et si d′⊥d′′, alors d//d′′ .
Théorème 2.4
Composition de parallélisme et de perpendicularité
Si d//d′′ et si d′⊥d, alors d′⊥d′′.
Théorème 2.5
Parallélisme et alignement.
Si (AB)//(AC), alors A,Bet Csont alignés.
Théorème 2.6
Cas d’égalité de l’inégalité triangulaire. Si AC =AB +BC, alors A, B et Csont alignés et Bappartient
au segment [AC].
Réciproquement, si Bappartient au segment [AC], alors AB +BC =AC.
Exercice 3 Soit dune droite. Déterminer l’ensemble des points situés à moins de 2 cm de d.
Solution 3 On considère la droite d. Soit Aun point de cette droite. On trace la perpendiculaire à
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la droite dpassant par A. Sur cette perpendiculaire, on place deux points distincts Bet Ctels que
AB = 2 cm et AC = 2 cm. On trace la parallèle à dpassant par B, notée d1, et la parallèle à dpassant
par C, notée d2. Le lieu recherché est la portion de plan comprise entre les deux droites d1et d2.
3 Tracés à la règle et à l’équerre
Exercice 4 Tracés à la règle et à l’équerre ...
1. D’une droite perpendiculaire à (AB), passant par C.
2. D’une droite parallèle à (AB), passant par C.
Solution 4
1. On place la règle de manière à ce qu’elle porte la droite (AB), on pose l’équerre (sous-entendu
l’angle droit de l’équerre) sur la règle et on fait glisser l’équerre jusqu’à ce qu’elle permette de
tracer une droite contenant le point C, ce que l’on fait.
2. On place l’équerre de manière à ce que l’un des côtés de l’angle droit porte la droite (AB), on pose
la règle sur l’autre côté de l’angle droit et on fait glisser l’équerre jusqu’à ce qu’elle permette de
tracer une droite contenant le point C, ce que l’on fait.
Exercice 5 Donner des algorithmes de construction utilisant la règle graduée et l’équerre pour les deux
figures suivantes :
1. ABKC est un quadrilatère convexe ; ses diagonales se coupent en I;BI =AI =CI ;IK =KC ;
(IK)⊥(KC).
2. CDE est un triangle ; Aest le pied de la hauteur issue de D;CA =AD ;CD =AE ;Fest un
point de (DE) ; (CD)//(AF ).
Solution 5
1. On trace un segment [CK]. On mène la perpendiculaire à la doite (KC) passant par K(utilisation
de l’équerre). Sur cette perpendiculaire, on place le point Itel que KI =KC (utilisation de la
règle graduée). On trace la droite (CI). Sur la droite (CI), on place le point Btel que CI =IB
(utilisation de la règle graduée) et que Bet Csoient de part et d’autre de I. On trace la droite
(CI). Sur la droite (KI), on place le point Atel que AI =IC (utilisation de la règle graduée) et
que Aet Ksoient de part et d’autre de I. On trace enfin les segments [KB], [BA] et [AC].
2. On trace un segment [CA]. On mène la perpendiculaire à la doite (CA) passant par A(utilisation
de l’équerre). Sur cette perpendiculaire, on place le point Dtel que CA =AD (utilisation de la
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règle graduée). On trace le segment [CD]. Sur la droite (CA), on place le point Etel que AE =CD
(utilisation de la règle graduée) et que Cet Esoient de part et d’autre de A. On trace la droite
(ED). On trace la parallèle à la droite (CD) passant par le point A(utilisation de la règle et de
l’équerre). On appelle Fle point de concours de la droite (ED) et de la parallèle à la droite (CD)
passant par A.
4 Médiatrices
Définition. L’ensemble des points équidistants de Aet Best appelée la médiatrice du segment [AB].
Théorème 4.1
Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors il est sur la médiatrice de ce segment.
Réciproquement, si un point est sur la médiatrice d’un segment, alors, il est équidistant des extrémités
de ce segment.
Théorème 4.2
Si une droite passe par deux points équidistants de Aet de B, alors c’est la médiatrice du segment [AB].
Théorème 4.3
Si dest médiatrice du segment [AB], alors, dest une droite telle que d⊥(AB)et dpasse par le milieu de
[AB]. Réciproquement, si une droite dpasse par le milieu de [AB]et si cette droite est perpendiculaire à
la droite (AB), alors dest médiatrice du segment [AB].
Théorème 4.4
Si une droite passe par un point équidistant de Aet de Bet est perpendiculaire à la droite (AB), alors
c’est la médiatrice de [AB].
5 Cercles (définitions)
Définitions.
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