11. Probabilités

11. Probabilités • 171
11. Probabilités
Objectifs et pré-requis
Les premiers exemples de probabilité sont abordés en classe de 3e dans des situations de lancers
de dés ou de tirages dans des urnes. En classe de 2de, il s’agit, dans des situations de problèmes,
de modéliser des expériences aléatoires puis de calculer les probabilités des événements en jeu.
Les expériences étudiées peuvent comporter plusieurs épreuves. On trouvera également dans ce
chapitre des exemples de marches aléatoires qui sont sources de démarches algorithmiques.
Extrait du programme (Bulletin officiel n° 30 du 23 juillet 2009) :
Contenus Capacités attendues
Probabilité sur un ensemble fini
Probabilité d’un événement.
Réunion et intersection de deux
événements, formule :
p(A ∪ B) + p(A ∩ B) = p(A) + p(B).
• Déterminer la probabilité d’événements dans des
situations d’équiprobabilité.
• Utiliser des modèles définis à partir de fréquences
observées.
• Connaître et exploiter cette formule.
Corrigé de la question d’ouverture du chapitre ▶
Pour être équitable, le pari sur le 7 devrait rapporter 6 fois la mise (cf. TP TICE 3).
Corrigés des activités
1 Probabilité ou certitude ?
●
1 Le professeur animera la séance en confrontant les stratégies proposées par les élèves. Il faut veiller
à ne pas révéler le contenu du sac avant que tous soient convaincus du raisonnement proposé.
●
2 Classe 1 : les tirages étant avec remise, le sac pourrait contenir un seul pion noir.
Classe 2 : avec ce raisonnement, on ne pourrait pas conclure si l’on tire par exemple 3 pions noirs
parmi les 10 pions tirés.
Classe 3 : malgré le nombre important de tirages, on peut contredire ce raisonnement en considérant
que l’expérience réalisée revient à tirer 50 fois un jeton. Le bilan de ce tirage est alors de 29 pions
noirs pour 21 pions blancs, ce qui tendrait à montrer que les pions noirs seraient plus nombreux.
2 Des statistiques aux probabilités
●
2 b. L’échantillon, s’il est suffisamment grand, permettra de voir la fluctuation des résultats mais aussi
une tendance centrale vers la probabilité théorique.

172 • 11. Probabilités
Exemple d’un simulation sur une classe de 35 élèves :
Nombres
de résultats
supérieurs
ou égaux à 5
01234567891011121314151617181920
Nombre
d’élèves 000334567511000000000
c. Avec cet échantillon, la fréquence des nombres de résultats supérieurs ou égaux à 5 pour l’en-
semble des lancers est 0,34, avec 35
×
20 = 700 lancers.
●
3 a. On constate que la répartition et la fréquence observée sont proches de celles de l’expérience
précédente.
b. À nombre de lancers identiques, on peut faire la moyenne des fréquences observées, on a alors
1 400 lancers, la fréquence obtenues est une bonne approximation de la probabilité que la face supé-
rieur du dé porte un chiffre supérieur ou égal à 5.
c. On peut comparer ce nombre à la probabilité théorique
2
6
=
1
3
.
3 Avec ou sans remise ?
Partie A
●
1 Voir schéma ci-contre.
●
2 Il y a 9 issues équiprobables, la probabilité de chacune
d’elle est donc
1
9
.
●
3 a. La probabilité de tirer deux fois le même nombre
est
3
9
=
1
3
.
b. La probabilité que le premier nombre soit stricte-
ment inférieur au second est
3
9
=
1
3
.
c. La probabilité que la somme des nombres tirés
fasse 4 est
3
9
=
1
3
.
Partie B
●
1 Voir schéma ci-contre.
●
2 Il y a 6 issues équiprobables. La probabilité de chacune
d’elles est donc
1
6
.
●
3 a. La probabilité de tirer deux fois le même nombre
est 0.
b. La probabilité que le premier nombre soit stricte-
ment inférieur au second est
3
6
=
1
2
.
c. La probabilité que la somme des nombres tirés
fasse 4 est
2
6
=
1
3
.
Issues
du tirage
(1 ; 1)
2d tirage
1er tirage 1
2
3
1
1
2
3
2
1
2
3
3
(1 ; 2)
(1 ; 3)
(2 ; 1)
(2 ; 2)
(2 ; 3)
(3 ; 1)
(3 ; 2)
(3 ; 3)
Issues
du tirage
(1 ; 2)
2d tirage
1er tirage 2
3
1
1
3
2
1
2
3
(1 ; 3)
(2 ; 1)
(2 ; 3)
(3 ; 1)
(3 ; 2)

11. Probabilités • 173
Partie C
a. La première expérience offre la plus grande probabilité.
b. La seconde expérience offre la plus grande probabilité.
c. Les deux expériences offrent la même probabilité.
Corrigés des Travaux pratiques
TICE 1 Simuler le lancer d’une pièce à la calculatrice
Partie A
●
3 Une fois les 200 lancers affectés à la liste 1, on peut par exemple faire
afficher la moyenne de la série qui représente la fréquence d’apparition
du 1, donc du côté « pile ».
Sur TI 83+ : voir ci-contre.
●
4 La fréquence d’apparition du côté « pile » est proche de 0,5 qui est la
probabilité théorique en cas d’équiprobabilité dans une expérience à
deux issues.
Partie B
●
1 Sur Casio Graph 35+ : voir ci-contre.
Lancer trois fois une pièce ne revient pas à tripler le résultat.
●
2 a. Oui, la répartition semble équiprobable.
b. Il n’y a qu’une seule manière d’obtenir trois « pile », avec le triplet
(P, P, P), alors qu’il y a trois manières d’obtenir deux « pile », avec les
triplets (P, P, F), (P, F, P) et (F, P, P).
c. Obtenir deux « pile » devrait être trois fois plus fréquent qu’obtenir trois « pile », il ne devrait donc
pas y avoir équiprobabilité comme l’expérience le suggère d’après le ● 2) a.
●
3 a. et b. Sur TI 83 + : voir ci-contre.
c. Le nombre de « pile » ayant la plus forte probabilité est 1 ou 2.
d. On peut construire l’arbre suivant :
P
F
P
F
P
P
F
P
F
P
F
P
F
F
3
Nombre de
« pile »
2
2
1
2
1
1
0
Ces 8 issues sont équiprobables, les probabilités selon le nombre de « pile » sont résumées dans le
tableau suivant :
Nombre de « pile » 0123
Probabilité
1
8
3
8
3
8
1
8

174 • 11. Probabilités
TICE 2 Simuler et comprendre la loi des grands nombres
●
1 On saisit la formule dans A1 avant de la recopier vers la droite puis vers le bas.
●
2 a. Dans la feuille 2 ci-dessous, la formule saisie en B3 à recopier vers le bas, est :
« =NB.SI(Feuille1!$A$1:$J$10;B2) ».
b. La fréquence s’obtient en saisis-
sant dans la cellule B4 la formule
« =B3/100 », formule recopiée
ensuite vers la droite.
●
3 On ne peut pas préjuger du chiffre
qui apparaît le plus fréquemment.
L’amplitude maximale entre les
fréquences observées peut dépasser
0,10.
●
4 Il faut modifier la plage de cellule
en la recopiant sur 10 000 cellules.
Le plus simple est de garder 10
colonnes et de prolonger la table sur
1 000 lignes.
On ne peut toujours pas préjuger du
chiffre qui apparaît le plus fréquem-
ment, par contre l’amplitude maximale entre les fréquences observées a diminué et dépasse rare-
ment 0,02.
●
5 Ces dernières observations laissent penser que la simulation est équiprobable, en accord avec la loi
des grands nombres.
TICE 3 Somme de plusieurs dés
●
2 La valeur la plus fréquente de la série pourrait être le 7 mais elle est parfois dépassée par d’autres
valeurs. Sa fréquence est très variable (entre 0,10 et 0,25 le plus souvent).
●
3 Avec 2 000 lancers :
L’histogramme est plus régulier et l’issue la plus fréquente est (presque) toujours le 7. Sa fréquence
varie encore toutefois entre 0,15 et 0,18.

11. Probabilités • 175
●
4 À l’aide d’un tableau à double entrée, on peut dénombrer les 36 couples (dé 1 ; dé 2) équiprobables
puis calculer la probabilité de chaque issue.
dé 2
123456
12345 67
2345 678
dé 1 3456789
45678910
567891011
6789101112
Issue 23456789101112
Probabilité
1
3
6
2
3
6
3
3
6
4
3
6
5
3
6
6
3
6
5
3
6
4
3
6
3
3
6
2
3
6
1
3
6
●
5 a. et b. Avec 2 000 lancers, la conjecture du prince de Toscane semble vraie, mais le 9 gagne assez
souvent pour laisser un doute.
c. Avec 10 000 lancers, il n’y a plus de doute, le 10 l’emporte (presque) à chaque fois.
Algorithmique 1 Lancers de dés
●
1 a.
Entrées :
Traitement :
Sortie :
Donner les valeurs de N.
Initialiser S à 0.
Pour I allant de 1 à N
Affecter à A un nombre aléatoire entier entre 1 et 6
Si A = 6
Alors affecter à S la valeur S + 1.
Afficher
S
N
.
b. N est le nombre total de lancers, S compte le nombre de 6 obtenus, A est la valeur du dé.
c. La valeur affichée en sortie est la fréquence d’apparition du 6.
●
2 a. On peut ajouter l’affichage de
S
N
−
1
6
.
b. Sur TI 83+ Sur Casio Graph 35+
c. On ne peut atteindre un écart inférieur à 1 % car pour N = 20, les valeurs de
S
N
sont des multiples
de
1
2
0
=
0
,
0
5
, donc la valeur la plus proche de
1
6
≈
0
,
1
6
6
6
est 0,15, ce qui correspond à un écart de
1,66 %.