algèbre - Institut de Mathématiques de Toulouse

ALGÈBRE
(COURS DE L3, PREMIER SEMESTRE 2012/2013)
J. Sauloy 1
19 novembre 2012
1. Institut mathématique de Toulouse et U.F.R. M.I.G., Université Paul Sabatier, 118, route de Narbonne,
31062 Toulouse CEDEX 4

Introduction
Contenu du cours
Le cours d’algèbre du premier semestre de L3 porte sur les anneaux, et ceux-ci sont presque
toujours commutatifs et unitaires (sauf dans quelques exercices). Outre la théorie (élémentaire !),
on propose de nombreuses applications arithmétiques (y compris de l’étude des anneaux de poly-
nômes). Des applications géométriques seront données dans les cours d’algèbre du premier et du
second semestre de M1. Comme la structure d’anneau a pris de l’importance dans les mathéma-
tiques du XXème siècle (en géométrie et en analyse, les anneaux de fonctions sur un espace sont
un moyen efficace d’étude de cet espace), l’étudiant trouvera dans ses cours de L3, M1 et M2 de
nombreuses autres applications (par exemple l’anneau C({z})des séries entières, dans le cours
d’analyse complexe du second semestre de L3).
On a ajouté à l’étude des anneaux quelques connaissances d’algèbre générale, voire de théorie
des ensembles, qui semblent devoir faire partie d’un “socle de licence” mais ne sont pas enseignées
(ou suffisamment détaillées) ailleurs : propriété de clôture algébrique de C, nombres algébriques,
résultant, dénombrabilité et puissance du continu, familles indexées par un ensemble arbitraire . ..
Enfin, pour préparer ceux des étudiants qui iront en M1 MFA l’an prochain (et donc pour qui le “socle
de licence” n’est pas suffisant), certains points plus délicats (comme les anneaux de fractions) sont abordés,
mais leur connaissance ne sera pas exigée aux examens. En règle générale, les passages correspondants sont
imprimés en petits caractères (comme ceux-ci).
Exercices et TD
Le rôle essentiel des exercices dans l’enseignement des mathématiques devrait à ce stade être
évident pour tous. Rappelons qu’un exercice dont on écoute ou dont on lit la solution avant de
l’avoir cherché est perdu pour toujours. Les séances TD ne sont qu’un cadre mis en place pour
faciliter le travail, mais l’essentiel de ce travail a lieu en dehors du temps de présence en cours
ou en TD : c’est la lecture du cours avec un papier et un crayon, pour vérifier tous les calculs et
les raisonnements ; et la recherche personnelle des solutions des exercices (seul ou à plusieurs).
D’ailleurs tous les exercices ne seront pas traités en séance de TD.
Certains exercices (ils sont alors signalés par la mention Cours) visent à démontrer des résul-
tats qui font partie du cours : la connaissance de ces résultats pourra donc être exigée aux examens,
ainsi que la compréhension de leurs démonstrations.
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Bibliographie
Les principaux ouvrages généraux recommandés sont les suivants :
1. Le livre “Algebra” de Serge Lang, champion toutes catégories.
2. Le “Tout-en-un pour la licence” niveau L1, de Ramis-Warusfel, que l’on citera RW1 : cha-
pitres II.1, II.2 et II.6.
3. Le “Tout-en-un pour la licence” niveau L2, de Ramis-Warusfel, que l’on citera RW2 : cha-
pitres II.1 et II.7.
Signalons aussi parmi les références recommandables : “Algebra” de Michael Artin et “Cours
d’algèbre” de Roger Godement.
Pour le lecteur qui souhaite aller au delà (par exemple l’étudiant qui vise un M1, voire l’agré-
gation ou un M2R), la suite naturelle de ce cours est l’algèbre commutative. On peut suggérer, à
un niveau encore élémentaire :
1. Le livre “Basic Algebra” de Nathan Jacobson.
2. Les chapitres 4 et 7 du livre “Algèbre” de Bourbaki.
3. Le “Cours de mathématiques pures et appliquées” de Ramis-Warusfel, que l’on citera RW3 :
niveau L3-M, chapitres 4,5,6.
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Conventions générales et notations
Conventions générales
La notation A:=Bsignifiera que le terme Aest défini par la formule B. Les expressions nou-
velles sont écrites en italiques au moment de la définition. Noter qu’une définition peut apparaitre
au cours d’un théorème, d’un exemple, d’un exercice, etc.
Exemple 0.0.1 L’espace vectoriel E∗:=HomK(E,K)est appelé dual de E.
La fin d’un démonstration ou son absence est indiquée par le signe 
Notations
(x),Ax,<x>,(x1,...,xn),Ax1+···+Axn,<x1,...,xn>
Div(x)
x∧y
Fp,Fq
sgn
b−c
K[X]d
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Chapitre 1
Rappels sur l’arithmétique de Z et de
K[X]
Dans tout ce chapitre, Kdésigne un corps commutatif quelconque ; mais le lecteur peut sup-
poser qu’il s’agit de Q, de R, ou de C. Outre une “remise en route” des capacités techniques et
théoriques, ce chapitre est l’occasion de mettre en place deux exemples fondamentaux et d’illustrer
leur similitude (qui va d’ailleurs bien plus loin que ce que l’on en verra ici).
Remarque 1.0.2 On a choisi de faire ressortir l’aspect algorithmique de ces notions avec les véri-
tables notations de l’algorithmique (variables, affectations, structures de contrôle . . .) et pas seule-
ment avec les constructions de suites par récurrence qui en tiennent souvent lieu dans les textes
mathématiques. Pour approfondir cet aspect, on peut consulter RW1, chapitre II.8.
1.1 Division euclidienne
Nous admettrons le théorème suivant :
Théorème 1.1.1 Soient a,b∈Zavec b>0. Il existe alors un unique couple (q,r)∈Z×Ztel que
(a=qb +r,
0≤r<b.
Pour simplifier l’écriture des algorithmes, nous noterons diveucl(a,b):= (q,r)ce couple ; qet
rsont le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b.
Exercice 1.1.2 Et si b≤0 ?
Théorème 1.1.3 Soient A,B∈K[X]avec B6=0. Il existe alors un unique couple (Q,R)∈K[X]×
K[X]tel que (A=QB +R,
degR<degB.
Nous noterons diveucl(A,B):= (Q,R)ce couple ; Qet Rsont le quotient et le reste de la division
euclidienne de A par B.
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