W A B A Ç B

PROBABILITE
1 VOCABULAIRE
1.1 Expérience aléatoire
C’est une expérience (ou épreuve) dont on connaît parfaitement les conditions de déroulement
mais dont les résultats dépendent du hasard.
Exemple
Lancer un dé à 6 faces non pipé constitue une expérience aléatoire.
1.2 Univers
C’est l’ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire. On le note en général .
Exemple
 = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }.
1.3 Evénement
C’est une partie de l’univers. (Si cette partie ne contient qu’ seul élément, on parle
d’événement élémentaire).
Exemple
A = « J’obtiens un nombre pair » = { 2 ; 4 ; 6 }.
 = événement impossible.
 = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } = événement certain.
1.4 Evénements incompatibles
Deux événements n’ayant aucun élément en commun sont dits incompatibles (ou disjoints).
Exemple
A = « J’obtiens un nombre pair » et B = « J’obtiens un nombre impair » sont incompatibles.
1.5 Evénements contraires
Si A est un événement, on note A l’événement contraire de A formé de tous les éléments de
 qui n’appartiennent pas à A.
Exemple
Si C = { 3 } alors
C
= { 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 6 }.
1.6 Intersection d’événements « A et B »
Si A et B sont deux événements, on note A  B (« A inter B ») l’ensemble de tous les
éléments qui appartiennent à la fois à A et B.
Exemple
Si D = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 } et E = { 3 ; 4 ; 5 ; 6 } alors D  E = { 3 ; 4 }.
1.7) Union d’événements « A ou B »
Si A et B sont deux événements, on note A  B (« A union B ») l’ensemble de tous les
éléments qui appartiennent à A ou à B (ou aux deux à la fois).
Exemple
Si A = { 2 ; 4 ; 6 } et F = { 4 ; 5 ; 6 } alors A  F = { 2 ; 4 ; 5 ; 6 }.

Probabilités
2 PROBABILITES SUR LES ENSEMBLES FINIS
On ne s’intéresse ici qu’à des expériences ayant un nombre fini de résultats possibles.
2.1 Probabilité
A chaque événement A on associe un nombre appelé probabilité de A, noté P(A) tel que :
0  P(A)  1 P() = 1 P() = 0
2.2 Propriété
Soit A et B deux événements : P( A ) = 1 – P(A)
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
Remarque
Si A et B sont incompatibles, alors A  B = , donc P(A  B) = 0 et donc
P(A  B) = P(A) + P(B)
3 EQUIPROBABILITE
On dit qu’il y a équiprobabilité si tous les événements élémentaires qui constituent l’univers
ont la même probabilité. Dans ce cas, on a :
Error!
Exemple
Si  = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }, alors P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) =
Error!
.
EXERCICE 1
Une usine fabrique des pièces pour l’horlogerie. Une pièce peut être défectueuse à cause d’au
moins l’un de deux défauts appelés A et B. On considère un lot de 10 000 pièces dans lequel
2% des pièces présentent le défaut A, 8% présentent le défaut B, et 0,16% présentent
simultanément les deux défauts.
1) Faire un diagramme ensembliste pour représenter la situation, et déterminer le pourcentage
de pièces qui n’ont aucun défaut.
2) Recopier et compléter le tableau ci-dessous :
A
A
TOTAL
A
B
A  B

Probabilités
B
B
TOTAL
10 000
3) On choisit au hasard une pièce dans ce lot de 10 000. Toutes les pièces ont la même
probabilité d’être choisies.
Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :
 E1 : « La pièce choisie présente l’un au moins des deux défauts » ;
 E2 : « La pièce choisie présente un défaut et un seul » ;
 E3 : « La pièce choisie ne présente aucun défaut ».
EXERCICE 2
Une entreprise fabrique des chaudières de deux types : des chaudières dites « à cheminée » et
des chaudières dites « à ventouse ».
L’entreprise a fabriqué en un mois 900 chaudières à cheminée et 600 chaudières à ventouse.
Dans ce lot, 1% des chaudières à cheminée sont défectueuses et 5% des chaudières à ventouse
sont défectueuses.
On prélève au hasard une chaudière dans la production de ce mois. Toutes les chaudières ont
la même probabilité d’être prélevées.
On considère les événements suivants :
 A : « La chaudière est à cheminée » ;
 B : « La chaudière est à ventouse » ;
 D : « La chaudière présente un défaut ».
A l’aide d’un tableau, déterminer :
1) P(A) et P(B).
2) Calculer P(D  A) et P(D  B).
3) La probabilité qu’une chaudière à ventouse présente un défaut.
4) La probabilité qu’une chaudière à cheminée présente un défaut.
5) P(D) et P( D ).
EXERCICE 3
Une salle de spectacle propose pour la saison des abonnements pour 4, 5 ou 6 spectacles.
Dans la population des abonnés la répartition est la suivante: 43,5% ont choisi l'abonnement 4
spectacles; 33% ont choisi l'abonnement 5 spectacles; le reste a choisi l'abonnement 6
spectacles.
D'autre part, 65% des abonnés sont des jeunes de moins de 25 ans, et dans cette population, la
répartition est différente : 40% ont choisi l'abonnement 4 spectacles; 40% ont choisi
l'abonnement 5 spectacles; le reste a choisi l'abonnement 6 spectacles.
On interroge un abonné au hasard. On note A l'événement « l'abonné interrogé a moins de 25
ans ». Ainsi, la probabilité P(A) de cet événement est 0,65. On note B l'événement
« l'abonné interrogé a choisi 5 spectacles ».
1) Quelle est la probabilité que l'abonné interrogé ait 25 ans ou plus?
2) Sachant que l'abonné interrogé a moins de 25 ans, quelle la probabilité qu'il ait choisi 5
spectacles?
3) Décrire l'événement A  B et démontrer que la probabilité de cet événement est égale à
0,26.
4) Démontrer que la probabilité P( A  B) est égale à 0,07.

Probabilités
1) Notion de probabilité
a) Expérience aléatoire
Définition : Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs résultats ou issues
possibles et que l’on ne peut pas prévoir avec certitude quel résultat se produira.
Exemples :
- On lance une pièce de monnaie et on regarde la face supérieure.
- On lance un dé à six faces et on regarde le nombre de points inscrits sur la face du
dessus.
- On fait tourner une roue marquée sur ses secteurs de couleurs différentes et on
regarde le secteur marqué par la flèche.
b) Arbre des possibles et probabilité
Exemple : On fait tourner la roue et on relève la couleur du secteur qui s’arrête en face du
repère.
Quatre issues sont possibles. On le schématise sur l’arbre des possibles :
2 secteurs sur 8 sont de couleur bleue. Lors d’une expérience
aléatoire, il y a donc 2 chances sur 8 d’obtenir un secteur de
couleur bleue. On dit que la probabilité d’obtenir un secteur bleu
est égale à 
, soit  . La probabilité d’obtenir : la couleur rouge est de  , la couleur jaune est
de 
 et celle de la couleur verte est de  .
On inscrit sur l’arbre des possibles les probabilités des différentes issues.
De façon générale :
 La probabilité d’une issue est un nombre compris entre 0
et 1
 La somme des probabilités des issues d’une expérience
aléatoire est égale à 1.
c) événements
Un évènement est constitué par des issues d’une expérience
aléatoire ; on dit qu’une de ces issues réalise l’événement.
Propriété : Avec un arbre, la probabilité d’un événement est la somme des probabilités écrites
sur les branches conduisant aux issues qui réalisent l’événement.
Exemple : Soit l’évènement E « La roue s’arrête sur un secteur bleu ou rouge ». On pourrait
se demander qu’elle est la probabilité que cet évènement se réalise ?
ble
u
rouge
jaune
vert

Probabilités
On dit que la probabilité que l’évènement E se réalise est égale à 
 et on note : P(E) =  .
 Tout événement A a une probabilité comprise entre 0 et 1.
 Un événement est dit impossible s’il ne peut pas se produire ; sa probabilité est égale
à 0.
 Un événement est dit certain s’il se produit nécessairement ; sa probabilité est égale à
1.
d) Fréquence et probabilité
Lorsque l’on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de
réalisation d’un événement devient proche de sa probabilité.
Exemple : Au jeu de pile ou face, l’événement P : « sortie de Pile » a pour probabilité 0,5.
Ainsi, si on réalise 1 000 lancers d’une pièce équilibrée, on obtiendra par forcement 500 fois
Pile, mais la fréquence d’apparition de Pile sera proche de 0,5.
2) Evénements incompatibles et événements contraires
Définition : Deux événements sont dits incompatibles s’ils ne peuvent se réaliser en même
temps.
Propriété : Lorsque deux événement sont incompatibles, la probabilité pour que l’un ou
l’autre se réalise est égale à la somme de leurs probabilités.
Exemple : Les événements A : « la roue s’arrête sur un secteur bleu » et B : « la roue s’arrête
sur un secteur rouge » sont incompatibles. D’où le résultat de l’exemple au 1)c).
Définition : L’événement contraire d’un événement A est celui qui se réalise lorsque A ne se
réalise pas. On le note non A ou 
Propriété : La somme des probabilités d’un événement A et de son contraire est 1 : 
Exemple : Le contraire de l’événement A : «la roue s’arrête sur un secteur bleu »est
l’événement non A : « la roue s’arrête sur un secteur autre que le bleu ».
Sa probabilité est :       
.
3) Exemple d’une expérience aléatoire à deux épreuves
Lancer deux fois de suite une pièce de monnaie est une expérience aléatoire à deux épreuves.
Soit E l’évènement : « On obtient au moins une fois la face PILE. »