W A B A Ç B

PROBABILITE
1 VOCABULAIRE
1.1 Expérience aléatoire
C’est une expérience (ou épreuve) dont on connaît parfaitement les conditions de déroulement
mais dont les résultats dépendent du hasard.
Exemple
Lancer un dé à 6 faces non pipé constitue une expérience aléatoire.
1.2 Univers
C’est l’ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire. On le note en général .
Exemple
 = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }.
1.3 Evénement
C’est une partie de l’univers. (Si cette partie ne contient qu’ seul élément, on parle
d’événement élémentaire).
Exemple
A = « J’obtiens un nombre pair » = { 2 ; 4 ; 6 }.
 = événement impossible.
 = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } = événement certain.
1.4 Evénements incompatibles
Deux événements n’ayant aucun élément en commun sont dits incompatibles (ou disjoints).
Exemple
A = « J’obtiens un nombre pair » et B = « J’obtiens un nombre impair » sont incompatibles.
1.5 Evénements contraires
Si A est un événement, on note A l’événement contraire de A formé de tous les éléments de
 qui n’appartiennent pas à A.
Exemple
Si C = { 3 } alors C = { 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 6 }.
1.6 Intersection d’événements « A et B »
Si A et B sont deux événements, on note A  B (« A inter B ») l’ensemble de tous les
éléments qui appartiennent à la fois à A et B.
Exemple
Si D = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 } et E = { 3 ; 4 ; 5 ; 6 } alors D  E = { 3 ; 4 }.
1.7) Union d’événements « A ou B »
Si A et B sont deux événements, on note A  B (« A union B ») l’ensemble de tous les
éléments qui appartiennent à A ou à B (ou aux deux à la fois).
Exemple
Si A = { 2 ; 4 ; 6 } et F = { 4 ; 5 ; 6 } alors A  F = { 2 ; 4 ; 5 ; 6 }.
Probabilités

AB
A
B
2 PROBABILITES SUR LES ENSEMBLES FINIS
On ne s’intéresse ici qu’à des expériences ayant un nombre fini de résultats possibles.
2.1 Probabilité
A chaque événement A on associe un nombre appelé probabilité de A, noté P(A) tel que :
0  P(A)  1
P() = 1
P() = 0
2.2 Propriété
Soit A et B deux événements :
P( A ) = 1 – P(A)
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
Remarque
Si A et B sont incompatibles, alors A  B = , donc P(A  B) = 0 et donc
P(A  B) = P(A) + P(B)
3 EQUIPROBABILITE
On dit qu’il y a équiprobabilité si tous les événements élémentaires qui constituent l’univers
ont la même probabilité. Dans ce cas, on a :
Error!
Exemple
Si  = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }, alors P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = Error!.
EXERCICE 1
Une usine fabrique des pièces pour l’horlogerie. Une pièce peut être défectueuse à cause d’au
moins l’un de deux défauts appelés A et B. On considère un lot de 10 000 pièces dans lequel
2% des pièces présentent le défaut A, 8% présentent le défaut B, et 0,16% présentent
simultanément les deux défauts.
1) Faire un diagramme ensembliste pour représenter la situation, et déterminer le pourcentage
de pièces qui n’ont aucun défaut.
2) Recopier et compléter le tableau ci-dessous :
A
A
TOTAL
Probabilités
B
B
TOTAL
10 000
3) On choisit au hasard une pièce dans ce lot de 10 000. Toutes les pièces ont la même
probabilité d’être choisies.
Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :
 E1 : « La pièce choisie présente l’un au moins des deux défauts » ;
 E2 : « La pièce choisie présente un défaut et un seul » ;
 E3 : « La pièce choisie ne présente aucun défaut ».
EXERCICE 2
Une entreprise fabrique des chaudières de deux types : des chaudières dites « à cheminée » et
des chaudières dites « à ventouse ».
L’entreprise a fabriqué en un mois 900 chaudières à cheminée et 600 chaudières à ventouse.
Dans ce lot, 1% des chaudières à cheminée sont défectueuses et 5% des chaudières à ventouse
sont défectueuses.
On prélève au hasard une chaudière dans la production de ce mois. Toutes les chaudières ont
la même probabilité d’être prélevées.
On considère les événements suivants :
 A : « La chaudière est à cheminée » ;
 B : « La chaudière est à ventouse » ;
 D : « La chaudière présente un défaut ».
A l’aide d’un tableau, déterminer :
1) P(A) et P(B).
2) Calculer P(D  A) et P(D  B).
3) La probabilité qu’une chaudière à ventouse présente un défaut.
4) La probabilité qu’une chaudière à cheminée présente un défaut.
5) P(D) et P( D ).
EXERCICE 3
Une salle de spectacle propose pour la saison des abonnements pour 4, 5 ou 6 spectacles.
Dans la population des abonnés la répartition est la suivante: 43,5% ont choisi l'abonnement 4
spectacles; 33% ont choisi l'abonnement 5 spectacles; le reste a choisi l'abonnement 6
spectacles.
D'autre part, 65% des abonnés sont des jeunes de moins de 25 ans, et dans cette population, la
répartition est différente : 40% ont choisi l'abonnement 4 spectacles; 40% ont choisi
l'abonnement 5 spectacles; le reste a choisi l'abonnement 6 spectacles.
On interroge un abonné au hasard. On note A l'événement « l'abonné interrogé a moins de 25
ans ». Ainsi, la probabilité P(A) de cet événement est 0,65.
On note B l'événement
« l'abonné interrogé a choisi 5 spectacles ».
1) Quelle est la probabilité que l'abonné interrogé ait 25 ans ou plus?
2) Sachant que l'abonné interrogé a moins de 25 ans, quelle la probabilité qu'il ait choisi 5
spectacles?
3) Décrire l'événement A  B et démontrer que la probabilité de cet événement est égale à
0,26.
4) Démontrer que la probabilité P( A  B) est égale à 0,07.
Probabilités
1) Notion de probabilité
a) Expérience aléatoire
Définition : Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs résultats ou issues
possibles et que l’on ne peut pas prévoir avec certitude quel résultat se produira.
Exemples :
- On lance une pièce de monnaie et on regarde la face supérieure.
- On lance un dé à six faces et on regarde le nombre de points inscrits sur la face du
dessus.
- On fait tourner une roue marquée sur ses secteurs de couleurs différentes et on
regarde le secteur marqué par la flèche.
b) Arbre des possibles et probabilité
Exemple : On fait tourner la roue et on relève la couleur du secteur qui s’arrête en face du
repère.
Quatre issues sont possibles. On le schématise sur l’arbre des possibles :
ble
u
rouge
2 secteurs sur 8 sont de couleur bleue. Lors d’une
expérience
jaunesur 8 d’obtenir un
aléatoire, il y a donc 2 chances
secteur de
couleur bleue. On dit que la probabilité d’obtenir un
secteur bleu
2
1
1
vert
est égale à 8, soit 4. La probabilité
d’obtenir : la couleur rouge est de 8, la couleur jaune est
3
1
de 8 et celle de la couleur verte est de 4.
On inscrit sur l’arbre des possibles les probabilités des différentes issues.
De façon générale :
 La probabilité d’une issue est un nombre compris entre 0
et 1
 La somme des probabilités des issues d’une expérience
aléatoire est égale à 1.
c) événements
Un évènement est constitué par des issues d’une expérience
aléatoire ; on dit qu’une de ces issues réalise l’événement.
Propriété : Avec un arbre, la probabilité d’un événement est la somme des probabilités écrites
sur les branches conduisant aux issues qui réalisent l’événement.
Exemple : Soit l’évènement E « La roue s’arrête sur un secteur bleu ou rouge ». On pourrait
se demander qu’elle est la probabilité que cet évènement se réalise ?
Probabilités
On dit que la probabilité que l’évènement E se réalise est égale à



3
8
3
et on note : P(E) = 8.
Tout événement A a une probabilité comprise entre 0 et 1.
Un événement est dit impossible s’il ne peut pas se produire ; sa probabilité est égale
à 0.
Un événement est dit certain s’il se produit nécessairement ; sa probabilité est égale à
1.
d) Fréquence et probabilité
Lorsque l’on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de
réalisation d’un événement devient proche de sa probabilité.
Exemple : Au jeu de pile ou face, l’événement P : « sortie de Pile » a pour probabilité 0,5.
Ainsi, si on réalise 1 000 lancers d’une pièce équilibrée, on obtiendra par forcement 500 fois
Pile, mais la fréquence d’apparition de Pile sera proche de 0,5.
2) Evénements incompatibles et événements contraires
Définition : Deux événements sont dits incompatibles s’ils ne peuvent se réaliser en même
temps.
Propriété : Lorsque deux événement sont incompatibles, la probabilité pour que l’un ou
l’autre se réalise est égale à la somme de leurs probabilités.
Exemple : Les événements A : « la roue s’arrête sur un secteur bleu » et B : « la roue s’arrête
sur un secteur rouge » sont incompatibles. D’où le résultat de l’exemple au 1)c).
Définition : L’événement contraire d’un événement A est celui qui se réalise lorsque A ne se
̅
réalise pas. On le note non A ou 𝑨
Propriété : La somme des probabilités d’un événement A et de son contraire est 1 : 𝑃(𝐴) +
𝑃(𝐴̅) = 1
Exemple : Le contraire de l’événement A : «la roue s’arrête sur un secteur bleu »est
l’événement non A : « la roue s’arrête sur un secteur autre que le bleu ».
1
3
Sa probabilité est : 𝑃(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴) = 1 − 4 = 4.
3) Exemple d’une expérience aléatoire à deux épreuves
Lancer deux fois de suite une pièce de monnaie est une expérience aléatoire à deux épreuves.
Soit E l’évènement : « On obtient au moins une fois la face PILE. »
Probabilités
Sur un même chemin (succession de deux branches), on multiplie les probabilités.
1
1
1
3
1
3
𝑃(𝐸) = 4 + 4 + 4 = 4 ou 𝑃(𝐸) = 1 − 𝑃(𝐸̅ ) = 1 − 4 = 4
3
La probabilité que l’évènement E se réalise est de4.
Il y a donc trois chances sur quatre d’obtenir au moins une fois la face PILE lorsqu’on lance
deux fois de suite une pièce de monnaie.
Pré requis : Statistiques, échantillonnage
On considère les deux expériences suivantes :
Expérience 1 : On lance une pièce de monnaie équilibrée et on regarde sa face supérieure.
Expérience 2 : On lance un dé à 6 faces équilibré et on regarde le chiffre inscrit sur sa face
supérieure.
I) Expérience aléatoire
Définition
Une expérience est dite aléatoire lorsque son résultat est déterminé par le hasard et ne peut
donc pas être prévu à l’avance avec certitude.
Exemples
Expérience 1 : On lance une pièce de monnaie équilibrée et on regarde sa face supérieure.
Expérience 2 : On lance un dé à 6 faces équilibré et on regarde le chiffre inscrit sur sa face
supérieure.
Définition
Probabilités
On appelle éventualité ou issue tout résultat possible d’une expérience aléatoire.
Exemples
Pour l’expérience 1, il y a deux éventualités possibles : pile (P) ou face (F).
Pour l’expérience 2, il y a 6 éventualités possibles : 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.
Définition
L’ensemble de toutes les éventualités constitue l’univers de tous les possibles. Cet ensemble
est noté généralement  ou U.
Exemples
Pour l’expérience 1,   Pile; Face .
Pour l’expérience 2, U  1;2;3;4;5;6 .
Définition
Toute partie de l’univers s’appelle un événement.
Exemples
Pour l’expérience 2, un événement peut être A : « obtenir un nombre pair » A  2;4;6  .
Pour l’expérience 2, un événement peut être B : « obtenir un nombre supérieur ou égale à 5 »
B  5;6 .
Définition
Le nombre d’éléments d’un événement A s’appelle son cardinal. On note card  A .
Exemples
Si on reprend les événements précédents, card  A  3 et card  B   2 .
II) Fréquence statistique et probabilité
1) Loi des grands nombres
Définition
Si on réalise une expérience aléatoire un très grand nombre de fois alors la fréquence de
réalisation d’un événement A se stabilise autour d’un nombre, noté P(A), que l’on appelle
probabilité de cet événement.
Exemples
Si on réalise un très grand nombre de fois l’expérience 2, on observe que la fréquence
1
1
d’apparition de la face « 4 » se stabilise autour de . On dit que
est la probabilité
6
6
d’apparition de 4.
1
Soit un événement C : « obtenir 5 » alors P(C) = .
6
2) Probabilité d’un événement
On considère une probabilité définie sur un univers  .
1) P(  ) = 1
2) Pour tout événement A, on a 0  P( A)  1
Probabilités
3) Si un événement est constitué de plusieurs éventualités, sa probabilité est la somme des
probabilités associées à chacune de ses éventualités.
3) Evénement élémentaire
Définition
Tout événement formé d’une seule éventualité est appelé événement élémentaire.
Exemples :
Pour l’expérience 2, l’événement C : « obtenir 5» est un événement élémentaire.
Pour l’expérience 2, l’événement A : « obtenir un nombre pair » n’est pas un événement
élémentaire car il y a 3 éventualités possibles A  2;4;6 .
Remarques
Un événement est dit certain s’il se produit nécessairement. La probabilité d’un événement
certain est 1.
Un événement est impossible s’il ne peut pas se produire. La probabilité d’un événement
impossible est 0.
Exemples
Pour l’expérience 1, l’événement D : « obtenir pile ou face» est un événement certain.
Pour l’expérience 2, l’événement I : « obtenir 8» est un événement impossible.
III) Probabilité d’un événement
Voir activité 7 page 126 : Introduire la notion d’équiprobabilité
1) Equiprobabilité
On dit qu’il y a équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires d’une expérience
aléatoire ont la même probabilité de se réaliser.
Si l’univers  comporte n événements élémentaires équiprobables, la probabilité de chacun
1
d’entre eux est .
n
Exemples :
Pour l’expérience 1, soit F l’événement : « obtenir face », P  F  
1
car il y a 2 événements
2
élémentaires.
Pour l’expérience 2, soit C l’événement : « obtenir 5», P  C  
1
car il y a 6 événements
6
élémentaires.
2) Calcul de probabilité
Dans
le cas d’une loi équirépartie, la
card  A Nombre de cas "favorables"
P  A 

card    Nombre de cas "possibles"
probabilité
d’un
Exemples :
1) Utilisation d’un tableau
Le tableau suivant montre la répartition des personnels d’une usine :
événement
A
est :
Probabilités
Cadres Ouvriers Total
100
200
300
Hommes
50
150
200
Femmes
150
350
500
Total
On rencontre une personne au hasard. On note H l’événement : « la personne rencontrée est
un homme » et C l’événement « la personne rencontrée est un cadre ».
Il y a équiprobabilité car la rencontre se faisant au hasard toutes les personnes ont la même
probabilité d’être rencontrées.
L’univers est constitué des 500 personnes de l’usine.
300 3

donc
card  H   300 donc P  H  
card  C   150
500 5
150 3
P C  

500 10
2) Utilisation d’un arbre
Une urne contient 2 jetons rouges et 1 jeton vert indiscernables au toucher. On tire un jeton,
on note sa couleur, on remet le jeton dans l’urne, on tire un deuxième jeton et on note sa
couleur. On peut synthétiser la situation par l’arbre probabiliste suivant :
R
R
V
R
(R;R)
R
(R;R)
V
(R;V)
R
(R;R)
R
(R;R)
V
(R;V)
R
(V;R)
R
(V;R)
V
(V;V)
L’univers des possibles est constitué de 9 couples de jetons qui apparaissent sur l’arbre
précédent. Il y a équiprobabilité car les jetons sont indiscernables. On appelle l’événement R :
« obtenir deux jetons rouges ». D’après cet arbre, cet événement est constitué de 4
4
éventualités donc P  R  
9
IV) Calculs avec des probabilités
1) Définition
(Voir activité 3 page 122 : Qui veut vivre sain dîne peu et soupe moins)
Soient A et B deux événements :
L’événement A I B (se lit « A inter B » ou « A et B ») est l’ensemble des éventualités qui
réalisent à la fois A et B.
Probabilités
Lorsque aucune éventualité ne réalise A et B, c'est-à-dire A I B   , on dit que A et B sont
incompatibles ou disjoints.
Exemple :
Pour l’expérience 2, l’événement A :« obtenir un nombre pair » et l’événement C : « obtenir
5» sont deux événements incompatibles.
L’événement A U B (se lit « A union B » ou « A ou B ») est l’ensemble des éventualités qui
réalisent A ou B, c'est-à-dire au moins l’un des deux événements.
L’événement A (se lit « A barre ») appelé événement complémentaire ou contraire de A est
l’ensemble des éventualités qui ne réalisent pas A.
Exemple :
Pour l’expérience 2, soit l’événement B :« obtenir un nombre supérieur ou égale à 5 » alors
B : « obtenir 1 ; 2 ; 3 ou 4 »
2) Propriétés
Voir activités 5 et 6 page 126 : 5 nombres
Soient A et B deux événements : P  A U B   P( A)  P( B)  P( A I B)
Si A et B sont des événements incompatibles alors P  A U B   P( A)  P( B)
Pour tout événement A, P( A)  1  P( A)
Exercices de probabilités !
Exercice 1 :
A chaque naissance, un couple a autant de chance d’avoir un garçon que d’avoir une fille.
1) Représenter, à l’aide d’un arbre, toutes les compositions possibles d’une famille de trois
enfants (dans l’ordre : 1er enfant, 2ème enfant, 3ème enfant).
2) Pour une famille de trois enfants choisis au hasard, on considère les événements suivants :
A : « au moins l’un des trois enfants est un garçon » ;
B : « un seul des trois enfants est une fille » ;
C : « les trois enfants sont des garçons » ;
D : « les trois enfants sont des filles ».
Ecrire ces événements sous forme d’ensembles.
3) Parmi les événements A, B, C et D, citer : a) un événement élémentaire ;
b) deux événements contraires ;
c) deux événements incompatibles non contraires.
Exercice 2 :
Dans une partie du monde, on estime que 15% de la population est contaminée par un virus X.
La stratégie de dépistage met en place un test biologique qui devrait être négatif si la personne
n’est pas contaminée et positif si la personne est contaminée.
On a observé les résultats suivants :
- quand la personne est contaminée par le virus X, le test est positif dans 99,6% des cas ;
- quand la personne n’est pas contaminée par ce virus, le test est négatif dans 97,6% des cas.
1) En considérant une population de 10 000 personnes observées, reproduire et compléter le tableau suivant :
Nombre de personnes
Nombre de personnes
Total
contaminées
non contaminées
Probabilités
Test positif
Test négatif
Total
Dans les questions suivantes, les probabilités seront données à 10 - 4 près.
Pour les questions 2),3) et 4), on choisit une personne au hasard dans cette population, toutes les
personnes ayant la même probabilité d’être choisies.
2) On considère les événements : A : « la personne est contaminée par le virus » ;
B : « la personne a un test positif ».
Calculer la probabilité de chacun de événements A et B.
3) Calculer la probabilité que la personne soit contaminée par le virus X et ait un test positif.
4) a) Calculer la probabilité que la personne ne soit pas contaminée par le virus X et ait un test positif.
b) Calculer la probabilité que la personne soit contaminée par le virus X et ait un test négatif.
c) Calculer la probabilité que le test donne un résultat faux.
5) On choisit maintenant une personne ayant un test négatif. Quelle est la probabilité qu’elle soit
contaminée par le virus X ?
Exercice 3 :
Une urne contient six boules indiscernables au toucher : deux bleues, quatre rouges, notée B1, B2, R1, R2, R3 et R4.
1) On prélève au hasard une boule de l’urne : a) Calculer la probabilité p1 d’obtenir une boule bleue ;
b) Calculer la probabilité p2 d’obtenir une boule rouge.
2) On prélève successivement deux boules sans remettre la première dans l’urne.
a) Utiliser un arbre ou un tableau pour déterminer toutes les issues de cette expérience.
b) Calculer la probabilité p3 d’obtenir deux boules de couleurs différentes.
3) On prélève successivement deux boules en remettant la première boule tirée dans l’urne.
a) Utiliser un arbre ou un tableau pour déterminer toutes les issues de cette expérience.
b) Calculer la probabilité p4 d’obtenir deux boules de la même couleur.
(B.N :Donner les résultats sous forme de fraction irréductibles / Les trois questions sont indépendantes)
Exercice 1 :
1) 1er enfant :
Garçon
Fille
2ème enfant :
G
F
G
F
ème
3 enfant : G F G F G F G F
2) A= {GGG ;GGF ;GFG ;GFF ;FGG ;FGF ;FFG}
B = {GGF ; GFG ; FGG} ; C = {GGG} ; D = {FFF}.
3) a) C et D sont des événements élémentaires.
b) A et D sont des événements contraires.
c) B et C sont incompatibles mais pas contraires (B et D aussi).
Exercice 2 :
Nombre de personnes Nombre de personnes
contaminées
non contaminées
Test positif
1494
204
Test négatif
6
8296
Total
1500
8500
2) p(A) = Error! = 0,15 et p(B) = Error! = 0,1698
3) p(AB) = Error! = 0,1494 .
1)
_
4) a) p( A B) = Error! = 0,0204
_
b) p(A B ) = 6/10000 = 0,0006
Total
1698
8302
10000
Probabilités
_
_
c) p( A B) + p(A B ) = 0,0204 + 0,0006 = 0,021.
5) p = Error! = 0,0007.
Exercice 3:
1) a) p1 = Error! = Error! ; b) p2 = Error! =Error!.
2) a)
B1
B2
R1
R2
B1
(B1 ; B2) (B1 ; R1) (B1 ; R2)
B2 (B2 ; B1)
(B2 ; R1) (B2 ; R2)
R1 (R1 ; B1) (R1 ; B2)
(R1 ; R2)
R2 (R2 ; B1) (R2 ; B2) (R2 ; R1)
R3 (R3 ; B1) (R3 ; B2) (R3 ; R1) (R3 ; R2)
R4 (R4 ; B1) (R4 ; B2) (R4 ; R1) (R4 ; R2)
b) p3 = Error! = Error!.
3) a)
B1
B2
R1
R2
R3
R4
B1
(B1 ; B1)
(B2 ; B1)
(R1 ; B1)
(R2 ; B1)
(R3 ; B1)
(R4 ; B1)
b) p4 = Error! = Error!.
B2
(B1 ; B2)
(B2 ; B2)
(R1 ; B2)
(R2 ; B2)
(R3 ; B2)
(R4 ; B2)
R1
(B1 ; R1)
(B2 ; R1)
(R1 ; R1)
(R2 ; R1)
(R3 ; R1)
(R4 ; R1)
R2
(B1 ; R2)
(B2 ; R2)
(R1 ; R2)
(R2 ; R2)
(R3 ; R2)
(R4 ; R2)
R3
(B1 ; R3)
(B2 ; R3)
(R1 ; R3)
(R2 ; R3)
R4
(B1 ; R4)
(B2 ; R4)
(R1 ; R4)
(R2 ; R4)
(R3 ; R4)
(R4 ; R3)
R3
(B1 ; R3)
(B2 ; R3)
(R1 ; R3)
(R2 ; R3)
(R3 ; R3)
(R4 ; R3)
R4
(B1 ; R4)
(B2 ; R4)
(R1 ; R4)
(R2 ; R4)
(R3 ; R4)
(R4 ; R4)