EPITECH PROBABILITES ET STATISTIQUES Cours207

EPITECH
PROBABILITES ET STATISTIQUES
Cours207
Ajustements statistiques
Dominique Neveu
Année 2006-2007

Chapitre 1
Ajustements statistiques
1.1 Avertissement au lecteur
Les résultats de calculs dans ce cours le sont avec peu de chiffres signi-
ficatifs afin d’en clarifier la lecture. Toutefois, nous précisons que tous les
calculs ont été effectués avec la précision maximum. Ce n’est qu’à l’affichage
que la précision est réduite.
1.2 Séries observées
Dans ce paragraphe, nous décrivons ce qu’est une série observée. Nous
citons des exemples que nous traiterons tout au long de ce cours pour expli-
quer comment on effectue un ajustement avec une loi de probabilités.
On effectue des observations d’une variable sur un échantillon. On suppo-
sera dans ce cours que la variable est de type quantitatif discret, c’est à dire
adoptant une liste de valeurs entières. Mais les notions présentées dans ce
cours s’appliquent aussi à d’autres types de variables.
Pour chaque valeur possible de la variable, on relève l’effectif de cette va-
leur dans l’échantillon. On dispose ainsi d’une série de valeurs et de leur
effectif observé. On dit alors qu’il s’agit d’une série observée.
Nous allons adopter les notations suivantes :
x: valeur de la variable.
Ox: effectif observé correspondant.
N=X
x
Ox: total des effectifs observés.
Exemple 1 (Nombres aléatoires) On veut tester un programme infor-
matique qui génère des nombres au hasard. On choisit de générer des nombres
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entiers compris entre 0 et 9. On effectue un test sur 1000 nombres. Pour
chaque nombre, on relève son nombre d’apparitions ou effectif. Les résultats
sont donnés dans le tableau ci-dessous.
xNombre 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Total
OxEffectif 120 87 115 103 91 109 92 112 94 77 1 000
Exemple 2 (Production de pièces métalliques) Un marteau-pilon fa-
brique des pièces métalliques en très grand nombre. Certaines sont défec-
tueuses. Pour effectuer un contrôle, on prélève 100 échantillons de 100 pièces.
Pour chaque échantillon, on relève le nombre de pièces défectueuses. Le
nombre de pièces défectueuses varie entre 0 et 8. Le nombre d’échantillons
correspondants est donné dans le tableau suivant :
Nombre
xde pièces 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 et Total
défectueuses plus
Effectif :
OxNombre 2 7 14 21 19 17 11 5 4 0 100
d’échantillons
Exemple 3 (Métal radioactif) On a observé le nombre de particules β
émises par un métal radioactif pendant 100 secondes successives. Pour chaque
seconde, on note le nombre de particules émises qui est compris entre 0 et
12 ou plus. Le tableau suivant présente la série observée :
Nombre 12 et
xde particules 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 plus Total
Effectif :
OxNombre de 1 2 4 8 13 15 17 14 10 7 4 3 2 100
de secondes
1.3 Ajustement d’une loi de probabilités à une série
observée
Le but de ce paragraphe est de présenter des ajustements de séries ob-
servées avec des lois de probabilités théoriques. Le principe en est le suivant.
Pour une série observée donnée, on choisit une loi de probabilités adaptée.
On calcule alors, pour chaque valeur de la série, l’effectif théorique donné
par la loi de probabilités. Finalement, on compare l’ensemble des effectifs
observés à celui des effectifs théoriques calculés et on juge de la validité de
l’ajustement choisi.
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Différents ajustements sont possibles, suivant les situations rencontrées. On
retient, à titre d’exemple les ajustements suivant : ajustement d’une loi uni-
forme, ajustement d’une loi binômiale et ajustement d’une loi de Poisson.
Il y a de nombreux avantages à substituer une loi de probabilité connue
à une série observée. En effet, cette loi a des propriétés connues, elle est en
général tabulée. On présente alors, à la place de la série observée, quelques
caractéristiques simples de la loi. Ceci facilite, entre autres, les comparaisons
entre séries.
Nous adoptons les notations suivantes :
x: valeur de la variable.
Ox: effectif observé.
Tx: effectif théorique calculé.
N=X
x
Ox: total des effectifs observés.
1.3.1 Loi uniforme
La loi uniforme s’applique lorsque tous les évènements élémentaires sont
équiprobables. C’est le cas de la plupart des jeux de hasard. Dans le cas de
l’exemple 1 du générateur de nombres aléatoires, c’est la loi uniforme que
nous retenons pour l’ajustement.
Exemple 4 (suite de l’exemple 1) Chacun des dix nombres générés au
hasard admet une probabilité 1
10 d’apparaître. Pour obtenir l’effectif à partir
de la probabilité, il faut multiplier par l’effectif total N = 1000. On a donc le
tableau d’effectifs théoriques suivant :
x OxTx
0 120 100
1 87 100
2 115 100
3 103 100
4 91 100
5 109 100
6 92 100
7 112 100
8 94 100
9 77 100
Total N = 1000 1000
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1.3.2 Loi binomiale
Lorsque la série observée représente le nombre de succès d’une suite
d’épreuves répétées, on peut tenter un ajustement par une loi binomiale
B(n,p). La difficulté essentielle consiste à déterminer les paramètres n et p.
Le paramètre n est égal à l’effectif total N de la série. Pour déterminer p, la
question peut se poser de deux manières. Parfois p est imposé par la nature
même de la série statistique. Dans d’autres cas, p n’est pas connu : on l’es-
time alors par la moyenne des valeurs observées. Ces deux possibilités seront
présentées sur un même exemple.
Exemple 5 (suite de l’exemple 2) 1˚ Dans le cas de l’exemple 2, peut-
on ajuster une loi binomiale ?
La population est nombreuse. La question est de savoir si la proportion p des
pièces défectueuses est fixe. Ceci n’est pas évident : réglage du marteau-pilon,
qualité du métal des pièces... Moyennant cette réserve, il est possible d’appli-
quer la loi binômiale.
2˚Quel est le paramètre n de la loi binomiale ?
Le paramètre n est égal à l’effectif total N : n = N = 100.
3˚Quel est le paramètre naturel p de la loi binomiale ?
Le nombre moyen de pièces défectueuses est donné par la moyenne des ob-
servations :
x=1
NX
x
x.Ox
x=0×2+1×7+2×14 + ... + 9 ×0
100 =392 100 = 3,92pièces défectueuses.
On choisit le paramètre p égal à la proportion de pièces défectueuses :
p=x
N=3,92 100 = 0,0392
On aurait donc une loi binomiale B(100 ;0,0392).
4˚ Quels sont les paramètres p si la proportion de pièces défectueuses était
connue et égale à 3% ou 4% ?
Pour qu’il y ait 3% ou 4% de pièces défectueuses de façon fixe, il faudrait
que la loi de répartition des échantillons observés soit une loi binômiale
B(100 ;0,03) ou B(100 ;0,04).
5˚Quelles sont les valeurs théoriques des effectifs pour ces différents ajuste-
ments ?
Les effectifs théoriques Txsont obtenus par le produit de la probabilité par
l’effectif total :
Tx=N×Cx
n.px.(1 −p)n−x
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