IPM1 EVALUATION : Probabilités, Loi binomiale et Loi de Poisson

IPM1 EVALUATION : Probabilités, Loi binomiale et Loi de Poisson. 04/05/2015
EXERCICE 1 : ( 8 points )
Un fabricant de composants électroniques d’un certain modèle possède trois machines A, B et C qui
fournissent respectivement 10 %, 40 % et 50 % de la production totale de son usine. Une étude a montré
que 3,5 % des composants produits par la machine A, 1,5 % des composants produits par la machine B et
2,2 % des composants produits par la machine C sont défectueux.
1) La production journalière est de 10 000 unités. Décrire à l’aide d’un tableau la situation journalière de la
production.
2) Après fabrication, les composants sont versés dans un bac commun aux trois machines. On prélève au
hasard un composant dans le bac qui contient la production d’un jour donné. Tous les composants ont la
même probabilité d’être choisis.
a) Montrer que la probabilité que ce composant provienne de la machine C et soit défectueux est
0,011.
b) Calculer la probabilité que ce composant soit défectueux.
c) Calculer la probabilité que ce composant provienne de la machine C, sachant qu’il est défectueux.
EXERCICE 2 : ( 4 points )
3 % des bouteilles d’eau fabriquées par une usine sont défectueuses. On appelle X la variable aléatoire qui, à
tout lot de 100 bouteilles prélevées au hasard dans la production d’une journée, associe le nombre de
bouteilles défectueuses de ce lot. On admet que X suit la loi de Poisson de paramètre 3.
Déterminer la probabilité des trois évènements suivants :
1. A : « Il n’y a aucune bouteille défectueuse. »
2. B : « Il y a exactement deux bouteilles défectueuses. »
3. C : « Il y a au plus deux bouteilles défectueuses ; »
EXERCICE 3 : ( 8 points )
Une entreprise fabrique en grande quantité des tiges de plastique de longueur théorique 100 mm.
Dans un lot de ce type de tiges, 2 % des tiges n’ont pas une longueur conforme. On prélève au hasard n tiges
de ce lot pour vérifier leur longueur. Le lot est assez important pour que l’on puisse assimiler ce
prélèvement à un tirage avec remise de n tiges.
On considère la variable aléatoire Y qui, à tout prélèvement de n tiges, associe le nombre de tiges de
longueur non conforme de ce prélèvement.
1. Pour cette question, on prend n = 50.
a. Justifier que la variable aléatoire Y suit une loi binomiale dont on déterminera les
paramètres.
b. Calculer P ( Y = 2 ) ; P ( Y  4 ) puis P ( Y  4 ).
2. Pour cette question, on prend n = 200. La variable aléatoire Y suit une loi binomiale que l’on décide
d’approcher par une loi de Poisson.
a. Déterminer le paramètre 𝜆 de cette loi de Poisson.
b. On désigne par Z une variable aléatoire suivant la loi de poisson de paramètre 𝜆 où 𝜆 est le
paramètre obtenu à la question précédente.
i. A l’aide de Z, calculer la probabilité d’avoir exactement 5 tiges de longueur non
conforme.
ii. A l’aide de Z, calculer la probabilité d’avoir au plus 4 tiges de longueur non
conforme.