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EXPLORATION DES ENSEMBLES DE NOMBRES : EXERCICES.
Etude des nombres entiers naturels.
1- Si a est exp, que dire de a+1, a-1, a² ?
2- Si  est tg, que dire de +1, -1, ² ?
3- Soient a et b deux entiers tels que a < b.
si a est tg, que dire de b ? de b-1 ?
si b est explicite, que dire de a ? de a+1 ?
si a est exp, b peut-il être exp ? tg ? Conclusion ?
4- Existe-t’il un plus grand entier explicite ? un plus petit très grand ?
Etude des nombres réels.
Ordres de grandeur des nombres réels.
5- Quelle est la partie entière d’un nombre réel très petit positif ?
6- Soient x et y positifs tels que 0  x < y
Que peut-on dire de y lorsque x est tgp ? modntp ? tp ?
Que peut-on dire de x lorsque y est tgp ? modntp ? tp ?
7- a)Quelle est la 1 000 000 000ième décimale d’un nombre très petit ?
b) Que dire des décimales d’ordre explicite d’un nombre très petit ?
c) Peut-on faire des remarques sur les décimales d’un nombre modéré ?
8- Compléter (si possible...) les tableaux suivants:
+
tp
mo
dnt
p
tgp
tgn
X
tp
mo
dnt
p
tgp
tgn
tp
Tp
mo
dnt
p
Mo
dnt
p
tgp
Tgp
tgn
Tgn
9- Soit  un nombre tg. Préciser la nature des nombres suivants:
a+b avec a = b =  ab avec a = 
2
et b =
1
a+b avec a =  et b = -  ab avec a =  et b =
1
a+b avec a =  et b = -  + 3 ab avec a = 
2
et b =
13
10- x  0. Préciser la nature de
x
en fonction de celle de x.

11- a) x  0. Préciser la nature de
1
x
en fonction de celle de x.
b) Compléter, si possible, le tableau des ordres de grandeur de
x
y
:
/
tp
modntp
tg
tp (0)
modntp
tg
12- Donner l'ordre de grandeur des expressions numériques suivantes:
( h est un nombre tp non nul,  est un nombre tg )
h 1
h;h
h 1
2
2
2100 5110 1
5 2 1
11
2
22
2
2
2
2
; ;; ;
h 2;h1;2h 1 3;10 1 5h 2
2 2
Nombres très proches.
13- : Soient a,a',b,b' et c des nombres réels. Montrer que:
si a  a' alors a et a' sont de même nature
si a  b et b  c alors a  c
si a  a' et b  b' alors a + b  a’ + b'
si a  a' et b  b' avec a et b modérés alors ab  a’b'
si a  a' avec a non très petit alors
1
a
1
a'
si a  a' et b  b' avec a modéré et b non très petit alors
a
b
a'
b'
si a  2 alors
a2
et plus généralement:
si a  a' avec a et a' modérés alors
a a'
14- Donner l'ordre de grandeur des expressions numériques suivantes:
a)
2h 1
h 3
avec h  0, h  0 b)
3
31
;
2 1
3
avec  tg
c)
3a 1
a 2
avec a  2, a  2
d)
1 h 1
h
avec h  0, h  0 e)
a 1
2 a 3
avec a  1, a  1
f)
a 3
a a 12
2
avec a  3, a  3 g)
a a 2
2a 8a 10
2
2
avec a  -1, a -1

15- : Soient  un nombre très petit non nul et  un nombre très grand positif. Donner l’ordre de
grandeur de chacun des nombres suivants lorsque cela est possible :
a)
1 1 1 2 1 1
1
,², , ², , , ²,²
.
b)
², , , , ²
²,²,²,
1 1 2 1 10 1
5 2 1 112
2 4
2 4
.
c)
, , . , , , ²
.,²
12 1 1
1
16-- Résolution de “ presqu’équations ” dans D puis dans Q et dans R.
a) 2x - 3  0 b) 3x -1  0 c) (x-1)(x+3)  0
d) x² - 2  0 e) x² + 4  0 f)
x
- 3  0
17- Déterminer a rationnel tels que, pour tout nombre h très petit, on a :
a) (1+h)²  1 +ah b)
1h
 1 + a.h c)
1
1h
 1 +a.h
Nombres explicites.
Nombres rationnels explicites.
18- Si x et y sont des rationnels explicites, que dire de x+y, x.y, 3x+5y, x², x196.y187654 ?
19- a) Soit  un entier très grand. Que dire de
431 1 3 2
, , ², , , ²²
?
b) Tous les rationnels modérés sont-ils explicites ?
Notion d’ombre.
20- Supposons que x et y sont des réels modérés et que n est un entier explicite: montrer que :
a) °(x+y) = °x +°y b) °(x.y) = °x.°y
c) °(-x) = -°x d)°(xn) = (°x)n
e) x > 0  °x0 f) x  y  °x  °y
21- Prouver que
2
. est égal à son ombre (c’est à dire montrer qu’il est explicite).