Espaces vectoriels

Espaces vectoriels
1 Questions de cours
1. Montrer que toute intersection de sous-
espaces vectoriels est un sous-espace vec-
toriel.
2. Soient Fet Gdeux sous-espaes vecto-
riels d’un espace vectoriel E. Montrer
que G+Fest le sous-espace vectoriel de
Eengendré par F∪G.
3. Montrer que deux sous-espaces vectoriels
sont en somme directe si et seulement si
leur intersection est {0}.
2 Applications
1. Soit E={f∈C2(R,R)| ∀x∈
R, f′′(x) + xf′(x) + cos(x)f(x) = 0}.
Montrer que Eest un espace vectoriel.
2. Soient Fet Gdeux sous-espaces vecto-
riels d’un espace E. Montrer que
F∩G=F+G⇔F=G.
3. Soient fet gdeux endomorphismes d’un
espace E. Montrer que g◦f= 0 ⇔
Im(f)⊆ker(g).
3 Exercices
1. Soit Eun espace vectoriel sur Rou C.
Soient pet qdeux projecteurs de L(E).
(i) Montrer que p+qest un projecteur
si et seulement si p◦q=q◦p= 0.
(ii) Montrer que si p+qest un pro-
jecteur, alors ker(p+q) = ker(p)∩
ker(q).
2. Montrer que (x7→ eλx)λ∈Rest libre dans
C0(R,R).
3. Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels,
f∈L(E, F ), et Aet Bdeux sous-
espaces vectoriels de E. Montrer que
F(A)⊆f(B)⇔A+ker(f)⊆B+ker(f).
4. Soient f, g ∈L(E) tels que
g◦f◦g=g;
f◦g◦f=f.
(i) Montrer que Im fet ker gsont sup-
plémentaires dans E.
(ii) Justifier que f(Im g) = Im f.
5. Soient E, F deux K-espaces vectoriels, et
soit f∈L(E, F ). Montrer que
∀A∈p(E), f(Vect A) = Vect f(A).
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6. Soit Eun espace vectoriel, et soit f∈
L(E). Montrer que fest une homoth-
étie si et seulement si ∀x∈E, (x, f(x))
est liée.
7. Montrer que (R∗
+,⊕,·) où
x⊕y=xy et λ·x=xλ
est un R-espace vectoriel.
8. Soient F1,F2et F3trois sous-espaces vec-
toriels d’un espace E. Montrer que
F1∩F2+F1∩F3⊆F1∩(F2+F3).
L’inclusion réciproque est-elle vraie ?
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4 Corrections
4.1 Applications
1. Cela vient directement du fait que C2est un espace vectoriel, et que la dérivation est
linéaire.
2. Pour le sens direct, on a F⊆F+G=F∩G⊆G, et de la même façon G⊆F. Le sens
réciproque est trivial.
3. Si g◦f= 0 alors pour tout x,f(x)∈ker(g), et donc Im(f)⊆ker(g).
Pour la réciproque, c’est identique.
4.2 Exercices
1. (i) Pour le sens direct, on a (p+q)2=p+q, et on en déduit p◦q+q◦p= 0. Dans cette
dernière égalité, on compose par pà droite, puis toujours dans la même égalité, par
pà gauche, et on obtient p◦q=q◦p, puis = 0.
Dans l’autre sens, c’est immédiat en vérifiant (p+q)2=p+q.
(ii) Il est clair que ker p∩ker q⊆ker(p+q). Soit donc xtel que p(x) + q(x) = 0. En
composant par pà droite, p(x)+q◦p(x) = 0, puis p(x) = 0 par la première question.
De même, q(x) = 0.
2. Sinon, il existe une combinaison linéaire nulle :
n
X
i=1
µifi= 0.
Quitte à réorganiser les termes, on peut supposer que tous les µisont non nuls, et que
λ1>···> λn. On a alors
e−λ1x n
X
i=1
µieλix!=Xµie(λ1−λ1)x.
En faisant tendre xvers l’infini, on obtient µ1= 0, d’où une contradiction.
3. Supposons f(A)⊆f(B). Soit x∈A+ ker f: on peut écrite x=u+vavec u∈Aet
f(v) = 0. Alors f(x) = f(u)∈f(A)⊆f(B), et donc il existe w∈Btel que f(x) = f(w).
Alors x=w+ (x−w), avec w∈Bet x−w∈ker f.
Réciproquement, supposons A+ ker f⊆B+ ker f. Soit y∈f(A) : il existe x∈Atel que
y=f(x). Or x∈A⊆A+ ker f⊆B+kerf, et donc on peut écrire x=u+v,u∈Bet
f(v) = 0.
Alors y=f(x) = f(u)∈f(B).
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4. (i) Soit x∈Im f∩ker g. On peut écrire x=f(a), a∈E, donc
x=f(a) = (f◦g◦f)(a) = (f◦g)(x) = 0.
Donc la somme est bien directe. Soit x∈E. On pose u= (f◦g)(x) et v=x−u. Il
est clair que u∈Im f, et g(v) = g(x)−g(u) = 0, c’est-à-dire v∈ker g.
(ii) On a directement f(Im g)⊆Im f, et si y∈Im f, on peut écrire y=f(x) pour
x=g(a) + uoù u∈ker f.
Alors y=f(g(a)) ∈f(Im g).
5. Pour le sens direct, A⊆Vect A, et donc f(A)⊆f(Vect A), pui Vect f(A) = Vect f(Vect A).
Or f(Vect A) est déjà un sous-espace de F, et donc on a bien l’inclusion directe.
Inversement, f−1(Vect f(A)) est un sous-espace de E, qui contient A, donc f(A)⊆
f(f−1(Vect f(A))) ⊆Vect f(A).
6. Le sens direct est trivial. Supposons donc que toutes les (x, f(x)) sont liées :
∀x∈E, ∃λx∈K, f(x) = λxx.
Soient xet ydans E, non nuls. Si (x, y) est liée, on a par exemple x=µy, et donc
f(x) = λxx
=f(µy)
=µλyy
=λyx
Comme x6= 0, on a λx=λy.
Si (x, y) est libre, alors
f(x+y) = λx+y(x+y)
=f(x) + f(y)
=λxx+λyy
Comme (x, y) est libre, λx=λy(via λx+y).
Finalement, pour tous x, y ∈E,λx=λy, et donc fest une homothétie.
7. Il suffit de vérifier les axiomes.
8. Si x∈F1∩F2+F1∩F3, on peut écrire x=y2+y3, où y2∈F1∩F2et y3∈F1∩F3.
Comme y1et y2sont dans F1,xl’est aussi, et donc x∈F1∩(F2+F3).
La réciproque est fausse : on peut par exemple considérer dans R2les droites engendrées
par (0,1), (1,0) et (1,1).
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