[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 24 septembre 2016 Calcul de dérivées n-ième Enoncés 1 (a) Montrer que pour tout n ≥ 1 f (n) (x) = (n − 1)! cosn ( f (x)) sin(n f (x) + nπ/2) Exercice 1 [ 01362 ] [Correction] Calculer la dérivée n-ième de (b) En déduire les racines de f (n) pour n ≥ 1. (a) x 7→ x2 (1 + x)n (b) x 7→ (x2 + 1)e x Exercice 2 [ 01361 ] [Correction] Calculer la dérivée n-ième de x 7→ 1 1 1 , x 7→ puis x 7→ 1−x 1+x 1 − x2 Exercice 3 [ 00251 ] [Correction] Calculer la dérivée n-ième de x 7→ Exercice 9 [ 01364 ] [Correction] Calculer de deux façons la dérivée n-ième de x 7→ x2n . En déduire une expression de !2 n X n k k=0 1 1 − x2 Exercice 4 [ 00743 ] [Correction] Calculer la dérivée n-ième de x 7→ cos3 x Exercice 5 [ 03863 ] [Correction] Calculons la dérivée n-ième de la fonction réelle t 7→ cos(t)et . Exercice 6 [ 01363 ] [Correction] √ Soit f : R → R définie par f (x) = e x 3 sin x. Montrer que √ nπ f (n) (x) = 2n e x 3 sin x + 6 Exercice 7 [ 00254 ] [Correction] Montrer que la dérivée d’ordre n de xn−1 e1/x est (−1)n x−(n+1) e1/x Exercice 8 [ 00252 ] [Correction] Soit f : x 7→ arctan x. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 24 septembre 2016 Corrections Corrections 2 Exercice 3 : [énoncé] Par décomposition en éléments simples Exercice 1 : [énoncé] On exploite la formule de Leibniz 1 1 1 1 1 = + 1 − x2 2 1 − x 2 1 + x (a) Or x (1 + x) 2 n (n) 1 1−x ! ! ! n 2 n 20 n 2 00 n (n) n (n−1) = x ((1 + x) ) + (x ) ((1 + x) ) + (x ) ((1 + x)n )(n−2) 0 1 2 !(n) = 1 n! et 1+x (1 − x)n+1 !(n) = (−1)n n! (1 + x)n+1 donc donc (x (1 + x) ) 2 n (n) 1 1 − x2 n! = n!x2 + 2n.n!x(1 + x) + n(n − 1) (1 + x)2 2 !(n) = n! (−1)n n! + n+1 2(1 − x) 2(1 + x)n+1 (b) (x + 1)e 2 x (n) ! n X n 2 = (x + 1)(k) (e x )(n−k) = x2 + 2nx + n(n − 1) + 1 e x k k=0 Exercice 4 : [énoncé] (a) On a cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x Exercice 2 : [énoncé] En calculant les dérivées successives !0 !00 !0 1 1 1 1 2 = , = = 2 2 1−x (1 − x) 1 − x (1 − x) (1 − x)3 on montre par récurrence donc on peut linéariser cos3 x = 1 (3 cos x + cos 3x) 4 On sait (cos x)(n) = cos(x + nπ/2) et (cos 3x)(n) = 3n cos(3x + nπ/2) et on obtient donc 1 1−x !(n) = n! (1 − x)n+1 (cos3 x)(n) = 1 (3 cos(x + nπ/2) + 3n cos(3x + nπ/2)) 4 De même, mais en gérant de plus un signe 1 1+x !(n) = (−1)n n! (1 + x)n+1 Enfin 1 1 1 1 1 = + 1 − x2 2 1 − x 2 1 + x donc 1 1 − x2 !(n) n! (−1)n n! = + 2(1 − x)n+1 2(1 + x)n+1 Exercice 5 : [énoncé] On peut écrire cos(t)et = Re e(1+i)t et donc (n) (cos(t)et )(n) = Re(e(1+i)t ) = Re (1 + i)n e(1+i)t Or (1 + i)n = 2n/2 einπ/4 puis (cos(t)et )(n) = 2n/2 et cos(t + nπ/4) Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 24 septembre 2016 f (n+1) (x) = 2n √ Or nπ x √3 nπ + cos x + e 3 sin x + 6 6 puis (n + 1)π x √3 e 6 ! f (n+1) (x) = 2n+1 sin x + Récurrence établie. On peut aussi écrire 3 Supposons la propriété vérifiée au rang n ≥ 1 n! − sin( f (x)) sin (n f (x) + nπ/2) n−1 cos ( f (x)) f (n+1) (x) = 1 + x2 + cos (n f (x) + nπ/2) cos( f (x)) Exercice 6 : [énoncé] Par récurrence sur n ∈ N. Pour n = 0 : ok Supposons la propriété établie au rang n ≥ 0. √ nπ 0 f (n+1) (x) = 2n e x 3 sin x + 6 donc Corrections 1 = cos2 ( f (x)) 1 + x2 donc f (n+1) sin( f (x)) cos (n f (x) + (n + 1)π/2) n+1 cos ( f (x)) (x) = n! + sin (n f (x) + (n + 1)π/2) cos( f (x)) puis f (n+1) (x) = n! sin ((n + 1) f (x) + (n + 1)π/2) cosn+1 ( f (x)) Récurrence établie. (b) Puisque arctan x ∈ ]−π/2 ; π/2[, cos( f (x)) , 0. Par suite f (n) (x) = 0 ⇐⇒ sin(n f (x) + nπ/2) = 0 √ √ f (x) = e x 3 sin x = Im e( 3+i)x et exploiter ceci pour calculer directement la dérivée d’ordre n. et donc Exercice 7 : [énoncé] Par récurrence sur n ∈ N. Pour n = 0 : ok. Supposons la propriété établie au rang n ≥ 0. (n+1) (n+1) (n) (n+1) = x.xn−1 e1/x = x xn−1 e1/x + (n + 1) xn−1 e1/x xn e1/x donc xn e1/x (n+1) 0 = x (−1)n x−(n+1) e1/x + (n + 1)(−1)n x−(n+1) e1/x f (n) (x) = 0 ⇐⇒ f (x) = Au final, les racines de f (n) sont les cot kπ avec k ∈ {1, . . . , n − 1} n Exercice 9 : [énoncé] D’une part ce qui donne xn e1/x (n+1) = (−1)n+1 x−(n+2) e1/x Exercice 8 : [énoncé] x 2n (n) (n) = (x × x ) n et donc (a) Par récurrence sur n ≥ 1. Pour n = 1 On en déduit 1 et 1 + x2 cos( f (x)) sin( f (x) + π/2) = cos2 (arctan x) = x2n = (2n)! n x n! D’autre part Récurrence établie. f 0 (x) = kπ π − avec k ∈ {1, . . . , n − 1} n 2 1 1 + x2 x2n (n) = n (n) ! n X n n (k) n (n−k) = (x ) (x ) k k=0 ! !2 n n X X n n n n! n! n x = n! x k (n − k)! k! k k=0 k=0 !2 ! n X n (2n)! 2n = = k n (n!)2 k=0 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD