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Chapitre III : Réseaux électriques linéaires en régime continu
I] Introduction
1) Rappels
Réseau électrique : ensemble de dipoles reliés entre eux par un conducteur de résistance négligeable
- Réseau actif : lorsque le réseau contient des dipoles actifs (générateurs), c'est un réseau qui fournit de l'énergie
et dont la caractéristique ne passe pas par l'origine.
- Réseau passif : c'est un réseau qui ne contient pas de générateur, il va consommer l'énergie et sa caractéristique
passe par l'origine.
2) Problématique
On s'intéresse aux réseaux électriques contenant des dipoles actifs ou passif linéraires et en régime continu. On
va donc établir des lois ou des théorèmes permettant la résolution de ces réseaux
II] Groupement d'éléments passifs
1) Association de résistances en série
Si on considère une portion AB d'un circuit contenant des résistances, l'enseble de cette portion de circuit étant
parcouru par une intensité I
U = U1 + U2 + U3 = R1I + R2I + R3I
U = (R1 + R2 + R3) I
U = Req I
Req = iE
somme
Ri
2) Association de résistances en parallèle
I = I1 + I2 + I3
I = U/R1 + U/R2 + U/R3
= U (1/R1 + 1/R2 + 1/R3)
I=U/R
1/ Req = iE
Geq = iE
somme
somme
1/Ri
Gi
G = conductance (inverse de la résistance)
3) Montage diviseur de tension
U1 = f(U,R1,R2)
U = (R1+R2)I
U1 = R1I => I = U1 / R1
U = (R1+ R2 ) (U1/R1)
U1 = ( R1 / ( R1+R2 ) ) U
4) Montage diviseur de courant
I1 = f(I1,R1,R2)
I = I1 + I2
U = R1 I1 = R2 I2
=> I2 = R1/R2 I1
I = I1 + R1/R2 I1
I = (1 + R1/R2) I1
I1 = R2 / (R1 + R2) I
Relation diviseur de courant
1/ Req = 1/R1 + 1/R2
=> Req = R1 R2 / (R1+R2)
U = ReqI = R1I1
I1 = (Req I ) / R1
III] Les lois de Kirchhoff
1) Enoncé des lois
* Loi des noeuds : elle exprime que la somme algébrique des courants qui arrivent à un noeud est égale à la
somme algébrique des courants qui en sorte.
I1 + I2 = I3 + I4 + I5
convention : on fait précéder du signe plus les courants qui arrivent sur le noeud et du signe moins les courants
qui en sorte
kEsomme ±Ik = 0
2) Loi des mailles
La loi des mailles traduit le fait que sur un maille, la somme des tensions est nulle. Ayant choisi sur une maille
un sens de parcourt arbitraire, on écrit que sur cette maille, jE ± Uj = 0
somme
Les conventions :
- Si le sens de parcourt est dans le même sens que la tension, c'est plus, sinon c'est moins.
jE
somme
Rj Ij = jE
somme
Ej
Régles d'utilisation :
- On choisi arbitrairement le sens des courants dans les différentes branches
- On choisi sur la maille un sens de parcourt arbitraire
- Le produit RI est précédé du signe plus lorsque le sens de parcourt de la maille coincide avec le sens arbitraire
de circulation du courant dans la branche
- Le terme E est précédé du signe de la borne par laquelle on sort en suivant le sens de parcourt de la maille.
3) Exemples d'application
Exemple 1 :
2 noeuds
3 branches
3 mailles => seules 2 mailles sont indépendantes
Loi des noeuds
:
I1 = I2 + I3
Loi des mailles
:
1) R1 I1 + R2 I2 = E
2) R2I2 - R3I3 = 0
3) R3I3 + R1I1 = E
{ I1 = I2 + I3
{ R1 I1 + R2 I2 = E
{ R2 I2 - R3 I3 = 0
(3)
I3 = (R2 / R3) I2
(1)
I1 = I2 + (R2/R3)I2
I1 = I2 ( 1 + R2/R3 )
(2)
R1 ( 1 + R2/R3)I2 + R2I2 = E
I2 { R1 ((R2 + R3) / R3) + R2 } = E
I2 { ( R1R2 + R1R3 + R2R3 ) / R3 } = E
I2 = E R3 / ( R1R2 + R2R3 + R1R3 )
I3 = +E R2 / ( R1R2 + R1R3 + R2R3 )
I1 = E(R2 + R3) / ( R1R2 + R1R3 + R2R3 )
* Exemple 2
R1 = 1 Ohm
R2 = 2 Ohm
R = 10 Ohm
E1 = 6 V
E2 = 12 V
Loi des noeuds
(1)
I3 = I1 + I2
Loi des mailles
(2)
r1I1 + RI3 = E1
(3)
RI3 + r2I2 = E2
(2) <=> I1 = (E1 - RI3 ) / r1
(3) <=> I2 = (E2 - RI3 ) / r2
(1) <=> I3 = (E1 - RI3) / r1 + (E2 - RI3) / r2
I3 ( 1 + R/ r1 + R / r2 ) = E1 / r1 + E2 / r2
I3 ( (r1r2 + r2R + r1R ) / r1r2 = E1E2 + E2E1 / r1r2
I3 = (r2E1 + r1E2) / (r1r2 + Rr1 + Rr2)
I3 = 0.75 A
I1 = - 1.5 A
I2 = 2.25 A
I1 circule donc dans le sens opposé que celui choisi arbitrairement
IV] Théorème de superposition
1) Enoncé du théorème
La tension entre deux points A et B d'un circuit électrique linéaire comportant plusieurs générateurs est égale à
la somme des tensions entre ces deux points lorsque chaque générateur agit seul, les autres étant remplacés par
leur résistance interne. De même, l'intensité dans une branche AB d'un circuit électrique linéaire est égale à la
somme des intensités dans cette branche lorsque chaque générateur agit seul.
2) Exemple d'application
1ere étape : On laisse E1 allumé et on enlève E2
Req = Rr2 / R1 + R2
r1I'1 + ReqI'1 = E1
I'1 = E1 / (r1 + (Rr2 / R + r2))
I'1 = (R+r2)E1 / (r1R + Rr2 + r1r2)
I'1 = 2,25 A
U = RI'3 = E1 - r1I'1
I'3 = E1/R - (r1/R) I1
I'3 = 0.375 A
I'2 = (R/r2) I'3
I'2 = -1.875 A
2eme étape :
I"2 = E2 / ( r2 + (r1R / r1+R) )
I"2 = (r1 +R) E2 / ( r1r2 + r1R + r2R )
I"2 = 4,125 A
U = - r1I"1 = RI"3 = E2 - r2I2
{ I"3 = E2/R - (r2/R)I"2
{ I"1 = - E2/r1 + (r2/ri) I"2=> I"1 = - 3,75 A
I1 = I'1 + I"1 = - 1.5 A
I2 = I'2 + I"2 = 2.25 A
I3 = I'3 + I"3 = 0.75 A
V] Thèorème de thévenin
1) Enoncé de Thévenin
D1 est un ensemble de dipoles contennant des générateurs
D2 est un ensemble de dipoles ne contennant pas de générateurs
Enoncé du théorème : Toute portion de circuit ne comportant que des dipoles actifs et passifs linéaires peut être
remplacée par un dipole actif linéaire appelé générateur de thévenin.
Soient deux dipoles d1 et d2 ayant en commun la tension Uab et le courant I. On peut remplacer d1 par un
modèle équivalent de thévenin dont la caractéristique est donnée par Uab = ETH - RTHI
ETH est la force électromotrice de thévenin et RTH sa résistance interne.
Lorsqu'on coupe la liaison entre les deux dipoles d1 et d2, on a aux birnes de d1 une intensité nulle et la tension
Uab est égale à ETH ETH représente la tension à vide aux bornes de d1. La résistance de thévenin RTH est la
résistance équivalente entre A et B lorsque tous les générateurs du dipole d1 sont éteints
- ETH
- RTH
RTH = Résistance équivalente de D1 lorsque les générateurs sont éteints
2) Exemple d'application
ETH
I = E1 / (r1 + R)
ETH = RI = RE1 / (r1 + R)
2ème étape : RTH (résistance lorsque les générateurs sont éteints)
RTH = RAB = r1R / (r1 + R)
ETH = RE2 / (r1 + R)
rI2 + RTH +I2 = E2 - ETH
I2 = (E2 - ETH )/ ( r1 + RTH )
I2 = ( E2 - (RE1 / r1 + R) ) / ( r2 + (r1R / r1 + R) )
I2 = E2(r1+R) - RE1 / r1r2 + r1R + r2R
I2 = 2.25 A
VI] Transformation Triangle-Etoile (de Kennelly)
R3 = RaRb / (Ra+Rb+Rc)
R2 = RaRc / (Ra+Rb+Rc)
R1 = RbRc / (Ra+Rb+Rc)
Rab ?
Rc = 1*1 / 4 = 0.25 Ohms
Rb = 1*2 / 4 = 0.5 Ohms
Ra = 1*2 / 4 = 0.5 Ohms
Rab = 0.5 + (9/4 * 3/2) / (9/4 + 3/2)
Rab = 1.4 Ohms