Algèbre Loi interne Loi et relation

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• L’algèbre et la théorie des groupes :
–Al jabr tiré du titre d’un livre d’Al Khawarizmi
– Étude de la résolution des équations algébriques et étude
des transformations géométriques.
– Théorie basée sur la notion d’opération
– Type de structures très utilisées en informatique :
arithmétique, arithmétique modulaire (taille des nombres
limitée), cryptographie, …
• Bibliographie :
– Eléments de théorie des groupes, J. Calais, PUF
– Algèbre fondamentale et Arithmétique, G. Gras & M.N. Gras,
Ellipses
•Loi interne : soit E un ensemble non vide. On appelle loi
interne sur E une application de E×E dans E. On note
généralement une loi interne + (ou .) et l’image d’un couple
(x,y) par cette loi est notée x+y (ou x.y) et non +(x,y).
L’ensemble E doté d’une loi interne + est noté (E,+) (et parfois
appelé magma).
•Exemples : - sur N, f(x,y)=x+y est une loi interne, g(x,y)=x ×y aussi
- sur N, f(x,y)=x-y n’est pas une loi interne
•Notes : - un ensemble peut admettre plusieurs lois internes
- une loi peut être externe
• Une loi interne + de E est une relation ternaire R sur E×E×E et
une application (tout couple d'éléments de E a une image
unique) : x+y=z ⇔ (x,y,z) ∈ R
• Une loi externe + de E×E dans F est une relation ternaire R sur
E×E×F et une application : x+y=z ⇔ (x,y,z) ∈ R
•Attention : toute relation ternaire n'est pas une loi, car la loi a un
caractère applicatif, c'est-à-dire que tout couple d'éléments de
E a une image unique!
•Commutativité : + sur E est commutative ssi pour tout x,y de
E, x+y=y+x
•Associativité : + sur E est associative ssi pour tout x,y,z de E,
x+(y+z)=(x+y)+z
•Distributivité : + sur E est distributive par rapport à ×
××
×sur E ssi
pour tout x,y,z de E, x+(y×z)=(x+y)×(x+z) (distributivité à
gauche) et (y×z)+x=(y+x)×(z+x) (distributivité à droite).
•Exemples : - dans N, + est commutative, associative mais pas
distributive par rapport à × (par contre, × est
commutative, associative et distributive par rapport à +)
- dans N, L définie par xLy=2x+y n’est ni commutative ni
associative
•Élément neutre :+ sur E admet un élément neutre e ssi pour
tout x de E, x+e=e+x=x
•Élément inversible :+ sur E admettant un élément neutre e, x
de E est dit inversible ssi il existe x’ de E tel que x+x’=x’+x=e.
x’ est appelé inverse de x dans (E,+)
•Exemples : - dans N muni de l’addition, l’élément neutre est 0. Aucun
élément n’est inversible
- dans Z muni de l’addition, l’élément neutre est 0 et tout
élément est inversible
- dans Q muni de la multiplication, l’élément neutre est 1, tout
élément est inversible
• Théorème1 : 1- si un élément neutre existe, il est unique et est
son propre inverse
2- + étant associative, si x∈E est inversible, son
inverse y est unique et y est inversible
d’inverse x
•Preuve : 1- si e et e’ sont éléments neutres, pour tout x,
e+e’=e+e’=e=e’
2- - si z et y inverses de x, x+y=y+x=e et x+z=z+x=e.
+ étant associative, y=y+e=y+(x+z)=(y+x)+z=e+z=z
- y+x=x+y=e

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•Monoïde : un ensemble E muni d’une opération interne +
associative et possédant un élément neutre est un monoïde
•Exemple : - l’ensemble des mots écrits avec un alphabet A muni de
l’opération interne de concaténation est un monoïde
•Groupe : un ensemble E muni d’une opération interne +
associative, possédant un élément neutre et pour laquelle tout
élément de E possède un inverse est un groupe
•Note : - un groupe est un monoïde où tout élément est inversible
•Exemples : - (N,+) et (Z, × ) sont des monoïdes
- (Z,+) et (Q*, × ) sont des groupes
- (Z,-) n'est pas un groupe
•Groupe additif :
– un groupe doté d’une loi interne notée +, nommée addition, et d’un
élément neutre noté 0 est appelé groupe additif. L’inverse d’un élément x
est noté –x et appelé l’opposé de x.
•Groupe multiplicatif
– un groupe doté d’une loi interne notée ., nommée multiplication, et d’un
élément neutre noté 1 est appelé groupe multiplicatif. L’inverse d’un
élément x est noté x-1 et appelé l’inverse de x.
•Notes : - x0=1 et xn=x. .. . x n fois
- xn.xm=xn+m et (xn)m= xn.m
•Note : - un élément (x1.x2).x3 peut être écrit x1.x2.x3 du fait de
l’associativité de .
•Groupe fini –Ordre d’un groupe : un groupe est dit fini s’il a un
nombre fini d’éléments. Le cardinal d’un groupe fini est appelé
ordre du groupe (noté |G| ou o(G)).
•Inverse : dans un groupe, l’inverse d’un élément x1.x2. .. .xnest
• En effet, rien n'oblige dans la définition d'un groupe à ce que
l'opération soit commutative
xn-1.xn-1-1. .. .x1-1
•Groupe abélien : un groupe est dit abélien (ou commutatif), si
sa loi interne est commutative
•Exemple : - (N,+) est un groupe abélien
• Groupe de permutations : l’ensemble des permutations d’un
ensemble E (c’est-à-dire des bijections de E dans E), noté SE,
muni de l’opération de composition est un groupe :
– la composition est interne (la composition de deux permutations est une
permutation) et associative
– la composition admet Id pour élément neutre
– toute permutation a pour inverse -1, la permutation réciproque qui
remet les éléments dans l’ordre initial.
• Pour un ensemble de n éléments, le groupe est noté Sn(il est
parfois appelé le groupe symétrique Sn).
•Exemple de la permutation de 3 éléments : 123 transforme (x,y,z) en (x,y,z),
132 transforme (x,y,z) en (x,z,y), 321 transforme (x,y,z) en (z,y,x), ….
=> S3= { 123, 132, 213, 231, 321, 312}
• La composition des permutations n'est pas commutative :
– par exemple 132 o 231 transforme (a,b,c) en (c,b,a) mais 231 o 132 transforme
(a,b,c) en (b,a,c)
• (a,b,c) 132 (a,c,b) 231 (c,b,a)
• (a,b,c) 231 (b,c,a) 132 (b,a,c)
• Les groupes de permutations ne sont donc pas abéliens

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• Les images des couples d’éléments d’un groupe fini (G,.) par
l’opération . peuvent être organisées dans une table.
132
231
321
123
213
312
312
213132123321312312
123231213312321321
312123132231213213
132321312213231231
231312321123132132
321213231132123123
321213231132123
o
Table de Cayley du groupe de permutations S3
•Congruence : soit n entier positif. Deux éléments x et y de Z
sont dit congruents modulo n si x-y=nz où z ∈Z. On note x≡y
(mod n). La relation de congruence est une relation
d’équivalence.
• L’existence de la division euclidienne dans Z implique que pour
tout x de Z et n de N*, il existe p et q tels que x = pn+q. Donc, x
est congruent modulo n au reste de sa division par n.
• La classe d’équivalence d’un élément x pour la relation
« modulo n » est la même que celle de son reste par la division
modulo n. Les classes d’équivalence sur Z de la relation
« modulo n » sont donc celles de 0,1, .. , n-1
• Z/nZ est l’ensemble quotient de Z par la relation « modulo n ».
Z/nZ = {0,1, .. ,n-1} où i est la classe d’équivalence de i.
•Exemples : - Z/2Z = {0, 1}
- Z/3Z = {0, 1, 2}
•Proposition 1 : Z/nZ est un groupe abélien pour la loi interne
x+y=x+y
•Preuve : montrons que + est une application (et donc une loi
interne). Si x = x’ et y = y’, ∃k ∈Z tel que x’ – x = kn et ∃l ∈Z
tel que y’ – y = ln. Donc x’ + y’ – (x + y) = (k + l)n, donc x’ + y’ =
x + y. Montrons que + dans Z/nZ est associative. x + (y + z) = x
+ (y + z) = x + (y + z) = (x + y) + z = (x + y) + z = (x + y) + z
•Suite de la preuve : l’élément neutre de Z/nZ est 0 car x + 0 =
x + 0 = x. Tout élément x a pour opposé n-x : x+n–x = x+n–x =
n = 0 . Le groupe ainsi défini est abélien car (Z,+) est abélien :
x+y = x+y = y+x = y+x.
• Arithmétique des ordinateurs : en considérant la représentation
des entiers sur 4 octets, soit 32 bits, avec le premier bit qui
donne le signe, on a une arithmétique sur le groupe Z/232Z,
avec pour chaque nombre, un représentant dans [-231,231-1] et
le signe.
•Sous-groupe : (G,.) étant un groupe, une partie H de G est un
sous-groupe de G si pour tout x,y de H, x.y ∈H et pour tout x
de H, x-1 ∈H.
•Notes : - la définition d’un sous-groupe implique que l’élément
neutre appartienne au sous-groupe
- tout sous-groupe d’un groupe G est un groupe pour la
loi induite par G
- un groupe G contenant plus d’un élément (l’élément
neutre e) a au moins 2 sous-groupes : G et {e}
•Sous-groupe propre : on appelle sous-groupe propre d’un
groupe G tout sous-groupe différent de G
•Proposition 2 : les sous-groupes de (Z,+) sont les nZ={nx, x∈Z}
•Preuve : les nZ sont clairement des sous-groupes de G.
Montrons que tout sous-groupe de G est de cette forme. Soit G
un sous-groupe de Z. Notons a le plus petit des entiers positifs
de G. Alors, pour tout n de N, na est dans G. Supposons qu’il
existe un b dans G, positif et non multiple de a. b est donc
encadré par deux multiples de a, na < b < (n+1)a. Donc b – na
∈G et b – na < a, ce qui est contradictoire.
•Notes : - soit deux entiers positifs a et b. aZ ∩ bZ est un sous-groupe de Z,
donc il existe un m de N tel que aZ ∩ bZ = mZ. m = ppcm
(a,b)
- le pgcd de a et b est le n tel que nZ = aZ+bZ={g ∈ Z, il existe x∈aZ
et y∈bZ et g=x+y}

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•Exemple : - dans le groupe S3des permutations de 3 éléments muni de la
composition, { 123, 132} est un sous-groupe de S3
•Théorème 2 : si G est un groupe et {Hi}i∈Iune famille de sous-
groupes de G, alors ∩i∈IHiest un sous-groupe de G
•Preuve : posons H = ∩i∈IHi. Si deux éléments x et y
appartiennent à H, ils appartiennent à tous les Hi et x.y aussi,
donc x.y appartient à H = ∩i∈IHi. Si x appartient à H, il
appartient à tous les Hi, et donc x-1 appartient à tous les Hiet
donc x-1 appartient à H.
•Théorème 3 : si G est un groupe et {Hi}i∈I une famille de sous-
groupes de G totalement ordonnée par l’inclusion, alors ∪i∈I
Hiest un sous-groupe de G
•Preuve : posons H = ∪i∈IHi. Si x, y sont dans H, il existe i et j
dans I tels que x ∈Hiet y x ∈Hj. On a Hi ⊆Hj(ou Hj⊆Hi)
puisque H est totalement ordonné par ⊆. Donc x.y ∈Hj(ou Hi)
et donc à H et de même x-1 ∈H.
•Note : - (2Z,+) et (3Z,+) sont des sous-groupes de (Z,+) mais 2Z ∪3Z n’est
pas un sous-groupe (par exemple, 2+9=11).
•Sous-groupe engendré : soit G un groupe et H une partie non-
vide de G. Le sous-groupe de G engendré par H, noté <H>, est
le plus petit sous-groupe de G contenant H.
•Proposition 3 : <H> = ∩i∈IHioù les Hisont les sous-groupes de
G contenant H.
•Preuve : ∩i∈IHiest un sous-groupe (théorème 2), et il contient
clairement H. Montrons que c’est le plus petit vérifiant cette
propriété. S’il existe M sous-groupe de G tel que H ⊆M ⊆ ∩i∈I
Hi, alors M est un sous-groupe contenant H et ∩i∈IHi⊆M donc
M = ∩i∈IHi.
•Exemple : - dans le groupe S3des permutations de 3 éléments muni de la
composition, < 231>={ 231, 312,123} et < 231,213>=S3
132
231
321
123
213
312
312
213132123321312312
123231213312321321
312123132231213213
132321312213231231
231312321123132132
321213231132123123
321213231132123
o
•Théorème 4 : H étant une partie non vide d’un groupe (G,.),
<H> = {x1. .. .xn; n ∈N* et xiou xi-1 ∈H pour tout i}
•Preuve : notons S = {x1. .. .xn; n ∈N* et xiou xi-1 ∈H pour tout
i}. Tout élément de H est dans S donc H ⊆S. Montrons que S
est un sous-groupe de G. Pour tout élément x1. .. .xnde S,
xn-1. .. .x1-1 est dans S par construction. Pour tout couple (x,y)
d’éléments de S, x.y est aussi dans S par construction. Donc S
est un sous-groupe de G et il contient H, donc <H> ⊆S. De
plus, tout sous-groupe de G contenant H contient
nécessairement les éléments de S, donc S ⊆<H> et donc
S=<H>.
•Partie génératrice : si une partie H d’un groupe G est telle que
<H>=G, H est dite partie génératrice de G (on dit aussi que H
engendre G).
•Exemple : - <231,213>=S3 donc { 231,213} est une partie génératrice de S3
•Groupe monogène : si il existe dans un groupe G un élément x
tel que <x>=G, G est dit monogène (on note <x> plutôt que
<{x}>).
•Exemple : - Z, pour l’addition, est un groupe monogène car <1>=Z

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•Groupe cyclique : un groupe monogène fini est dit cyclique
•Ordre d’un élément : l’ordre d’un élément d’un groupe G est le
cardinal du sous-groupe qu’il engendre dans G. Cet ordre peut
être infini.
•Exemples : - dans tout groupe, l’élément neutre est le seul élément d’ordre 1
- dans (Z,+), tout élément est d’ordre infini sauf 0
- dans S3, 132,321 et 213 sont d’ordre 2, 231 et 312 sont d’ordre
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•Treillis de sous-groupes : l’ensemble des sous-groupes d’un
groupe G forme un treillis pour l’inclusion. Pour H1 et H2 sous-
groupes, H1 ∧H2 = ? et H1 ∨H2 = ? .
L’élément minimal de ce treillis est {e} et l’élément maximal le
groupe G lui-même.
H1 ∩H2 <H1 , H2>
H1H2
H1∩H2
<H1,H2>
<123>
<132><321> <213>
<132,213 > < 132,321 > < 213,321 >
•Morphisme de groupe : soit (G,.) et (H,+) deux groupes. Une
application f : G→H est un morphisme si f(a.b) = f(a)+f(b) pour
tout a et b de G.
•Noyau : le noyau d’un morphisme f: G→H, noté Ker(f) est
l’ensemble {x∈G, f(x)=e} où e est l’élément neutre de H.
•Image : l’image d’un morphisme f: G→H, noté Img(f) est
l’ensemble {y∈H, ∃x ∈G tel que f(x)=y}
•Automorphisme : un automorphisme est un isomorphisme d’un
groupe dans lui-même
•Propriétés d’un morphisme de groupe f : (G,.)→(H,+)
1. si e est l’élément neutre de G et e’ celui de H, f(e)=e’
2. f(x-1)=-(f(x))
3. Ker(f) est un sous-groupe de G et Im(f) est un sous-groupe
de H
4. l’image d’un sous-groupe de G par f est un sous-
groupe de
H
Preuve : soit G’ sous-groupe de G et H’ = f(G’). Soit x et y
dans G’, alors f(x)+f(y)=f(x.y). x.y∈G’ car G’ est un sous-
groupe donc f(x.y)∈H’. Si x∈G’, x-1∈G’ et f(x-1)=-(f(x))
appartient à H’. Donc H’ est bien un sous-groupe de H.
5. f surjective ⇔Im(f)=H
Preuve : immédiate d’après la définition de la surjectivité
6. f injective ⇔Ker(f)={e}
Preuve : si f injective et x∈Ker(f). Alors f(x)=e’=f(e) donc
x=e et donc Ker(f)={e}
⇐si Ker(f)={e} et x et x’ dans G tels que f(x)=f(x’).
Alors e’=-f(x)+f(x’)=f(x-1)+f(x’)=f(x-1.x’) et donc x-1.x’∈Ker(f)
et x-1.x’=e donc x’=x et donc f est injective
7. si f:G→G’, g:G’→G’’ sont des morphismes, fog:G→G’’
aussi
•Exemples : - f:Z→Z/nZ telle que f(x)= x est un morphisme surjectif
(surjection canonique). Ker(f)=nZ.
- g:H →G où H est sous-groupe de G et telle que g(x)=x est
un morphisme injectif (injection canonique).
•Isomorphisme de groupe : un isomorphisme est un morphisme
bijectif. Deux groupes sont dits isomorphes s’il existe un
isomorphisme de l’un dans l’autre. En particulier, 2 tels groupes
finis sont de même ordre.
•Notes : - si f est un isomorphisme, f-1 existe et est un isomorphisme
- l’isomorphie est une relation d’équivalence. On peut ainsi
considérer les classes d’équivalence des groupes isomorphes
et ne travailler que sur des représentants de ces classes.