I. Repère et coordonnées

Lycée Jules Verne 2016-2017
Seconde
I.
Chapitre 3 - Repérage dans le
plan
A. Heliard
Repère et coordonnées
Définition(s).
Définir un repère du plan, c’est choisir 3 points non alignés dans un ordre précis : O, I, J. On note ce repère
(O, I, J) et :
• le point O est l’origine du repère ,
• la droite (OI) est l’axe des abscisses et le point I donne l’unité sur cet axe,
• la droite (OJ) est l’axe des ordonnées et le point J donne l’unité sur cet axe.
Définition(s).
On distingue différents types de repères :
• Si le triangle OIJ est quelconque, le repère (O, I, J) est dit quelconque.
• Si le triangle OIJ est rectangle en O, le repère (O, I, J) est dit orthogonal. Dans ce cas, les axes du repère sont
perpendiculaires.
• Si le triangle OIJ est rectangle et isocèle en O, le repère (O, I, J) est dit orthonormé. Dans ce cas, les axes du
repère sont perpendiculaires et ont la même unité (OI = OJ).
J
J
O
O
I
Repère quelconque
J
I
Repère orthogonal
O
I
Repère orthonormé
Exemple.
Dans le triangle ABC, les points M, n et P sont les milieux respectifs des segments [AB], [AC] et [BC]. Le
point Q est le milieu du segment [M N ].
On se place dans le repère (A; B; C).
C
b
N
1. Lire les coordonnées des points A, B, C. puis calculer les coordonnées des points M, N, P et Q.
P
b
b
2. Montrer que Q est le milieu du segment [AP ].
Q
b
B
M
A
b
b
b
1
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Seconde
Chapitre 3 - Repérage dans le
plan
A. Heliard
Définition(s).
On considère un repère (O, I, J) du plan et un point quelconque M .
• En traçant la parallèle à (OJ) passant par M , on obtient sur l’axe (OI) l’abscisse xM du point M .
• En traçant la parallèle à (OI) passant par M , on obtient sur l’axe (OJ) l’ordonnée yM du point M .
• Le couple de réels (xM ; yM ) est le couple des coordonnées du point M dans le repère (O, I, J).
II.
Coordonnées du milieu d’un segment
Proposition.
Dans le repère (O, I, J), on considère les points A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ).
Alors le milieu K du segment [AB] a pour coordonnées
(
c’est à dire xK =
xA + xB yA + yB
;
)
2
2
xA + xB
yA + yB
et yK =
.
2
2
Exemple.
On considère les points A(1; −2) et B(−3; 0). Calculer les coordonnées de K milieu du segment [AB].
☞ ex 1, 3, 2 p 189
III.
Distance entre deux points
Proposition.
Dans le repère orthonormé (O, I, J), on considère les points A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ).
Alors
p
AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2
Exemple.
On considère les points A(1; −2) et B(−3; 0). Calculer la distance AB.
☞ ex 8, 9, 10 p 190
2
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Seconde
IV.
1.
Chapitre 3 - Repérage dans le
plan
A. Heliard
Rappels sur les configurations planes
Dans un triangle
Définition(s).
• Un triangle isocèle possède deux côtés de même longueur et deux angles de même mesure.
• Un triangle équilatéral possède trois côtés de même longueur et trois angles de même mesure (60 degrés).
Proposition (Droites remarquables du triangle).
Dans un triangle ABC quelconque :
1. La hauteur issue de A est la droite passant par A perpendiculaire à [BC].
Les trois hauteurs sont concourantes en l’orthocentre du triangle.
2. La médiane issue de A est la droite passant par A et le milieu du segment [BC].
Les trois médianes sont concourantes en le centre de gravité du triangle.
3. La bissectrice issue de A est la droite passant par A et divisant l’angle \
BAC en deux angles égaux.
Les trois bissectrices sont concourantes en le centre du cercle inscrit au triangle.
4. La médiatrice du segment [BC] est la droite perpendiculaire au segment et passant par son milieu.
Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes en le centre du cercle circonscrit au triangle.
☞ ex 41, 42, 43 p 199, 49 p 200
2.
Dans un quadrilatère
Proposition.
1. Pour montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme, on montre une des propriétés :
• les diagonales se coupent en leur milieu
• les côtés opposés sont deux à deux de même longueur
• les côtés opposés sont deux à deux parallèles
2. Pour montrer qu’un quadrilatère est un rectangle, on montre que c’est un parallélogramme ET une des
propriétés :
• les diagonales sont de même longueur
• un des angles est un angle droit
3. Pour montrer qu’un quadrilatère est un losange, on montre que c’est un parallélogramme ET une des
propriétés :
• deux côtés consécutifs sont de même longueur
• les diagonales se coupent perpendiculairement
4. Pour montrer qu’un quadrilatère est un carré, on montre que c’est un parallélogramme ET un rectangle
ET un losange.
☞ ex 51, 52, 54, 55, 56, 58 p 200-201
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