2015 Géométrie repérée Secondes 9
II Calcul sur les coordonnées
Points confondus
Dans le plan muni d’un repère quelconque (O, I, J), deux points Met Ndu plan de coordonnées res-
pectives (xM;yM)et (xN;yN)sont confondus si et seulement si ils ont les même coordonnées.
Coordonnées du milieu d’un segment
Dans le plan muni d’un repère quelconque (O, I, J), on considère les points M(xM;yM), et N(xN;yN)
Le milieu Idu segment [M N ]a pour coordonnées :
IxM+xN
2;yM+yN
2
Le milieu du segment [M N ]est en quelque sorte la moyenne des deux points. Ses coordonnées sont les moyennes des
coordonnées des extrémités du segment.
Longueur d’un segment
Dans le plan muni d’un repère orthonormée (O, I, J), on considère les points M(xM;yM), et N(xN;yN)
La longueur du segment [M N ]est
M N =p(xN−xM)2+ (yN−yM)2
Cette démonstration n’est totalement rigoureuse.On ne donne ici qu’une idée de ce qu’il faut faire.
Si le repère (O, I, J)est orthonormé, alors, à partir du segment [M N ], on peut construire un triangle rectangle d’hypo-
thenuse M N et dont les deux autres côtés mesurent respectivement xM−xNet yM−yN.
M
N
xN−xM
yN−yM
Il suffit alors d’appliquer le théorème de Pythagore dans ce triangle pour obtenir M N 2= (xN−xM)2+ (yN−yM)2et
donc M N =p(xN−xM)2+ (yN−yM)2.
2by M Visca.....!